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.,1,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,.,2,一、型,设非齐方程特解为,代入原方程,.,3,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,.,4,特别地,.,5,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程,得,原方程通解为,.,6,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,.,7,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,.,8,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,.,9,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,例3,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,（取虚部）,原方程通解为,这种方法称为复数法,.,10,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,.,11,所求非齐方程特解为,（取实部）,原方程通解为,注意,.,12,例5,解,对应齐方程通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,.,13,例6,求通解,解,相应齐方程,特征方程,齐通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,.,14,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程的特解,所求通解为,.,15,例7,设,具有连续的二阶偏导数,且满足,求u的表达式,解,记,则,.,16,同理,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,解得,.,17,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间,下段重为,解,设时刻t链条下落了x米,另设链条单位长重为,则上段重为,由Newton第二定律,例8,.,18,特征方程,特征根,齐通解,特解,故,代入初始条件,解得,.,19,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.,.,20,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设的特解为,设的特解为,则
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