第4章+傅里叶变换和系统的频域分析.ppt

第4章,傅里叶变换和系统的频域分析,连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法，这种方法以傅里叶（Fourier）变换理论为工具，将时间域映射到频率域。,绪论,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,一、矢量的分量,矢量在矢量上的分量示意图,图(a)中,4.1信号分解为正交函数,用分量来近似代表原矢量的误差矢量。,图中为在上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量时，都大于。,结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。,图(a)中,从几何图上可得：,是在最小平方误差的意义上标志着和相互近似程度。,二、矢量的正交分解,正交矢量：相互垂直的矢量,1)任意平面矢量A:,均可用二维正交的分矢量组合表示,0,若V1、V2为正交单位矢量,2)任意空间矢量A:,可用三维正交的分矢量组合表示,空间上完备的正交矢量集为V1,V2，V3,则,类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号，使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。,1、函数的分量,设在区间内，用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数。,取何值时，得到最佳近似？,令,解得,是在最小方均误差的意义上代表二函数和间的相关联的程度。,称和在区间内为正交，构成了一个正交函数集。,称与正交，组成正交矢量。,正交条件,正交函数集,复变函数的正交特性,完备正交函数集,4.2周期信号的傅里叶级数,周期信号f(t)的定义,f(t)=f(tmT)tm=0,1,2,3T=2/表示f(t)的角频率,周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)内可以展开成在完备正交函数空间中的无穷级数。,周期信号展开成傅里叶级数的条件,2)f(t)在一周期内有有限个极大值或极小值,3)f(t)在一周期内只有有限个第一类间断点,通常遇到的周期信号都满足该条件，不在特别说明。,1、三角函数集,2、函数的对称性与傅立叶系数的关系,如果信号的波形满足某种对称性，则傅立叶级数中有些项将不出现整周期对称：偶函数只含余弦项和直流项奇函数只含正弦项对半周期对称：偶谐函数只含偶次谐波分量奇谐函数只含奇次谐波分量,（1）信号为偶函数,解:,（2）信号为奇函数,解:,注意：函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关。对于非奇非偶函数，若将原信号的波形通过移动坐标轴（包括横坐标和纵坐标）后，具有某种对称性。任意一个信号都可以分解为偶函数和奇函数两部分之和，因此一般非奇非偶信号的傅立叶级数中应含有正弦分量和余弦分量,（3）信号为半波重叠信号,（4）信号为半波镜像信号,解:,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。,一、频谱图的概念,由上一节知周期信号f（t）可用付里叶级数来表示。,或,4.3周期信号的频谱,频谱图（频谱特性曲线）：,描述An（或|Fn|）及相位n随频率变化的一种谱线图,频谱图分为幅度谱和相位谱,幅度谱：表示f(t)中各谐波的幅度(An或|Fn|)随频率（或f）变化的图。,相位谱：表示f(t)中各谐波的相位n随频率（或f）变化的图。,幅度谱：以频率（或f）为横坐标，以各谐波的振幅An或|Fn|为纵坐标的谱线图。每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线，称为包络线，反映各分量幅度随频率（或f）变化的情况。,幅度谱,相位谱：以频率（或f）为横坐标，以各谐波的相位为纵坐标。,1）单边频谱,信号分解为三角形级数时用单边频谱表示,2）双边频谱,信号分解为指数形级数时用双边频谱表示,离散性：谱线只出现在离散频率点上（离散谱）,谐波性：所含频率均为周期信号角频率的整数倍,收敛性：谐波幅度随n的增大而减小,当n时An(或Fn)0,周期信号频谱的特点：,例已知周期信号f(t)=2cos(2t-3)+sin(6t),求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱,二、周期矩形脉冲的频谱,周期矩形脉冲信号,F（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,A：脉冲幅度,T,：三角函数公共周期,其复系数考虑到，上式也可表示为由此可得的指数形式的傅里叶级数为,取样（抽样）函数。它在通信理论中应用很多，是一个重要函数。该函数具有以下特点：是偶函数；当时，是以为振幅的“正弦函数”，因而对于x的正负两半轴都为衰减的正弦振荡；在处，即，而在处，有；。,则周期矩形脉冲的傅里叶复系数可改写为,因此，的图形与Sa(x)的曲线相似。n只能取0、12、，的频谱图形是图中虚线上的离散值，虚线称为频谱的包络线，频谱可以看成是对包络线的离散抽样。,信号的重复周期T和脉冲持续时间与频谱的关系（1）T不变与变化：当保持周期T不变，而将脉冲宽减小，则频谱的幅度随之减小，相邻谱线的间隔不变，频谱包络线过零点的频率增高，频率分量增多，频谱幅度的收敛速度相应变慢。,F0=A/Tw1=2/T,（2）不变而周期T不同：随着周期T，频谱幅度随之，相邻谱线的间隔变小，谱线变密。但其频谱包络线的过零点所在位置不变。如果周期无限增长（变为非周期信号），此时，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。,“带宽”：这段频率范围称为矩形信号的有效带宽（或称为“频带宽度”，简称“带宽”），记作为，即或频带宽度与持续时间关系：信号的频带宽度与信号的持续时间成反比，信号持续时间愈长，其频带愈窄；反之，信号脉冲愈窄，其频带愈宽。,三、周期信号的功率谱,一、频谱密度函数以周期矩形信号为例，当周期（周期信号变为非周期信号），（离散频谱变成连续频谱）即各频率分量的幅度趋于零（无穷小）。,以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。,此时，还用谱系数表示频谱就失效了，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,4.4非周期信号的频谱,为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量称为“频谱密度函数”。,从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，三角函数振幅，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。,1、矩形单脉冲信号（门函数）,(a),四典型信号的傅立叶变换,(a)(b)(c),连续谱时有限，频无限有效带宽,1,t,0,f(t),(a),0,(b),x(t),0,t,(a),结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。,3.5常用非周期信号的傅立叶变换,信号的持续时间与其频带宽度成反比,广义傅立叶变换,3单位直流信号,幅度等于1的直流信号可表示为它不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可以看作是函数当时的极限。,因为当时，由上式可见，它是一个以为自变量的冲激函数。根据冲激函数的定义，该冲激函数的强度为所以有,结论：1、幅度为1的直流信号的频谱函数为2();2、直流信号在频域中只含有=0的直流分量，而不含其它频率分量；3、直流信号持续时间为无限大，因而占有的频带宽度为0，符合信号的持续时间与频带宽度成反比的规律。,4）符号函数的傅里叶变换,借助奇双边指数函数,求极限,1,2,3,4,F(j0)=0可认为正负相互被抵消,的奇虚函数,5）阶跃函数的傅里叶变换,f(t)=(t),=,+,+,=,(t)=1/2+1/2sgn(t)=()+j(-1/),归纳记忆：,1.F变换对,2.常用函数F变换对：,(t),(t),e-t(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),4.5傅立叶变换的性质,例：(t)=1/2+1/2sgn(t),=()+j(-1/),【例】求图示信号的傅里叶变换。,将看成门函数的叠加，应用门函数的傅里叶变换及线性性质就可简便地求得。即由线性性质知,ForexampleF(j)=?,Ans:f(t)=f1(t)g2(t),f1(t)=12(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),-,二、奇偶性,Iff(t)isreal,then,=R()+jX(),Sothat,R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)Iff(t)F(jw),thenf(-t)F(jw),例如(t)=11=2(-)=2(),例：Sa(t),频宽有限,时宽有限,频宽无限,时宽无限,傅立叶变换时域与频域的对称关系,时域频域,周期信号离散谱,离散信号周期性,连续信号非周期,非周期信号连续谱,F,Giventhatf(t)F(j),findf(atb)?,f(at),f(atb)=,ForexampleF(j)=?,Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5),g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,若且为常数，则证明由傅里叶变换定义得表明：将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移；将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴左移。,(调制特性),调制：各类电子系统中，经常需要搬移频谱，此过程称为调制解调：的频谱原来在附近（高频信号），使其频谱搬移至附近（低频信号）的过程变频：信号的频谱原来是在附近，使其频谱搬移到附近调制定理：若则解调定理频分复用技术,卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理。（1）时域卷积定理若则,时域卷积定理说明：时域的卷积等效于频域的乘法,【例】求图（a）所示信号的傅里叶变换。,解:图（a）信号可以看作图（b）信号与图（c）信号的卷积得到。的傅里叶变换分别为由时域卷积定理，得,（2）频域卷积定理若则频域卷积定理说明：时域的乘法等效于频域的卷积。,【例】求信号的傅里叶变换,并画出频谱图。解:设，则看作为与之乘积。由频域卷积定理得,若当存在时，则有的时间微分傅氏变换为,f(t)=1/t2?,Forexample1,Ans:,的时间积分傅里叶变换为,如果的积分为零（直流分量为0），则,【例】求图（a）所示信号的频谱函数。,解：对f(t)求一阶导数、二阶导数,其波形如图（b）、（c）所示。应用冲激函数傅里叶变换对及时移、线性性质有因f(t)的一阶导数、二阶导数净面积都为零，故f(t)的频谱函数为,【例】求下列截平斜变信号的频谱。解:利用积分特性求的频谱。把看成脉幅为，脉宽为的矩形脉冲的积分，即,根据矩形脉冲的频谱及时移特性，可得的频谱为注意到求得,设（1）频域微分若则（2）频域积分若则,4.6周期信号傅里叶变换,一、正、余弦的傅里叶变换,12()由频移特性得ej0t2(0)ej0t2(+0)cos(0t)=(ej0t+ej0t)(0)+(+0)sin(0t)=(ej0t-ej0t)/(2j)j(+0)(0),二、一般周期信号的傅里叶变换,-2T-T0T2T3Tt,(a)周期单位冲激序列(b)付里叶变换频谱,表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。,例：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即,f(t)=T(t)*f0(t),F(j)=()F0(j),F(j)=,本题f0(t)=g2(t),三、傅里叶系数与傅里叶变换,例：,付里叶变换,付里叶级数,例：,4.8LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为ejt,一、基本信号ejt作用于LTI系统的响应,本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号ejt时，其响应,而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，常称为系统的频率响应函数。,y(t)=H(j)ejt,H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位。,y(t)=h(t)*ejt,二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应,ejt,H(j)ejt,F(j)ejtd,F(j)H(j)ejtd,齐次性,可加性,f(t),y(t)=F1F(j)H(j),Y(j)=F(j)H(j),频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。,总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。,频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即,H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，()是的奇函数。,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,对周期信号还可用傅里叶级数法。,周期信号,若,则可推导出,例：某LTI系统的H(j)和()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。,用傅里叶变换,F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10),Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5)+(+5)H(-j5)+4(10)H(j10)+(+10)H(-j10),H(j)=H(j)ej(),=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5),y(t)=F-1Y(j)=2+2cos(5t-90。),解法二：用三角傅里叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)=2+4cos(t)+4cos(2t),H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0,y(t)=2+40.5cos(t0.5)=2+2sin(5t),现在研究一个线性时不变系统，其输入为，输出或响应为，描述该系统的微分方程为对上式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质，可得于是系统响应（或输出）的傅里叶变换为,三、频率响应H(j)的求法,1.H(j)=Fh(t),2.H(j)=Y(j)/F(j),例：某系统的微分方程为y(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-t(t)时的零状态响应y(t)。,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j)+2Y(j)=F(j),f(t)=e-t(t),Y(j)=H(j)F(j),y(t)=(e-te-2t)(t),【例】如图所示的系统，已知乘法器的输入系统的频率响应，求输出,解由图可知，乘法器的输出依频域卷积定理可知，其频谱函数式中,令，根据对称性可得故得的频谱函数为的频谱函数为因此可得系统的频率响应函数可写为所以系统响应的频谱函数为取上式的傅里叶反变换得：,如果一个信号在经过系统之后，其输出信号与输入信号的波形不同，即波形发生了畸变，称信号产生了失真。,1.失真的概念及线性系统产生失真的原因,如果信号在经过系统之后，只引起输出信号时间上的延迟及幅度的增减，而波形的形状并没有发生畸变，称信号无失真。,四、无失真传输与滤波,失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中,产生了失真。,一.线性系统引起信号失真的原因,1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的,衰减，引起幅度失真。,1)有意进行波形变换(即产生失真如变频),2）使信号无失真传输(如传输系统),f(t)与y(t)的波形是否一致取决于H(j),H(j)为加权函数,线性系统主要讨论无失真传输问题,在实际应用中,2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。,二.线性系统无失真条件,波形无改变则称为无失真,作相应的傅氏变换，得故有这是无失真传输所要求的系统函数。系统对信号无失真地传输时应满足两个条件：系统的幅频特性在整个频率范围内应为常数K，即系统的通频带应为无穷大；系统的相频特性在整个频率范围内与成正比.,系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(ttd)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即H(j)=K,()=td,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2)无失真传输条件：,例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),4.8.3理想低通滤波器的特性,滤波器的概念,信号通过系统时，如果其中的某些频率分量能够正常地通过，而有的频率分量被系统抑制，称该系统为滤波器。,根据被允许通过或被抑制的频率范围，滤波器可分为低通(LPF)、高通(HPF)、带通(BPF)等。,低通滤波器的概念,若系统允许低于某一频率的所有频率分量通过，而将高于这一频率的所有频率分量抑制或完全阻止，则称该系统为低通滤波器。,允许通过的频率范围称为通带被抑制的频率范围称为阻带,为截止频率(Cutofffrequency),相移特性是过原点直线,阻带,通带,阻带,理想滤波器:该系统的幅频特性在某一频带内保持为常数而在该频带外为零，相频特性始终为过原点的一条直线。,二、理想低通滤波器的冲激响应,由图知t0时，而输入在t=0时加入，这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。,(2)阶跃响应,g(t)=h(t)*(t)=,经推导，可得,称为正弦积分,特点：有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,3、物理可实现系统的条件,就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即h(t)=0,t0即响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,4.9取样定理,在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。,例1.一幅新闻照片,局部放大后的图片,例2.另一幅新闻照片,局部放大后的图片,研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括:,2.如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。,1.在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。,取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了