第六讲最佳订票模型

最佳预订票策略 问题的提出 在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。 设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨和一定的经济损失，如公司无偿供应被挤掉者食宿，付给一定的赔偿金，声誉受损，客源减少等。,因此公司需要寻找一个恰当订票数量的限额。 假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，飞行费用（固定）=0.6飞机容量机票价格（由统计资料知，乘客不按时前来登机的概率为0.03），请你: 建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。,4.4.2 模型的假设及符号说明（1）模型的假设假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。（2）符号说明n：飞机的座位数，即飞机的容量；g：机票的价格；f：飞行的费用；b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；,m：预定出的机票数；K：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，它是一个随机变量；pk：已预订票的m个乘客中恰有k个乘客不能按时前来登机的概率，k=0,1,m；p：每位乘客迟到的概率；S(K,m)：公司的利润；ES(K,m)：公司的平均利润。社会声誉指标: 已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率,问题的分析及数学模型（1）问题的分析通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g，飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率p=0.03，已预订票的m个乘客中，未到的乘客数 K 服从二项分布B（m，p），此时，当m-Kn时，说明m-K个乘客全部登机，此时利润S(K,m) =（m-K）g - f当m-Kn时，说明有n个乘客登机，有m-K-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润S (K,m)= ng f - (m K - n) b,根据以上的分析，利润S可表示为：,考虑ES(K,m)=?,于是平均利润因为,所以由于KB（m，p)， ，随机变量K的数学期望E(k)=mp，此时，,（2）数学模型通过以上对问题的分析，可以在一定的社会声誉指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，使得目标函数ES/f达到最大，即,还需考虑社会声誉指标:,模型求解 为了对问题（1）进行求解，可以分别 给定m，比如m=305,306,350，计算ES/f，同时，给定j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj（m），在社会声誉指标Pj（m）小于等于某个（比如取=0.05）中选取使ES/f最大的最佳订票数m。,下面给出MATLAB计算程序。% 飞机最佳订票策略ch34% 文件名：ch34.m% m 表示售出的票数；Es 表示平均利润；p表示声誉指标； for m=305:325 sm=0; p=0; for k=0:m-305 pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k)*0.03k*0.97(m-k);,p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*0.97*m-1.1*sm-1; m Es p end,316 0.7024 0.7566 317 0.7078 0.8388 318 0.7132 0.8990 319 0.7185 0.9399 320 0.7239 0.9661 321 0.7293 0.9818 322 0.7347 0.9907 323 0.7400 0.9954 324 0.7454 0.9979 325 0.7508 0.