2017考研数学基础班、张宇高等数学辅导讲义

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“”，“”.,目录第一讲函数极限连续性(1)第二讲导数与微分(7)第三讲微分中值定理及导数的应用(11)第四讲一元函数积分学(15)第五讲微分方程(20)第六讲多元函数微分学(23)第七讲重积分(28)第八讲曲线积分与曲面积分*(23)第九讲无穷级数*(38),2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,第一讲函数、极限、连续性一、函数1.函数(1)函数的定义设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数，简记为yf(x),xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为Df，f(D)为值域，记为Rf.(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.2.函数的特性(1)有界性：若M0，对于xI，都有f(x)M，则称f(x)在I上有界.(2)单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID，若对于x1,x2I，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加(单调减少).(3)奇偶性：设函数的定义域为I，对于xI，若f(x)f(x)，则称f(x)是奇函数；若f(x)f(x)，则称f(x)是偶函数.注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式，即：f(x)f(x)f(x)f(x)f(x).22(4)周期性：设f(x)的定义域为I，若T0，对于xI，使得f(xT)f(x)(xTI)，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期，通常周期是指最小正周期.3.反函数(1)反函数的定义设函数f:Df(D)是单射，则它存在逆映射f1:f(D)D，则称映射f1为函数f的反函数.(2)结论：f1f(x)x，ff1(x)x.,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)单调函数存在反函数，反之不成立.4.复合函数(1)复合函数的定义设函数yf(x)的定义域为Df，函数ug(x)的定义域为Dg，且其值域RgDf，则函数yfg(x),xDg称为由函数ug(x)与函数yf(u)构成的复合函数.(2)只有当函数u(x)的值域与yf(u)的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函数.5.初等函数(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.(2)初等函数：由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的函数.(3)初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.二、极限1.数列极限(1)数列极限的定义设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得,n,当nN时，有xna成立，则称数列xn收敛于a，记为limana.,n,(2)数列极限的基本性质：(唯一性)如果数列xn收敛，那么它的极限唯一.(有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界，即：M0，使得n有xnM.,(保号性)如果limxna，且a0(或a0)，那么NN，当nN时，有xn0(或,xn0).(3)数列极限的四则运算法则设有数列xn，yn.如果limxnA，limynB，则：nnlim(xnyn)AB；limxnynAB；nn,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,B,xnA,nyn,当yn0且B0时，lim.,(4)数列极限存在的判定(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn满足：1)ynxnzn(n1,2,3)；2)limyna，limzna，nn,那么数列xn的极限存在，且limxna.,n(单调有界准则)单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列xn必定存在极限.2.函数极限(1)xx0时，函数极限的定义o设函数f(x)在U(x0)内有定义，如果存在常数A，对于0，总存在0，使得当x满足0xx0时，有f(x)A，那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限，记作limf(x)A.xx0,xx0 xxxx,00,注：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.,(2)x时，函数极限的定义设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数X，使得当x满足不等式xX时，有f(x)A，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作limf(x)A.x(3)函数极限的性质(唯一性)如果limf(x)存在，那么它的极限唯一，即：若limf(x)A，且limf(x)B，xx0 xx0 xx0则AB.,xx0,(局部有界性)如果limf(x)A，那么M0和0，使得当0xx0时，有,f(x)M.(局部保号性)如果limf(x)A，且A0(或A0)，那么0，使得当xx00xx0时，有f(x)0(或f(x)0).,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,(4)函数极限的四则运算法则如果limf(x)A，limg(x)B，则xx0 xx0limf(x)g(x)AB；xx0,limf(x)g(x)ABxx0,f(x)A,lim,xx0g(x)B,(B0)；,limf(x)g(x)AB(A0).xx0,推论1：如果limf(x)存在，c为常数，则limcf(x)climf(x).xx0 xx0 xx0n,xx0,xx0 xx0,推论2：如果limf(x)存在，而n是正整数，则limf(x)nlimf(x).,(5)函数极限存在的判定准则(夹逼法则)如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足：,xx0 xx0,1)当xU(x0,)时，g(x)f(x)h(x)；2)limg(x)A，limh(x)A，,那么limf(x)存在，且limf(x)A.xx0 xx0,000,(单调有界准则)设f(x)在x的某左邻域内单调有界，则f(x)在x的左极限f(x)必定,存在.(6)复合函数的极限：设yfg(x)是由函数ug(x)和yf(u)复合而成的，yfg(x)在x0的某去心邻域有定义，若limg(x)u0，limf(u)A且在x0的邻域内xx0uu0g(x)u0，则limfg(x)limf(u)A.xx0uu0(7)两个重要极限,x,x0,limsinx1；,1,x0,x1,x,x,n1,n,n,lim(1x)xe或lim1e(lim1e).,3.无穷小与无穷大(1)无穷小量的定义如果当xx0时函数f(x)极限为零，那么称函数f(x)为当xx0时的无穷小.(2)无穷小的性质：,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义有限个无穷小的和仍是无穷小.有限个无穷小的乘积仍是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)无穷小的比较：设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0则：如果lim0，称是的高阶无穷小，记作：o()；如果lim，称是的低阶无穷小.limc0，称是的同阶无穷小；,k,limc0，称是的k阶无穷小.,lim1，称与是等价无穷小，记作：.(4)等价无穷小替换定理：设在自变量x的同一变化过程中，1，2，1，2都是无穷小，,1,1,2,121,而且12，12，如果limA，则limlimA.,三、函数的连续性1.函数连续性的定义(1)函数f(x)在x0点连续的定义,xx0,设函数f(x)在U(x0)内有定义，如果limf(x)f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续.,0000,(2)函数f(x)在x处连续f(x)f(x)f(x).,2.间断点及其分类(1)间断点的定义若函数f(x)在点x0不连续，则点x0称为函数f(x)的间断点.(2)间断点的分类：,；,间断点,第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)；,跳跃间断点(左极限右极限),可去间断点(左极限右极限),第一类间断点(左、右极限都存在),2015考研数学基础班高等数学辅导讲义3.闭区间上连续函数的性质：(1)有界最值定理若函数f(x)在a,b上连续，则它在a,b上有界且一定能取到最大值和最小值，即：K0，使得xa,b，有f(x)K，以及在a,b上有1，2使得f(1)m，f(2)M，其中m，M分别为f(x)在a,b上的最大值和最小值.(2)零点定理设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，则(a,b)使得f()0.(3)介值定理设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)，c是介于f(a)和f(b)间的一个常数，则(a,b)使得f()c.推论：若函数f(x)在a,b上连续，m，M分别为f(x)在a,b上的最大值和最小值，mcM，则a,b使得f()c.第二讲导数与微分一、导数1.导数定义(1)导数的定义设函数yf(x)在U(x0)内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x，相应的函数,00,x0,x0,y,取得增量yf(xx)f(x)；如果limlim,x,f(x0x)f(x0)x,存在，则称函,xx0,数yf(x)在点x0处可导，记为f(x0)，或y，,dydf(x)dx,dx,xx0 xx0,，.,(2)导函数的定义若函数yf(x)在开区间I内可导，对于xI，都对应着f(x)的一个确定的导数,dxdx,值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫yf(x)的导函数，记作y，dy或df(x).,(3)左、右导数的定义,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,0,f(x0x)f(x0),f(x)limylim,x0xx0,0,xf(x0x)f(x0),f(x)limylim,x0xx0,x,(4)函数在x0点可导的充要条件：f(x0)存在f(x0)f(x0).(5)可导与连续性的关系：若函数yf(x)在x0点可导，则它在x0点连续.(6)导数的几何意义函数yf(x)在x0点处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率，即f(x0)tan，其中为切线的倾角.(7)切线方程与法线方程曲线yf(x)在M(x0,y0)处，,1,f(x0),切线方程为yy0f(x0)(xx0)，法线方程为yy0,(xx0).,v2(x),2.导数的计算(1)函数的和、差、积、商的求导法则如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；,v(x),u(x)u(x)v(x)u(x)v(x),(v(x)0).,(2)高阶导数的定义,dny,dxn,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.记为，n2，3，.其中，,x0,d2yddyf(xx)f(x),x,dx2dxdx,lim00.,如果函数f(x)在点x具有n阶导数，那么f(x)在点x某邻域内必定具有一切低于n阶的导数.,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义和、差、积的n阶导数公式：,n,n,Cku(nk)v(k),uv(n)u(n)v(n)，(uv)(n)k0,.,(3)反函数的求导法则1如果函数xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0，则它的反函数yf(x)在,xy,区间Ixxf(y),yI,1,1,内可导，且f(x),dx,f(y)dx,dy1或,.,dy(4)复合函数的求导法则设yf(u)，而ug(x)，且f(u)及g(x)都可导，则复合函数yfg(x)在点x可dydydydu导，且其导数为f(u)g(x)或.dxdxdudx(5)隐函数的求导隐函数的定义一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)0，在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F(x,y)0在该区间内确定了一个隐函数.隐函数的求导：对方程两边对x求导，将y视为x的函数，用复合函数的求导法则求导.(6)参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的定义,x(t),若参数方程,y(t),确定x与y间的函数关系，则称此函数为参数方程所确定的函数.,参数方程所确定的函数的导数如果函数x(t)具有单调连续反函数t1(x)，且此反函数能与函数y(t)构成复合函数.若x(t)和y(t)都可导，而且(t)0，则：,dxdt,dxdtdxdt,(t)dx(t),dydydtdy1(t)，即dy(t).,如果x(t)和y(t)二阶可导，则,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,(t)(t)(t)(t),d2ydx23(t),.,(7)幂指函数的求导对于一般形式的幂指函数yuv(u0)，如果uu(x),vv(x)都可导，则：,v,vu,yuvlnu,u,.,二、微分1.函数的微分(1)微分的定义设yf(x)在U(x0)内有定义，若增量yf(x0x)f(x0)可表示为yAxo(x)其中A是不依赖于x的常数，则称函数yf(x)在点x0是可微的，而Ax叫做函数yf(x)在点x0相应于增量x的微分，记作dy，即dyAx.(2)函数连续、可导与可微之间的关系函数yf(x)在点x处可微f(x)在x处可导，此时Af(x)，即dyf(x)dx.函数f(x)在xx0可导f(x)在xx0可微f(x)在xx0连续.(3)微分的几何意义：yf(x0x)f(x0)是曲线yf(x)在xx0处对应于自变量的增量x的纵坐标的增量，而微分dy是曲线yf(x)在点(x,f(x)处的切线的纵坐标相应的增量.xx0002.复合函数的微分法则：设yf(u)及ug(x)都可导，则复合函数yfg(x)的微分为：dyyxdxf(u)g(x)dx.由于g(x)dxdu，所以复合函数yfg(x)的微分也可以写为dyf(u)du或dyyudu.因此，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dyf(u)du保持不变，该性质称为一阶微分形式不变性.,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,第三讲微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1.罗尔定理如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，f(a)f(b)；则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f()0.2.拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)f(a)f()(ba).3.柯西中值定理如果函数f(x)及g(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x(a,b)，g(x)0；,g(b)g(a)g(),那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)f(a)f().,二、洛比达法则1.xa时的未定型若函数f(x)和g(x)满足：(1)当xa时，函数f(x)和g(x)都趋于零；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,(3)lim,f(x),xag(x),存在(或为无穷大)，,则lim,f(x)f(x),lim,xag(x)xag(x),.,2.x时的未定型设函数f(x)和g(x)满足：(1)当x时，函数f(x)和g(x)都趋于零；(2)当xA时，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；,(3)lim,f(x),xg(x),存在(或为无穷大)，,则lim,f(x)f(x),lim,xg(x)xg(x),.,0,0,注：仅当型或型才可以考虑用洛比达法则.对于0，00，1，0型的未,0,0,定型可以通过转化成为型或型后，再考虑使用洛比达法则.,2!,0,000,n!,0n,三、泰勒公式1.泰勒中值定理设f(x)在含有x0的某开区间I内有直到(n1)阶导数，则对于xI，(n),f(x)f(x)f(x)(xx)f(x0)(xx)2f(x0)(xx)nR(x)，,n0,(n1)!,0,其中R(x)f(n1)()(xx)n1，介于x与x之间.,2.麦克劳林公式设f(x)在含有x0的某开区间I内有直到(n1)阶导数，则对于xI，,n,2!n!,(n)(n1),(0)f(x)xn1,x,(n1)!,f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f,(01).,四、函数的单调性1.设函数yf(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(1)如果在在(a,b)内f(x)0，那么yf(x)在a,b内单调增加.(2)如果在在(a,b)内f(x)0，那么yf(x)在a,b内单调减少.注：上述所给的只是判别单调性的充分条件，并非必要条件，即f(x)0f(x)单调，而不能由f(x)单调f(x)0，只能得到f(x)0.五、曲线的凸凹性和拐点1.曲线的凸凹性(1)定义设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒有f(x1x2)f(x1)f(x2)，那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有22f(x1x2)f(x1)f(x2)那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).22(2)判别法设函数yf(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则若在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上图形是凹的；若在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上图形是凸的.2.拐点(1)定义设yf(x)在区间I上连续，如果点x0为I的内点，如果曲线yf(x)在经过x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点x0,f(x0)为曲线的拐点.(2)拐点的判定若f(x0)0(或f(x0)不存在但f(x)在x0点连续)，当在x0点的左、右邻域内f(x)异号时，x0,f(x0)是曲线的yf(x)的一个拐点.3.渐近线(1)水平渐近线：若limf(x)c，则直线yc是曲线yf(x)的一条水平渐近线.x,xx0,(2)垂直渐近线：如果limf(x)，则直线xx0是曲线yf(x)的一条垂直渐近线.,(3)斜渐近线：如果存在直线L:ykxb使得当x(或x，x)时，曲线,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义yf(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)0，则称直线L为曲线yf(x)的渐近线.若直线L的斜率k0，则称L为斜渐近线.,x,x,x,(4)直线L:ykxb是曲线yf(x)的渐近线，则klimx,x,x,f(x)，blimf(x)kx.x,六、函数的极值与最值1.函数的极值(1)函数极值的定义,o设函数f(x)在U(x0)内有定义，如果对于xU(x0)有,f(x)f(x0)或f(x)f(x0)那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).(2)函数的极大(小)值只是它的局部的最大(小)值，不一定是它的全局的最大(小)值.(3)必要条件：设函数f(x)在x0点可导，且在x0处取得极值，则必有f(x0)0.注：驻点不一定是极值点.极值点不一定是驻点，但在可导的条件下，极值点一定是驻点.2.判定极值充分条件(1)第一充分条件设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域U(x0,)内可导，则若x(x0,x0)时,f(x)0；x(x0,x0)时,f(x)0，则f(x)在x0处取得极大值.若x(x0,x0)时,f(x)0;x(x0,x0)时，f(x)0，则f(x)在x0处取得极小值.(2)第二充分条件设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0，f(x0)0，则当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极大值；当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值.(3)函数的最大(小)值不一定是它的极大(小)值.,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义第四讲一元函数积分学一、不定积分1.原函数的定义如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.2.若函数f(x)在区间I上连续，则它在区间I上存在原函数.3.不定积分的定义在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，,记作f(x)dx，其中称为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x称为积分变量.4.基本积分公式(1)kdxkxC(k是常数)，,1,(2)xdxx,1,C1，,x,dx(3)lnxC，,dx,(4)1x2arctanxC，,(5),dx,1x2,arcsinxC，,(6)cosxdxsinxC，(7)sinxdxcosxC，,cos2x,dx(8)sec2xdxtanxC，,dx(9)csc2xdxcotxC，,sin2xsecxtanxdxsecxC，cscxcotxdxcscxC,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,(12)exdxexC，x,x,a,lna,(13)adxC.,二、不定积分的积分法1.第一换元积分法(凑微分法)设f(u)具有原函数，u(x)可导，则f(x)(x)dxf(x)d(x)令u(x)f(x)(x)dxfuduF(u)CF(x)C.2.第二换元积分法设x(t)单调的可导函数，且(t)0，若f(t)(t)dtG(t)C，则令x(t)f(x)dxf(t)(t)dtG(t)CG1(x)C.3.分部积分法设uu(x),vv(x)具有连续导数，则u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx.四、定积分1.定积分的定义设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点把区间a,b分成n个小区间x0,x1，x1,x2，xn1,xn，各个小区间的长度依次为x1x1x0，x2x2x1，xnxnxn1在每个小区间xi1,xi上任取一点i(xi1ixi)，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,n，并作出和nSf(i)xi，记maxx1,x2,xn，如果不论对a,b怎么样划分，也不论i1,在小区间xi1,xi上i怎样选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这b,a,个极限I为函数f(x)在a,b上的定积分，记作f(x)dx.，即：,n,b,a,0i1,f(x)dxlimf(i)xi.,其中，f(x)叫做被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a叫做积分下限，,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义b叫做积分下限，a,b叫做积分区间.2.定积分的几何意义：函数f(x)在a,b上的定积分是曲线yf(x)与直线xa，xb，x轴所围成的曲边梯形面积的代数和.3.定积分的性质(1)两条规定,a,ba,af(x)dx0；af(x)dxbf(x)dx.(2)定积分的性质,bbb,bb,bcb,b,b,bb,af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.akf(x)dxkaf(x)dx(k是常数).设acb，则af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx.如果在区间a,b上f(x)1，则af(x)dxba.如果在区间a,b上，f(x)0，则af(x)dx0(ab).推论1:如果在区间上，f(x)g(x)，则af(x)dxag(x)dx(ab).,bb推论2：af(x)dxa,f(x)dx.,设M和m是函数f(x)在区间a,b上最大值及最小值，,b,a,m(ba)f(x)dxM(ba).,如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点使得,b,af(x)dxf()(ba).,奇偶函数的积分性质：,a,a,f(x)dx0(f(x)奇函数).,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,0,a,a,a,f(x)dx2f(x)dx(f(x)偶函数).,周期函数的积分性质:,0,T,a,aT,设f(x)以T为周期，a为常数，则f(x)dxf(x)dx.,五、微积分基本公式1.积分上限的函数及其导数(1)积分上限的函数的定义,x,a,设函数f(x)在区间a,b上连续，则任取xa,b，定积分f(t)dt有一个对应值，,x,a,所以它在区间a,b上定义了一个函数，记作：(x)f(t)dtaxb，称为积分上,限函数.(2)积分上限的函数的导数,x,a,如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则积分上限函数(x)f(t)dt在a,b上,x,a,ddx,可导，且(x),f(t)dtf(x)(axb).,2(x),1(x),(3)(推广形式)设F(x)f(t)dt，1(x),2(x)可导，f(x)连续，则,2211,F(x)f(x)(x)f(x)(x).,x,a,注：若函数f(x)在区间a,b上连续，则函数(x)f(t)dt就是f(x)在a,b上的一个,原函数.2.牛顿-莱布尼茨公式如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则,b,ba,f(x)dxF(x),a,F(b)F(a).,六、定积分的换元积分法和分部积分法1.设函数f(x)在区间a,b上连续，函数x(t)满足条件：()a，()b；(t)在,(或,)上具有连续导数，且其值域Ra,b，,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,b,a,则有f(x)dxf(t)(t)dt.,b,a,ba,b,v(x)u,xdxu(x)v(x),2.分部积分法u(x)v,a,xdx.,1,七、定积分的应用1.平面图形的面积(1)直角坐标系由曲线yy1(x)，yy2(x)和直线xa，xb围成的图形的面积为：b,a,S,y2(x)y1(x)dx.,(2)极坐标系由曲线1()，2()及射线，围成的图形的面积为：,2,1,22,S12()2()d.,2.旋转体的体积(1)由曲线yf(x)(f(x)0)与直线xa，xb和x轴围成的平面图形,2,b,x,a,绕x轴旋转一周的体积为：Vf(x)dx.,b,y,a,绕y轴旋转一周的体积为：V2xf(x)dx.,(2)由曲线xg(y)(g(y)0)，与直线yc，yd和y轴围成的平面图形,2,d,y,c,绕y轴旋转一周的体积为：Vgxdy.,d,c,绕x轴旋转一周的体积为：Vx2,ygydy.,(3)平行截面面积为已知的立体的体积平面xa，xb之间的立体，若过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x)已知，则该立体,b,的体积为VaA(x)dx.3.平面曲线的弧长*(1)参数方程所表曲线的弧长,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,x(t),设光滑曲线L:,y(t),t，(t)，(t)在,上有连续的导数，则曲线,22,L的弧长为S(t)(t)dt.,(2)直角坐标系设光滑曲线L:yf(x)，axb,f(x)有连续的导数，则曲线L的弧长,b,a,S1y2dx.,(3)极坐标系设光滑曲线L:r()，()在,上有连续导数，则曲线L的弧,长S()2()2d.,4.旋转体的侧面积*曲线yf(x)(f(x)0)与直线xa，xb和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周,b,y,a,得到的旋转体的侧面积为：V2f(x)1y2dx.,第五讲微分方程一、微分方程的基本概念1.微分方程的定义：凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程.2.微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶.3.微分方程的解(1)若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式，这样的函数称为微分方程的解.(2)微分方程的解中含有自由常数，且含有独立常数的个数等于方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解.(3)微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解.二、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,dx,1122,dy(1)方程形式：P(x)Q(y)(Q(y)0)或M(x)N(y)dxM(x)N(y)dy0.,M(x)N(y)M(x)N(y)(2)解法：先分离变量成1dx2dy，再两边积分1dx2dyC.M2(x)N1(y)M2(x)N1(y)2.齐次方程,dx,dyy,x,(1)方程形式：.,xdxdx,ydydu(2)解法：u，则ux(u)，两边积分得,du,(u)u,x,dxC.,三、一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程dy(1)方程形式P(x)yQ(x).dx(2)解法：常数变易法求得通解yePxdxQxePxdxdxC.2.贝努利方程*,dx,dy(1)方程形式：PxyQxynn0,1.,1,(2)解法：设zy1n，则方程化成dzP(x)zQ(x)，再用一阶线性微分方程的求解方1ndx法求解.3.全微分方程*,(1)方程形式：P(x,y)dxQ(x,y)dy0，满足条件QP.xy(2)解法：上述全微分方程通解为u(x,y)C，求u(x,y)的常用方法：,00,(x,y),(x0,y0),特殊路径积分法：u(x,y)u(x,y),P(x,y)dxQ(x,y)dy，,x,y,x0y0,u(x0,y0)P(x,y0)dx,Q(x,y)dy.,x,u不定积分法：由P(x,y)得u(x,y)P(x,y)dxC(y)，对y求导得,Q(x,y)P(x,y)dxC(y)，求出C(y)，然后积分即可.,y四、可降阶的高阶微分方程*1.y(n)f(x)型,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,12n1n,解法：用n次积分求解，通解yf(x)(dx)nCxn1Cxn2CxC.,n次2.yf(x,y)型(方程中不显含y)解法：设yp，则yp，原方程变为pf(x,p)，该方程为一阶微分方程.设其解为pg(x,C1)，即yg(x,C1)，则原方程的通解为yg(x,C1)dxC2.3.yf(y,y)型(方程中不显含x),解法：设yp，把p看成y的函数，则ydpdpdypdp，把y,y的表达式代dxdydxdy,1,入原方程得pf(y,p)，设其解为pg(y,C),则原方程的通解为,2,1,g(y,C),dpdy,xC.,dy五、二阶线性微分方程解的性质与结构二阶齐次线性方程：yp(x)yq(x)y0,二阶非齐次线性方程：yp(x)yq(x)yf(x),1.若y1(x),y2(x)为齐次方程的两个解，则它们的线性组合C1y1(x)C2y2(x)仍为方程的解.特别地，当y1(x)与y2(x)线性无关时，则齐次方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x).2.若y*(x)方程的一个特解，而Cy(x)Cy(x)为方程的通解，则非齐次方程的1122通解为yCy(x)Cy(x)y*(x).11223.若y1(x),y2(x)为非齐次方程的两个解，则C1y1(x)C2y2(x),(C1C21)仍为的解；y1(x)y2(x)是齐次方程的解.4.设y1(x)与y2(x)分别是yp(x)yq(x)yf1(x)与yp(x)yq(x)yf2(x)的特解，则y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)yf1(x)f2(x)的特解.六、常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程(1)方程形式：ypyqy0.(2)解法：先求其特征方程2pq0的根，其通解结构为当p24q0,特征方程有两个不同的实根,，则通解为yCe1xCe2x.1212,1,1212,x,当p24q0，特征方程有二重根，则通解为yCCxe.,当p24q0,特征方程有共轭复根i，则通解为,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义yex(CcosxCsinx).122.n阶常系数齐次线性方程*(1)ynpyn1pyn2pypy0，其中p(i1,2,n)为常数.12n1ni(2)解法：由特征方程npn1pn2pp0的根写出微分方程的通解12n1n中含有的对应项如下：若特征方程有n个不同的实根,，则通解yCe1xCe2xCenx.12n12n若为特征方程的k重实根(kn)，则通解中含有(CCxCxk1)ex.12k若i为特征方程的k重共轭复根(2kn)，则通解中含有ex(CCxCxk1)cosx(DDxDxk1)sinx.12k12k七、二阶常系数非齐次线性方程方程的形式：ypyqyf(x)，其中p,q为常数，特征方程为2pq0.1.f(x)P(x)ex其中P(x)为n次多项式，为实常数，则方程的特解y的形式为：nn,n,(1)若不是特征根，则令yR(x)ex，,n,(2)若是特征方程单根，则令yxR(x)ex，,(3)若是特征方程的重根，则令yx2R(x)ex，其中R(x)为n次多项式，将y代入原nn方程求出Rn(x)的各系数得到原方程的特解.2.f(x)exP(x)cosxPsinx，其中P(x)，P(x)分别为n，l次多项式，则方nlnl程的特解y的形式为：,mm,x(1)(2),(1)若i不是特征方程的根，则令yeR(x)cosxR(x)sinx，,(2)若i是,mm,x(1)(2),特征方程的根，则令yxeR(x)cosxR(x)sinx，其中,R(1)(x)，R(2)(x)是m次多项式，mmaxn,l，将y代入原方程求出R(1)(x)，R(2)(x)mmmm的各系数，从而得原方程的特解.第六讲多元函数微分学一、多元函数的概念1.二元函数的定义,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义,设D是R2的一个非空子集，称映射f:DR为定义在D上的二元函数，通常记为zf(x,y),(x,y)D，其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量.2.二元函数的极限的定义设二元函数f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，如果存在常数A，对于o,0，使得当点P(x,y)DU(P0,)时，都有f(P)A,f(x,y)A成,立，那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限，记作limf(x,y)A.(x,y)(x0,y0)3.二元函数的连续性定义设二元函数f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，且P0D.如果,00,00,(x,y)(x,y),limf(x,y)f(x,y)，,则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.二、偏导数1.偏导数的定义：设二元函数zf(x,y)在U(P0,)内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，,相应的函数有增量f(x0x,y0)f(x0,y0)，如果lim,x0,f(x0x,y0)f(x0,y0),x,存在，,则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0),xxx0,yy0yy0,f,z,xxx0,或zxxx0.yy0,类似地，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处,对y的偏导数定义为,y0,y,y00,yxx0yy0,yy0yy0,limf(x0,y0y)f(x0,y0)，记作f(x,y),f,z,yxxyxx00,或z,.,2.偏导数的几何意义fx(x0,y0)表示曲面zf(x,y)与平面yy0的截线在点(x0,y0,f(x0,y0)处的切线关于x轴的斜率；fy(x0,y0)表示曲面zf(x,y)与平面xx0的截线在点,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(x0,y0,f(x0,y0)处的切线关于y轴的斜率.3.二元函数的二阶偏导数设zf(x,y),则,xx,xx,z,f(x,y)()，,xy,yx,z,f(x,y)(),xy,2z,z,2zx22z,z,fyx(x,y)()，2fyy(x,y)(),yxxyyyy,2z,xyyx,22,4.如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数z和z都在区域D内连续，那么在该,区域内这两个二阶混合偏导数必相等.三、全微分1.全微分的定义设函数zf(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表为zAxBy()，其中A,B不依赖于x,y，而仅与x,y相关，(x)2(y)2，则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分，而AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dzAzBy.2.可微的必要条件如果函数zf(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数z，z必定存xy在，且函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分为dzzxzy.xy3.可微的充分条件如果函数zf(x,y)的偏导数z，z在点(x,y)连续，则函数在该点可微分.xy四、多元复合函数的求导法则1.多元复合函数的求导法则(链式法则)(1)一元函数与多元函数复合的情形如果函数u(t)及v(t)都在点t可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续,dtudtvdt,偏导数，则复合函数zf(t),(t)在点t可导，且有dzzuzv.,2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(2)多元函数与多元函数复合的情形如果函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zf(x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，且有zzuzv，zzuzv.,xuxvxyuyvy2.全微分形式的不变性,dzzduzdv，不管u，v是中间变量还是自变量都成立，该性质叫全微分形式uv的不变性.五、隐函数的求导1.由方程确定的隐函数(1)一元隐函数设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)0，Fy(x0,y0)0，则方程F(x,y)0在点(x0,y0)的某邻域内恒能唯一确定一个连续且具有,dxFy,dyFx,连续导数的函数yf(x)，它满足条件y0f(x0)，且.,(2)二元隐函数设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)0，Fy(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0