系统的时域分析

信号与系统,SignalsandSystems,国家精品课程主教材、北京市精品教材信号与系统(第2版)陈后金，胡健，薛健清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005年,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性,离散时间系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应hk定义hk的求解迭代法等效初始条件法阶跃响应gk的求解,一、单位脉冲响应hk定义,单位脉冲序列k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号hk表示。,对N阶LTI离散时间系统，hk满足方程,二、hk的求解,求解方法:,2)等效初始条件法,将dk-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1=h-2=h-n=0递推求出。,1)迭代法,例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应hk。,解：hk满足方程,1)求等效初始条件,对于因果系统有h-1=h-2=0，代入上面方程可推出,注意：选择初始条件的基本原则是必须将dk的作用体现在初始条件中,可以选择h0和h1或h-1和h0作为初始条件,解：hk满足方程,2)求差分方程的齐次解,特征方程为,特征根为,齐次解的表达式为,代入初始条件，有,解得C1=-1，C2=2,例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应hk。,三、单位阶跃响应,求解方法:,单位阶跃序列uk作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gk表示。,1)迭代法,2)经典法,3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系,hk=gk-gk-1,例2求例1所述系统的单位阶跃响应gk。例1若描述某离散时间LTI系统的差分方程为,例1所述系统的单位脉冲响应为,解：,利用hk与gk的关系，可得,hk=-(-1)k+2(-2)kuk,卷积和的计算与性质,图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质交换律结合律分配律位移特性差分与求和特性,一、图解法计算卷积和,卷积和的定义为,计算步骤：,1)将fk、hk中的自变量由k改为n；2)把其中一个信号翻转，如将hn翻转得h-n；3)把h-n平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。4)将fn与hk-n相乘；5)对乘积后的图形求和。,例1已知fk=uk，hk=akuk，0a1，计算yk=fk*hk,例1已知fk=uk，hk=akuk，0a1，计算yk=fk*hk,k0,fn与hk-n图形没有相遇,yk=0,例1已知fk=uk，hk=akuk，0a1，计算yk=fk*hk,k0,fn与hk-n图形相遇,例1已知fk=uk，hk=akuk，0a1，计算yk=fk*hk,k0，fn与hk-n图形相遇,k0，fn与hk-n图形没有相遇,yk=0,例2计算yk=RNk*RNk,例2计算yk=RNk*RNk,k0时,RNn与RNk-n图形没有相遇,yk=0,0kN-1时，重合区间为0，k,例2计算yk=RNk*RNk,N-12N-2时，RNn与RNk-n图形不再相遇,yk=0,例2计算yk=RNk*RNk,k0时,RNn与RNk-n图形没有相遇,yk=0,0kN-1时，重合区间为0，k,N-12N-2时，RNn与RNk-n图形不再相遇,yk=0,二、列表法计算序列卷积和,设fk和hk都是因果序列，则有,当k=0时，,当k=1时，,当k=2时，,当k=3时，,以上求解过程可以归纳成列表法。,二、列表法计算序列卷积和,将hk的值顺序排成一行，将fk的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应fk与hk的乘积，,对角斜线上各数值就是fnhk-n的值。,对角斜线上各数值的和就是yk各项的值。,解:,例3计算与的卷积和。,解:,例4计算与的卷积和。,三、卷积和的性质,交换律:,fk*hk=hk*fk,fk*h1k*h2k=fk*h1k*h2k,fk*h1k+h2k=fk*h1k+fk*h2k,结合律:,分配律:,三、卷积和的性质,位移特性：,fk*dk-n=fk-n,推论：若fk*hk=yk，则,fk-n*hk-l=yk-(n+l),差分与求和特性：若fk*hk=yk,解:,例5计算与的卷积和。,利用位移特性,冲激响应表示的系统特性,级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统,一、级联系统的冲激响应,根据卷积积分的结合律性质，有,h(t),一、级联系统的冲激响应,结论:,1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。,2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。,两个离散时间系统的级联也有同样的结论。,二、并联系统的冲激响应,应用卷积积分的分配律性质，有,h(t),二、并联系统的冲激响应,结论:,并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。,两个离散时间系统的并联也有同样的结论。,例1求图示系统的冲激响应，其中h1(t)=e-3tu(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=u(t)。,解：,子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。,例2求图示系统的单位脉冲响应，其中h1k=2kuk，h2k=dk-1，h3k=3kuk，h4k=uk。,解：,子系统h2k与h3k级联，h1k支路、全通支路与h2kh3k级联支路并联，再与h4k级联。,全通支路满足,全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列dk,三、因果系统,定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。,LTI系统因果的充分必要条件,因果连续时间LTI系统的冲激响应必须满足,因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足,例3判断M1+M2+1点滑动平均系统是否为因果系统。,解：M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系为,系统的单位脉冲响应为,即,显然，只有当M1=0时，才满足hk=0,k0的充要条件。,即当M1=0时，系统是因果的。,四、稳定系统,定义：若系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。(BIBO稳定),LTI系统稳定的充分必要条件,连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是,离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是,例4判断M1+M2+1点滑动平均系统是否稳定。,解：由例3可知，系统的单位脉冲响应为,由离散时间LTI系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。,对hk求和，可得,例5已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。,解：由于,当a0时，,系统稳定,当a0时，,系统不稳定,综合例题1.已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)(2)冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(1),系统的特征方程为s2+7s+12=0,特征根为s1=-3,s2=-4（两不等实根）,零输入响应为,代入初始状态y(0-),y(0-),解得A=6B=-5,系统的零输入响应为,综合例题1.已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)(2)冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(2),利用冲激平衡法可求出C=1D=-1,系统的零状态响应,综合例题1.已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)(2)冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(3),系统的固有响应为,强迫响应为,系统的稳态响应为,暂态响应为,综合例题1.已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)(2)冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(4),该系统为稳定系统,综合例题2.已知某离散因果LTI系统的差分方程为求:(1)零输入响应yxk(2)单位脉冲响应hk、零状态响应yfk(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(1),系统的特征方程为r23r+2=0,特征根为r1=1,r2=2,零输入响应为,代入初始状态y-1,y-2,=3,解得A=-1B=8,系统的零输入响应为,=1,综合例题2.已知某离散因果LTI系统的差分方程为求:(1)零输入响应yxk(2)单位脉冲响应hk、零状态响应yfk(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(2),解得C=-1D=2,综合例题2.已知某离散因果LTI系统的差分方程为求:(1)零输入响应yxk(2)单位脉冲响应hk、零状态响应yfk(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。,解：,(2),系统的零状态响应,综合例题2.已知某离散因果LTI系统的差分方程为求:(1)零输入响应yxk(2)单位脉冲响应hk、零