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第三章,矩阵的初等变换与线性方程组,1,内容简介,矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解,2,第一节矩阵的初等变换,初等矩阵矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵,3,引例,4,5,用“回代”的方法求出解。,于是得解:,其中x3可以任意取值。,令x3=c,方程组的解可记作:,其中c为任意常数.,或,6,1.上述解方程组的方法称为高斯消元法2.始终把方程组看作一个整体变形,用到三种变换:,归纳以上过程:,(3)一个方程加上另一个方程的k倍:,(2)以不等于零的数k乘某个方程:,(1)互换两个方程次序:,7,由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.,3.上述三种变换都是可逆的.,对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算，如将方程组的系数用矩阵表示，相应的运算为矩阵的初等变换。,8,9,10,回代解得,11,【定义】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:,(1)对调两行（列）（对调i与j两行）,(3)把某一行（列）所有元素的k倍分别加到另一行（列）对应的元素上去（第j行（列）k倍加到第I行（列）上去）.,注1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。,2）矩阵的初等变换是可逆的；,(2)以数乘第i行（列）的所有元素,一、矩阵的初等变换,12,二、初等矩阵,定义由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵.,（1）初等互换矩阵,13,（2）初等倍乘矩阵,14,（3）初等倍加矩阵,第j行的k倍加到第i行上,15,初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且类别不变；,初等矩阵的性质：,初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵，且类别不变.,问题：矩阵的初等变换与初等矩阵之间有何关系？,16,交换1,3行,=A1,17,交换1,2列,AE(12)=,18,结论,用初等矩阵去左乘A，等于对A施行相对应的初等行变换，用初等矩阵去右乘A，等于对A施行相对应的初等列变换,问：下列符号产生什么运算结果？,19,20,即存在初等矩阵使得,特别地，当矩阵A可逆时，,21,A,P,E,E,22,得出利用初等行变换求逆矩阵的方法：,例1判断矩阵是否可逆？若可逆，求,解,所以矩阵A可逆。,23,0-1-2-210,0-2-1-101,0033-21,24,25,初等行变化求逆矩阵的基本步骤,先写出（A|E），用经初等行变换将其中的A化为上三角，注意此过程中E也同时变化；依次将上方的元素化为0.,26,例
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