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文档简介
,第二节,正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法(一),机动目录上页下页返回结束,第8章,一、正项级数及其审敛法,若,定理1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,机动目录上页下页返回结束,定理2(比较审敛法),证明,即部分和数列有界,小发大发大收小收,机动目录上页下页返回结束,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,机动目录上页下页返回结束,解,由图可知,机动目录上页下页返回结束,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,证明,小发则大发,定理3.比较审敛法的极限形式:,机动目录上页下页返回结束,证明,由比较审敛法的推论,得证.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动目录上页下页返回结束,解,故原级数收敛.,机动目录上页下页返回结束,证明,机动目录上页下页返回结束,收敛,发散,机动目录上页下页返回结束,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,机动目录上页下页返回结束,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,对任意给定的正数,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,机动目录上页下页返回结束,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,机动目录上页下页返回结束,例6.证明级数,收敛于S,似代替和S时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和Sn近,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,
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