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5.3矩阵的条件数和方程组的性态,华长生制作,2,首先引入向量和矩阵的范数。设是n维向量空间，分别定义x的非负实函数如下：可以验证它们都是上的范数。,华长生制作,3,定理1设是的某种范数，则是分量的连续函数。定理2设及是上的两种向量范数，则有与x无关的常数，使定理3上所有范数是等价的。,华长生制作,4,接下来看矩阵的范数。定义矩阵的非负实函数若满足则称是矩阵A的范数。,华长生制作,5,设，常用矩阵范数有,华长生制作,6,如果对矩阵范数和向量范数，有则称矩阵范数和向量范数相容。另外介绍一种由向量范数导出的矩阵范数定义设为向量范数，定义矩阵A的非负函数可验证它是一矩阵范数，称为从属范数。,华长生制作,7,可以验证，向量范数所导出的矩阵范数与该向量范数是相容的。定理矩阵范数分别是向量范数的从属范数。下面来讨论线性方程组的解对系数矩阵和右端常数项的敏感性问题。,华长生制作,8,的准确解是（1，1）T。若A及b作微小的变化，扰动后的方程组为其准确解为（-2，10）T。,先看一个例子，说明方程组的解对扰动的敏感性。例方程组,此例中，A和b的微小变化引起x很大的变化，x对A和b的扰动是敏感的。这种现象的出现完全是由方程组的性态决定的。,华长生制作,9,定义如果方程组Ax=b中，矩阵A和右端b的微小变化，引起解向量x的很大变化，则称A为关于解方程组和矩阵求逆的病态矩阵，称相应的方程组为病态方程组。否则，称A为良态矩阵，称相应的方程组为良态方程组。,我们需要一种能刻画矩阵和方程组病态程度的标准。,定理设有n阶非齐次方程组Ax=b，其中A非奇异。设系数矩阵和右端项有小扰动和，扰动后的方程组为则当时，有,华长生制作,10,经整理后得,由于,，即得所证。,再利用,，则有,华长生制作,11,如果,此时有,如果,，此时有,华长生制作,12,为矩阵A的条件数。如果矩阵范数取2范数，则记,定义设ARnn为可逆矩阵，按算子范数，称,Cond（A）=,同样可以定义cond（A）和cond1（A）。,可见，条件数比较大时，A和b的小扰动可能会引起解的较大误差，所以条件数刻画了方程组Ax=b的性态。一般地，条件数较大时方程组是“病态”的；条件数较小时方程组是“良态”的。,华长生制作,13,例下列Hilbert矩阵是一族著名的病态矩阵：,它是一个nn的对称矩阵，可以证明是正定的。计算条件数有cond2（H4）=1.5514104，cond2（H6）=1.4951107，cond2（H8）=1.5251010。由此可见，随着n的增加，Hn的病态可能越严重。,华长生制作,14,华长生制作,15,对于病态方程组，数值求解必须小心进行，否则达不到所要求的准确度。有时可以用高精度（如双精度或扩充精度）的运算，以改善或减轻方程组的病态程度，有时也可以对圆方程组作预处理，以降低,系数矩阵的条件数，即选择非奇异
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