3 函数的奇偶性及周期性.ppt

,2.偶函数图象的性质:,1.偶函数定义:,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.,偶函数的图象在定义域内关于y轴对称.反之,如果一个函数的图象在定义域内关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.,函数f(x)为偶函数,一内容提要,4.奇函数图象的性质:,5.奇偶性:如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,3.奇函数定义:,奇函数的图象在定义域内关于原点对称.反之,如果一个函数的图象在定义域内关于原点对称,那么这个函数是奇函数.,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,若奇函数f(x)定义域内包含0,则f(0)=0.,6.判断函数奇偶性的一般方法：,若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立，也可以判断f(-x)+f(x)是否等于零等等.,(1)定义法：,(2)图像法：,奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴）对称.,9.根据奇偶性,函数可划分为四类:,奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.,7.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：,若f(x)、g(x)的定义域分别为A、C,那么在它们的公共定义域上：奇+奇奇；偶+偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶偶偶.,8.公共定义域上的奇偶性的判定：,返回,10单调性偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.,例1下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是()A1B2C3D4,分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，故错误，选A,A,二基本练习,例2判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a,解:f(x)定义域为Rf(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.,解:f(x)定义域为Rf(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)f(x)为偶函数.,(3)f(x)=3x+1(4)f(x)=x2，x-4,4),例2判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a,解:f(x)定义域为Rf(-x)=-3x+1-f(x)=-3x-1f(-x)f(x)且f(-x)f(x)f(x)为非奇非偶函数.,解:f(x)定义域-4,4)不关于原点对称，也就是f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.f(x)为非奇非偶函数.,(3)f(x)=3x+1(4)f(x)=x2，x-4,4),例3.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x|x-2|，求x0时，f(x)=x|x-2|，当x0时，f(x)-f(-x)-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|.,例4.判断函数f(x)=的奇偶性,解：由题,函数的定义域为1,0)(0,1,此时f(x)=,=f(x),故f(x)是奇函数,例5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函数，则a=_，b=_，c_例6.设f(x)(xR)是以3为周期的奇函数，且f(1)1，f(2)=a，则()(A)a2(B)a-2(C)a1(D)a-1例7.已知奇函数f(x)在x0时的表达式为f(x)=2x-1/2，则当x-1/4时，有()(A)f(x)0(B)f(x)0(C)f(x)+f(-x)0(D)f(x)+f(-x)0,1,0,R,D,B,例8.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+(a2-1),求a的值,1判断函数是否具有奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,误解分析,对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。,周期的定义,周期性的几个结论,若f（x+a）f（x+b）（ab），则f（x）是周期函数，ba是它的一个周期；若f（x+a）f（x）（a0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；若f（x+a）（a0，且f（x）0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.,对称性的几个结论,.若f（x+a）f（bx），则函数f（x）的图象关于直线x对称，特别地，若f（a+x）f（ax），函数f（x）的图象关于直线xa对称；,【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:若f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x2对称；函数yf（2+x）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称；函数yf（x2）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称.其中正确的命题序号是.,【解析】是错误的，由于f（x2）是偶函数得f（x2）f（x2），所以f（x）的图象关于直线x2对称；是错误的，在第一个函数中，用x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t)与yf（t）的图象关于直线t0对称，即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称.,1函数f(x)是周期为4的偶函数，且当x2，4时，f(x)=4-x，则f(-7.4)=。,0.6,2若f(x)是定义在R上的奇函数，且f