课件高代1-2

由行列式的定义知道，当行列式的阶数较高时，直接按定义计算它的值是比较麻烦的，为此本节将介绍行列式的一些基本性质，利用这些性质，可以将复杂的行列式化成形式特殊的行列式,如上三角形行列式等,再计算它的值.,1.2行列式的性质,设n阶行列式,将这个行列式的行和列互换,不改变它们的先后顺序得到的新行列式称为D的转置行列式,记为DT,即,性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.,证设DT中第i行第j列的元素为bij(i,j=1,2,n)，则,按行列式的定义,有,性质1说明行列式中行与列的地位是等同的,凡是对行成立的性质对列也同样成立。因此下面的一些性质只就行进行证明.,性质2如果行列式某一行(列)元素有公因数k,则k可以提到行列式符号外边,即,证由行列式的定义,左端=,=右端.,推论如果行列式中某一行(列)元素全为零,那么行列式等于零.,性质3如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号,即,证根据行列式的定义及定理1.1.1,左端,=右端.,推论1若行列式中有两行(列)相同,则行列式的值为零.,证设行列式D的第i行与第k行相同，将第i行与第k行互换,行列式不变；但由性质3知，它们应当反号,即D=-D，亦即2D=0，故D=0.,推论2如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0,证由性质2和性质3推论1即可得到.,性质4如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和，例如aij=bij+cij(i,j=1,2,n),则此行列式等于两个,行列式的和,即,证由行列式定义,左端,=右端.,根据行列式的这一性质可知,如果行列式的某一行(列)的各元素是m个数之和,那么,它可以拆成m个同阶行列式之和.,性质5如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变，即,证由行列式的性质4,由性质2和性质3的推论1知上式第二个行列式的值为零,从而左端=右端.,上面我们介绍了行列式的一些性质，利用这些性质，可以简化行列式的计算.基本思路是,利用行列式的性质，把它们化成上(下)三角形行列式,便可求出其值.,在计算行列式时,为了叙述方便,我们约定如下记号:,以ri表示行列式的第i行(row),以cj表示行列式的第j列(column).交换i,j两行，记作rirj；第i行加上(或减去)第j行的k,倍记作rikrj.对列也有类似记号.,下面看几个计算行列式的例子.,例1.2.1计算行列式,解,=,=,=,例1.2.1试证,证在行列式中从第4行开始，后行减前行，即自下而上依次从每一行中减去它上面的一行，得,=,=,例1.2.1计算n阶行列式,解该行列式各行(列)的元素之和都等于一个常数a+(n-1)b,可从第2列(行)起,把后面各列(行)都加到第1列(行)上,提出公因子a+(n-1)b后,然后再将其化为三角形行列式.,=,最后，介绍两类特殊的行列式.在行列式D=|aij|n中，若aij=aji(i,j=1,2,n),则称D为对称行列式；若aij=-aji(i,j=1,2,n),则称D为反对称行列式.由定义易知,在反对称行列式中,aii=0(i=1,2,n).,例1