第二章导数与微分电子教案第一节

一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、可导与连续的关系,一、引例,引例1直线运动的速度,对于匀速直线运动有,平均速度,=,经过的路程,所花的时间,其特点是：任一时刻的瞬时速度都相等，且等于任一时,上述公式也可用来求变速直线运动在某一时间间隔上,的平均速度.,间间隔上的平均速度.,我们知道，自由落体运动的位置函数为,其中g为重力加速度.,自由落体运动是变速运动，随着时,的增加，,物体落下的速度会越来越快.,对于该运动，利用前面的公式，容易,求出它在任意时间间隔上的平均速度.,那么变速直线运动的瞬时速度如何求呢？,设一动点作变速直线运动，其位置函数为s=s(t)，,现在来求它在时刻t0的瞬时速度.,为此，在t0处取一时间间隔t，于是终止时刻为,t0,t,t,t=tt0,则动点在时间间隔t上的平均速度为,由此可得瞬时速度为,t=t0+t.,引例2曲线的切线,定义设有曲线C及C上的,一点M，,在点M外另取C上,一点N，,作割线MN.,当点N,沿曲线C趋于点M时，,如果割,线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，,则称直线MT,为曲线C在点M处的切线.,简单地说，切线是割线的极限.,切线的动画演示,由切线的定义知,由此可得切线的斜率为,引例1中的瞬时速度为,引例2中切线的斜率为,尽管在这两个引例中，所求量的具体意义不同，,但最,终所求量的计算公式相同.,因此需要对这种运算进行研,究，于是就产生了导数.,二、导数的定义,1.函数在一点处的导数与导函数,定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻,域内)时，,相应的函数取得增量y=f(x0+x)f(x),如果极限,存在，,则称函数y=f(x)在点x0处可,导，,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，,记为f(x0)，即,也可记作,或,定义公式的等价形式,定义如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可,导，就称函数f(x)在开区间I内可导.,这时，对于任一,xI，都对应着f(x)的一个确定的导数值，,这样就构,成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y=f(x)的,导函数，记作,或,注意,2.求导数举例,例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数.,例2求函数f(x)=xn(nN+)的导数.,更一般地有,(为常数).,例3求函数f(x)=sinx的导数.,类似地可得,例4求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数.,特别地，a=e时，,例5求函数f(x)=logax(a0,a1)的导数.,特别地，a=e时，,例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.,3.单侧导数,左导数,右导数,定理函数f(x)在点x0处可导的充要条件是左导数,和右导数都存在且相等.,如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且f+(a)及,f-(b)都存在，,则称f(x)在闭区间a,b上可导.,三、导数的几何意义,由引例2知，若函数y=f(x),在点x0处可导，,则曲线y=f(x),在x0处存在切线，,且切线的斜率,于是切线方程为,法线(过切点且垂直于切线)方程为,若f(x0)=，,则曲线在x0处有垂直于x轴的切线.,例7求等边双曲线,在点,处的切线方程,和法线方程.,例8已知曲线,在某点的切线通过点(0,-4),求曲线在该点处的切线方程和法线方程.,四、可导与连续的关系,可导一定连续，但连续不一定可导，连续是可导的,必要条件.,因为若函数y