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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,6.3.2曲面的切平面及法线6.3.3多元函数的极值（2-1）,6.3多元函数微分的应用,第6章多元函数微分学,6.3.2曲面的切平面及法线,曲面的切平面及法线多元函数的极值,小结,6.3.3多元函数的极值（2-1）,6.3多元函数微分的应用,一般方程的曲面的切平面及法线,特殊方程的曲面的切平面及法线,二元函数极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求函数极值的步骤与习例,求切平面及法线习例,6.3多元函数微分的应用,一、曲面的切平面与法线,切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直.,法线是与切平面垂直的直线.,解.,解.,注意:,切平面上点的竖坐标的增量,(1)因为曲面在M0处的切平面方程为,3.求切平面及法线习例,例5.,例1.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例2.确定正数使曲面,在点,解:二曲面在M点的法向量分别为,二曲面在点M相切,故,又点M在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,解.,切平面方程,法线方程,解.,依题意，切平面平行于已知平面，得,所求切点为,切平面方程,切平面方程,解.,例5.,解,依题意知切平面的法向量为,又切点满足曲面和平面方程,二、多元函数的极值,1.二元函数极值的定义,极大值与极小值统称为极值.,若引进点函数,则,(1),(2),(3),2.极值存在的必要条件和充分条件,定理1（极值存在的必要条件）,证.,注意:,(4)驻点,极值点（可偏导函数）,定理2（极值存在的充分条件）,证:由二元函数的泰勒公式,并注意,则有,所以,其中,是当h0,k0时的无穷小量,于是,(1)当ACB20时,必有A0,且A与C同号,可见,从而z0,因此,从而z0,(2)当ACB20时,若A,C不全为零,无妨设A0,则,时,有,异号;,同号.,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,+,+,若AC0,则必有B0,不妨设B0,此时,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB20时,若A0,则,若A0,则B0,为零或非零,此时,因此,不能断定(x0,y0)是否为极值点.,3.求函数极值的步骤与习例,求函数极值习例,例7.,例8.,解.,例7.,解.,例8.,例9.讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,内容小结,空间光滑曲面,曲面在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,1.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,2.
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