2011届高三数学二轮复习-专题1 第4讲导数及其应用

第4讲导数及其应用,要点知识整合,1几何意义曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率为kf(x0)(其中f(x0)为yf(x)在x0处的导数)2求导数的方法(1)基本导数公式：C0(C为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axlna；,(3)复合函数的导数：yxyuux，如ysin2x有y2cos2x.3函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增,在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减(2)求极值的步骤求f(x)；求f(x)0的根；判定根两侧导数的符号；下结论(3)求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求f(x)；求f(x)0的根(注意取舍)；求出各极值及区间端点处的函数值；比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值),热点突破探究,若曲线f(x)ax5lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_,【答案】(，0),【题后拓展】求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数yf(x)在点xx0的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0)和切线斜率的条件下，求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)注意：(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解,1已知函数f(x)x2x2，g(x)3lnx，若直线xk与曲线yf(x)，yg(x)分别相交于P，Q两点，并且两曲线分别在P点和Q点处的切线平行，那么实数k等于(),(2010年高考课标全国卷)设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围【解】(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调,f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不等实根x34x23xbx0，x0是其中一个根，方程x24x3b0有两个非零不等实根,【题后拓展】利用导数求函数的极值或最值，关键是首先要正确求导，准确记忆常用函数的求导公式及求导法则，其次令导函数等于零，列出升降表，根据升降表确定极值，进而确定最值，注意不能忽视边界,(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价格相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量,【规范解答】(1)设年利润为y，则有y1.3(10.7x)1(1x)50000(10.4x)50(36x230 x300)即y1800 x21500 x15000，x(0,1)3分,【规律方法】解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解，不同的设参方法会得到不同的数学模型,【题后拓展】定积分的计算一是根据定积分的几何意义，二是根据微积分基本定理，在使用微积分基本定理时要注意运用定积分的性质，注意根据导数的运算检验计算过程,(2009年高考浙江卷)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围,【解】(1)由函数f(x)的图象过原点，得b0，又f(x)3x22(1a)xa(a2)，f(x)在原点处的切线斜率是3，则a(a2)3，所以a3或a1.,【方法归纳】本题利用了转化与化归的方法，该法基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解如本题中函数f(x)在(1,1)上不单调，则f(x)0在(1,1)上有解，利用有解条件便可解决,高考动态聚焦,从近几年高考来看，本讲高考命题有以下特点：1从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题,2从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查3从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现,2(2010年高考江西卷)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26B29C212D215,解析：选C.函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a8212，故选C.,3(2010年高考山东卷)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x)Bf