4-2由势能求保守力、守恒定律.ppt

4.4保守力,一对万有引力的功：,势能是质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。,势能是研究一对保守力的功引进的，所以它属于以保守力相互作用的整个质点系统。不为单个物体所具有。,物体系统在两个不同位形的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量，与参考系的选择无关。,势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。,4.5、6、7势能,一质点相对于另一质点沿闭合路径移动一周时，它们之间的保守力做的功必然为零。,L,L,势能曲线,引力势能零点：,两质点相距无穷远时。,势能零点：,物体在地面上时。,重力势能,弹性势能,引力势能,弹性势能零点：,弹簧处于自然长度时。,势能曲线的作用：,1、根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。,2、利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。,保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。,4.8由势能求保守力,引力沿r方向的投影：,弹力沿x方向的投影：,则保守力在x,y,z方向的分量分别为：,例如：,一般情况下Ep可以是位置坐标（x,y,z)的多元函数，,矢量微分算符：,则：,在数学上，当一个矢量在任一方向的分量等于某个函数在该方向的空间变化率时，就把这个矢量称为该函数的梯度。,势能函数的空间变化率称为势能梯度，它是一个矢量，保守力等于相应的势能函数的梯度的负值。,对引力、重力、弹力，其势能都是位置的一元函数，保守力应等于势能曲线斜率的负值。由此，可通过势能曲线来分析物体的受力情况。,例：一质量为m的物体，在保守力F（x）的作用下，沿x轴正向运动（x0）。与该保守力相应的势能是,求物体的平衡位置。,解：,这就是物体的平衡位置。,令F=0,系统的内力，有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功和非保守内力的功。,当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。,4.9机械能守恒定律,1、系统的功能原理,当取物体作为研究对象时，使用的是单个物体的动能定理。其中外力所作的功指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包括重力、弹性力在内的一切外力所作的功。,当取系统作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。,如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。,2、机械能守恒定律,3、质心系的功能关系,由质点系的动能定理,将上式转换到除外力只受保守内力的保守系统的质心系,而：,系统除外力外只受保守内力保守系统,相对于质心参考系，外力对系统所做的功等于系统内能的增量。,令,称为系统的内能,例1：质量为m=2kg的质点从静止出发沿X轴做直线运动，受力，试求3秒内，该力做多少功？,解：,习题4.2：一匹马拉着雪橇沿着弧形路面极缓慢地匀速移动，设弧形路面的半径为R，马对雪橇的拉力总是平行于路面，雪橇的质量为m，与路面的滑动摩擦系数为k，当把雪橇拉上450圆弧时，马对雪橇做功多少？重力和摩擦力各做功多少？,解：,极缓慢地匀速移动，可认为法向与切向受力均为零。,切向：,法向：,重力对雪橇做的功：,摩擦力对雪橇做的功：,习题4.8：弹簧原长为AB，劲度系数为k，下端固定在A点，上端与一质量为m的木块相连，木块总靠在半径为r的半圆柱上。今沿半圆的切向用力F拉木块使其极缓慢地移过角。求在这一过程中力F做的功？,解：,木块极缓慢地移动，可认为其处于平衡状态。,在切向：,而弹力大小为：,木块移过角F做的功为,例2：在一光滑水平面上固定半圆形滑槽，质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入滑槽一端，滑块与滑槽的摩擦系数为。试证当滑块从滑槽另一端滑出时，摩擦力所做的功为,证明一：,由动能定理得,由牛顿定律,法向力：,切向力：,两式联立：,得：,证明二：,则：,用功的公式证明。,下面的计算同证明一。,证明三：,用角动量定理证明,摩擦力对圆心o的力矩等于m对o点的角动量的时间变化率,对称性与守恒定律,对称性（不变性）的定义：如果我们对一件东西可以作某些事情，使得事情过后这件东西仍就和以前一样，我们就叫这件东西是对称的。,任意给定的物理实验或物理现象的发展变化过程，是和此实验所在的空间位置无关的，亦即换一个地方作实验，其进展过程也完全一样，这个事实叫做空间均匀性或空间平移对称性。,1.1空间平移对称性（空间均匀性）,1、对称性,任意给定的物理实验的发展过程和此实验开始的时间无关，亦即早些开始做，还是迟些开始做，甚至现在开始做，此实验的进展过程也是完全一样的，这个事实叫做时间平移对称性或时间均匀性。,任意给定的物理实验的发展过程和此实验装置在空间的取向无关，亦即把实验装置转换一个方向，并不影响实验的进展过程，这个事实叫做空间各向同性或空间转动对称性。,1.2空间转动对称性（空间的各向同性）,1.3时间平移对称性（时间均匀性）,2、守恒定律,这些量是守恒的,并用守恒定律的形式来描述这些概念,守恒定律是最基本的规律,它们具有的确实可靠性和极大的普遍性，因而可以预言哪些过程是允许的，哪些过程是禁止的,而不必考虑引起这些过程的物理机制,3、内特尔定律,如果运动规律在某一不明显依赖于时间的情况下具有不变性,必相应存在一个守恒定律,在宇宙中,某些量(如:能量，动量和角动量等)的总量不变。,运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒。,运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒