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,.,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,.,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,.,如图，柱面坐标系中的体积元素为,.,解,知交线为,.,.,解,所围成的立体如图，,.,所围成立体的投影区域如图，,.,.,二、利用球面坐标计算三重积分,.,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球面；,半平面,.,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,.,球面坐标系中的体积元素为,如图，,.,.,.,.,解,.,.,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,.,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是的奇函数,.,解,.,.,.,（1）柱面坐标的体积元素,（2）球面坐标的体积元素,（3）对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,.,思考题,.,练习题,.,.,.,.,练习题答案,.,.,
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