中考最值问题讲义

.中考最值问题讲义 “最值”问题：就是求一个变量在某范围内取最大或最小值的问题。与几何有关的最小值（或最大值）问题，是几何计算问题的重要题型.由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 1.求最值问题的基本方法： （1）特殊位置与极端位置法； （2）利用函数模型求最值（3）几何定理（公理）法； 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有 A最大值 1 B最大值2 C最小值0 D最小值2.如图，点A在半径为3的O内，OA=，P为O上一点，当OPA取最大值时，PA的长等于（ ）. A B C D3.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线，直线和直线所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为，则的最小值为（ ）. A B C D4 4.如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线 l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值是 5.如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_；若将ABP的PA边长改为，另两边长度不变， 则点P到原点的最大距离变为_.6.如图，在AOB中，OA=OB=8，AOB=90， 矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.（1）若C、D恰好是边AO、OB的中点，矩形CDEF的面积为_；（2）若，矩形CDEF面积的最大值为_.7、在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.ADEPBC8、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）A B C3 D9、如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_10、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3 11. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？、如图，在三角形纸片ABC中，已知ABC90，AC5，BC4，过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点P处，折痕为MN，当点P在直线上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为 、在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0180)，得到A1B1C设AC的中点为E，A1B1的中点为P，ACa，连接EP当 时，EP的长度最大，最大值为 、以数轴上的原点O为圆心， 3为半径的扇形中，圆心角AOB=90， 另一个扇形是以点P 为圆心， 5为半径，圆心角CPD=60，点P 在数轴上表示实数a，如图，如果两个扇形的圆弧部分( 弧AB和弧CD )相交,那么实数 a的取值范围是 如图，O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是 的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_.如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 12.如图，在ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PDAB，交AC于点D，连结BD（1）如图1，若C=45，请直接写出：当= 时，BDP的面积最大；（2）如图2，若C=为任意锐角，则当点P在BC上 时，BDP的面积最大？13.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，对称轴是（1）求该抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点作，分别交轴、于点P、，连接当的面积最大时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的值. OxyABCDPQ14. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，OPQ的面积为S（不能构成OPQ的动点除外）.（1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.15、定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则的值等于_；四边形为（ ）A平行四边形 B矩形C菱形 D正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值16、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由17如图，把OAB放置于平面直角坐标系xOy中，把OAB沿轴的负方向平移2OA的长度后得到DCE.（1）若过原点的抛物线经过点B、E，求此抛物线的解析式；AOxBCDyE（2）若点在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点作轴于点，连结.若以、为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点的坐标；（3）若点M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M，点B的对应点为B当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形MBCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由18在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线交y轴于点C，且过点（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使的值最小，求出点P的坐标；（3）将抛物线左右平移，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值19、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。BCAxyFODE20、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标21.在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值22.已知抛物线：的顶点在坐标轴上（1）求的值；（2）时，抛物线向下平移个单位后与抛物线：关于轴对称，且过点，求的函数关系式；（3）时，抛物线的顶点为，且过点问在直线 上是否存在一点使得的周长最小，如果存在，求出点的坐标， 如果不存在，请说明理由 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQMA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.24. （1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）已知a0，b0，且a+b=2，写出的最小值；（3）已知a0，b0，写出以、为边长的三角形的面积.25已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线过点A（1，0），对称轴与轴交于点C，顶点为B（1）求的值及对称轴方程； （2）设点为射线BC上任意一点（、C两点除外），过作BC的垂线交直线于点D，连结设APD的面积为，点的纵坐标为m，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离26如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CBO的正切值是2(1)求此二次函数的解析式(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点直接写出点P所经过的路线长点D与B、C不重合时，过点D作DEAC于点E、作DFAB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，EPF的大小是否发生变化？若不变，求EPF 的度数；若变化，请说明理由在的条件下，连接EF，求EF的最小值27. 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式；(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值.28.如图，抛物线与轴交于A、B两点(B在A右侧)，与y轴交于点C.（1）求A、B两点坐标；（2）若AD平分CAB, 交CB于D, 且ADCB，求抛物线及直线AD的解析式；（3）若点G、C关于x轴对称，直线GB交（2）中直线AD于点K, M、N 分别为直线 AC 和直线AK上的两个动点，连接 CN、NM、MK，求CN+NM+MK 的最小值. 29已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长.30.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.yxAFODBEC31.已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由32已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值ODAyCxB(E)FJ33如图，把两个全等的RtAOB和RtECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上已知点D (4，2)，过A、D两点的直线交y轴于点F若ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记ECD在平移过程中某时刻为， 与AB交于点M，与y轴交于点N， 与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合).（1）求直线AD的函数解析式；（2）试探究在ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN为边，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围AFEM34. 如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。34.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的