柱面和锥面PPT演示课件

2柱面和锥面,2.1柱面方程的建立,1.定义3.2一条直线沿着一条空间曲线C平行移动时所形成的曲面称为柱面.称为母线，C称为准线.,按定义，平面也是柱面.,对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一.与每条母线均相交的曲线均可作为准线。,点在此柱面上的充分必要条件是在某一条母线上，即，有准线C上一点使得M在过且方向为的直线上（如图3.7）.,因此，有,消去，得,再消去参数，得到的一个方程，就是所求柱面的方程.,3.如果给的是准线C的参数方程,则同理可得柱面的参数方程为,解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为(1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要条件为：,消去u得：,2.2圆柱面，点的柱面坐标,1.圆柱面的准线可取成一个圆C，它的母线方向与准线圆垂直.,2.圆柱面有一条对称轴，圆柱面上每一个点到轴的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径.,特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴，则这个圆柱面的方程为,3.例求半径为2，对称轴为的圆柱面的方程.,解：,设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：,化简得：,4.点M的柱面坐标与它的直角坐标的关系是:,2.3柱面方程的特点,定理3.1若一个柱面的母线平行于z轴（或x轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）；反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y），则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴y）的柱面.,证明：,柱面的母线平行于z轴，故,柱面的每条母线必与xOy平面相交，从而准线C方程可设为：,点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线上，从而有：,消去x0,y0,z0得：,由于u可取任意值，故柱面方程为：,反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们考虑以曲线C,为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知，该柱面的方程为,类似地，方程,分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱面（分别如图3.11、3.12）.,2.4锥面方程的建立,1.定义3.3在空间中，由曲线C上的点与不在C上的一个定点的连线组成的曲面称为锥面.称为顶点，C称为准线，C上的点与的连线称为母线.,平面也是锥面.锥面的准线不唯一.,求这个锥面的方程.,2.设一个锥面的顶点为，准线C的方程为,点在此锥面上的充分必要条件是：M在一条母线上，即，准线上有一点使得在直线上.,因此，有,消去得,再消去u，得到的一个方程，就是所求锥面的方程.,解：设M(x,y,z)为锥面上一点，则存在准线上的一点M1(x1,y1,z1)，使得,消去参数x0,y0,z0，得,再消去参数u，最后得,2.5圆锥面,1.对于圆锥面，它有一根对称轴，它的每一条母线与轴夹的锐角都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角.,2.如果已知顶点的坐标和轴的方向向量以及半顶角，则点在圆锥面上的充分必要条件是：,由题意，锥的顶点M0坐标为(0,0,0)，故有,即：,化简得,2.6锥面方程的特点,2.定理3.2的齐次方程表示的曲面（添上原点）一定是以原点为顶点的锥面.,1.定义3.4:称为是的n次齐次函数（n是正实数），如果对于定义域中一切以及对于任意非零实数t都成立.此时，方程称为的n次齐次方程.,从而有,这说明S是锥面.,在S上任取一点，不是原点.于是直线上任一点的坐标适合,证明:设是n次齐次方程，它表示的曲面添上原点后记作S.,3定理