平稳时间序列模型的基本概念解析ppt课件

.,3.1时间序列的基本概念,一、随机过程二、平稳时间序列三、随机过程的特征描述四、线性差分方程,.,一、随机过程,（一）随机过程的定义（二）随机过程与随机变量之间的关系,返回本节首页,下一页,上一页,返回本节首页,上一页,.,1.引言：事物的变化过程可分为两类：对于每一个固定的时刻t，变化的结果，一类是确定的，这个结果可用t的某个确定性函数来描述；另一类结果是随机的，即以某种可能性出现多个（有限多个或无限多个）结果之一。,（一）随机过程的定义,下一页,返回本节首页,上一页,.,2.定义：,设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每一个e，我们总可以依某种规则确定一时间t的函数与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于所有的的e来说，就得到这族时间t的函数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数（或一次实现）。,.,该定义蕴涵的四种情况：1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程；2、当e给定，t为变量时，x(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。3、当t给定，e为变量时，x(t)是一个随机变量。4、当e、t均给定时，x(t)是一个标量或者矢量。,.,.,我们所要讨论的时间序列分析，只是对平稳序列及其有关的随机序列进行统计分析，而不是对所有的随机序列进行统计分析。,此类随机过程又称随机序列（randomsequence)或时间序列（timeseries)。对于一个连续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个随机序列。,.,区别：1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随机过程是一族时间t的函数。2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无关，而随机过程与时间密切相关。3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过程描述事物发展变化的动态。,（二）随机过程与随机变量之间的关系,下一页,返回本节首页,上一页,.,联系：1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的特性。2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数集为单元素集的随机过程。3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机变量。4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，它是随机变量X(t)的集合。,.,二、平稳时间序列,（一）两种不同的平稳性定义（二）时间序列的分布、均值和协方差函数（三）平稳序列的自协方差和自相关函数（四）白噪声序列和独立同分布序列（五）独立增量随机过程、二阶矩过程（六）线性平稳序列（七）偏自相关函数,下一页,返回本节首页,上一页,.,（一）两种不同的平稳性定义,1.严平稳过程：若对于时间t的任意n个值t1t2=0，用X(t1,t2)表示随机变量X(t2)-X(t1),并称为X(t)在(t1,t2)上的增量，如果对一切t1=0是一个独立增量过程。马氏过程：从对过去记忆性角度来考虑的，简单的说，一阶马氏过程表示：将来时刻tn的状态xn的统计特性仅取决于现在时刻tn-1时刻的值xn-1。,下一页,返回本节首页,上一页,.,二阶矩过程定义：若一个随机过程X(t)，如果对于一切,总有则称此过程为二阶矩过程。宽平稳过程是二阶矩过程中的一类。高斯过程也是二阶矩过程。高斯分布是指随机过程的各有限维分布都是高斯分布，高斯分布的各阶矩都存在，故也属于二阶矩过程。,.,（六）线性平稳序列,1.时间序列的线性运算设Xt与Yt为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=aXt+bYtt=0,1,2为序列Xt与Yt的一种线性运算。2.时间序列的延迟运算设Xt为一时间序列，d为一正整数，那么，Yt=Xt-dt=0,1,2为Xt的d步延迟运算。,下一页,返回本节首页,上一页,.,3.时间序列的线性与延迟联合运算yt=a0 xt+a1xt-1+apXt-pt=0,1,2为时间序列线性与延迟联合运算。当ai=1/p，i=0,1,2,时，Yt即为对序列Xt的移动平均序列。4.时间序列的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。,.,5.平稳线性序列设at为正态白噪声序列，则称序列：,注：可以证明，为一宽平稳序列。,为线性平稳序列。,.,（七）偏自相关函数,偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机变量Xt+1,Xt+2,Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。偏自相关函数一般用表示。,偏自相关其实就是如下的条件相关：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2Xt+k-1),下一页,返回本节首页,上一页,.,三、随机过程的特征描述,（一）样本均值（二）样本自协方差函数（三）样本自相关函数（SACF）（四）样本偏自相关函数,下一页,返回本节首页,上一页,.,（一）样本均值,对时间序列的一次样本实现，需要用样本均值代替总体均值,可以证明，是的无偏、一致估计。,下一页,返回本节首页,上一页,.,对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样本自协方差函数估计总体自协方差函数。这里有两种形式：,（二）样本自协方差函数,下一页,返回本节首页,上一页,.,通过证明有如下结论：上述样本自协方差函数都是总体自协方差函数的渐近无偏估计，且比的偏差要大。但是，比的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此我们通常用作为样本自协方差函数。,.,由于当k相对于n而言较大时，的偏比更大，因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4,.,（三）样本自相关函数（SACF）1.对给定的序列x1,x2,xn，样本自相关函数定义为：,下一页,返回本节首页,上一页,.,（四）样本偏自相关函数（SPACF）1.样本偏自相关函数有如下递推公式(Durbin1960)：,下一页,返回本节首页,上一页,.,例如，根据上述递推公式，我们有：,.,在过程是一个白噪声序列的假设下，,所以，能作为检验白噪声过程假设的准则区限。,.,四、线性差分方程,（一）线性差分方程（二）关于线性差分方程基本定理（三）n阶常系数线性差分方程的解,下一页,返回本节首页,上一页,.,（一）线性差分方程,1.n阶非齐次线性差分方程,2.n阶齐次线性差分方程,（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。,下一页,返回本节首页,上一页,.,（二）关于线性差分方程基本定理,定理1.若y1(t)，y2(t)，ym(t)是n阶齐次线性差分方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cmym(t)式中c1、c2cm为任意常数。,下一页,返回本节首页,上一页,.,定理2.n阶齐线性齐次差分方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cnyn(t)式中c1、c2cn为n个任意常数。,.,定理3.N阶非齐次线性差分方程（1）的通解等于它的一个特解与它对应的齐次方程（2）的通解之和。,.,（三）n阶常系数线性差分方程的解,1.n阶常系数线性差分方程的一般形式,其中：a1,a2,an为常数，且an不为零，f(t)为t的已知函数。,下一页,返回本节首页,上一页,.,（4）式为（3）式所对应的齐次方程。,.,2.齐次线性差分方程的通解,设齐次方程（4）有特解：,则：,称为方程（4）的特征方程，此特征方程的解称为特征根。,.,（1）若特征方程有一实特征根，其重数为m（m=