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文档简介
1,曲柄滑块机构的运动规律,1实验目的,着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。,2实验问题,曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动,是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。,2,记曲柄OQ的长为r,连杆QP的长为l,,当曲柄绕固定点O以角速度,P在水平槽内作往复直线运动。,旋转时,由连杆带动滑块,假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上,,曲柄从初始位置起转动的角度为,,,连杆QP与OP的锐夹角为,(称为摆角)。,3,在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律,,确切地说,要研究滑块的位移、速度和加速度关于,的函数关系,,摆角,及其角速度和角加速度关于,的函数关系,,4,(1)求出滑块的行程S(即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离);,(2)求出滑块的最大和最小加速度(绝对值),以了解滑块在水平方向上的作用力;,(3)求出,的最大和最小角加速度(绝对值),以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。,在求解上述问题时,我们假定,5,8.3数学模型,取O点为坐标原点,OP方向为x轴正方向,P在x轴上的坐标为x,那么可用x表示滑块的位移。,利用三角关系,立即得到,6,于是滑块的速度,进而,可以得到滑块的加速度为,7,同样,基于关系式,我们有摆角的表达式,式(8.6)对t求导,,8,由此再得,利用(8.6),,不难由上两式导出,9,至此,我们得到了滑块位移x和连杆摆角,运动规律中有关变量依赖,的表达式。,滑块的加速度为,虽然我们已经得到了有关变量的解析式,但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式(8.5)和(8.11)相当复杂,从这两个式子来了解这两个量并不方便,而要用它们进一步求出极值则更加不易(当然,可以借助数学软件来进行,我们把这一点留给读者)。,10,由于数学模型本身是对实际问题的抽象,从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解,一般说来,它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见,对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上,在曲柄连杆结构(以及不少工程问题)的研究中,确实经常使用着这个方法。,8.4近似模型,将位移的表达式(8.1)改写为,11,一般而言,,是远比1小的数,,滑块位移的近似模型为,从而有相应的近似速度,和近似加速度,这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来,而不是对v和a的精确表达式(8.4)和(8.5)的近似。,12,当然,我们也可以直接从滑块速度的解析式(8.4)进行近似。,仍利用公式(8.12),把上式代入(8.4),就得到滑块速度的近似模型,13,从(8.16)出发,又可得近似加速度,对摆角,可以利用幂级数展开的Maclaurin公式,得到摆角的近似模型。,粗略一些,可以取,而必要时,可以取,14,相应的近似角速度为,近似角加速度为,15,8.5问题的解法和讨论,滑块的位移和行程,利用滑块位移的解析式(8.1)和近似式(8.13),,表8.1列出了,从0到位移一些相应数值(单位:mm)。,考虑到对称性和周期性,只要计算这一区间中的函数值就可以了。,16,表8.1mm,行程可以从表8.1中的值求得,,17,从几何直观上看也十分明显:,滑块的加速度及其最值,利用精确表达式(8.5)和近似表达式(8.15)、(8.17),,18,计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值(单位:mm/s2):,表1.2mm/s2,19,从表8.2中可以看出,用加速度的近似公式计算,,的结要相当好。,的结果稍微差一些,,考虑到在应用近似模型时,表达式的推导和有关计算工作量都将明显地减少,因此在某些情况下,这样的做法还是合适的。,加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。,无论用哪种模型,均在,20,至于加速度绝对值的最小值,显然是加速度的零点。,从表上看出:零点在,之间。,运用方程求根的数值方法,例如Newton法,对于加速度的三种表达式,分别可以得出,因此在求加速度(绝对值)的最值时,近似模型也是十分有效的。,21,我们有由摆角的精确模型导出的表达式(8.11)和由近似模型导出的表达式(8.23)、(8.24),同样可以计算角加速度在各离散点的值。,摆角的角加速度和其最值
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