高等数学连续函数的运算法则ppt课件

.,1,第九节连续函数的运算与初等函数的连续性,.,2,函数f(x)在点x0连续,上一节结论：,在内都是连续函数。,初等函数连续性？,由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和,有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示,的函数,称为初等函数.,.,3,初等函数,常数基本初等函数,四则运算复合运算,研究初等函数连续性需：(1)基本初等函数连续性(2)连续函数四则运算(3)连续函数复合运算,.,4,定理1,一、连续函数的四则运算,结论:（1）三角函数在其定义区间内皆连续,若函数f(x)与g(x)在点x0处连续，,则f(x)+g(x)，f(x)g(x)，,在点x0处连续。,故tanx,cotx,secx,cscx在定义域上连续,.,5,2.反函数与复合函数的连续性,函数y=f(x)的反函数x=f-1(y),定理2若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加且连续,则它的反函数x=f-1(y)在对应区间Iy=y|y=f(x),xIx上单调增加且连续.,.,6,因为y=sinx在上单调增加且连续,结论：（1）三角函数在其定义区间内皆连续（2）反三角函数在其定义区间内皆连续（3）指数函数在其定义区间内皆连续（4）对数在其定义区间内皆连续,故y=logax在(0,+)单调增加且连续。,在(-,+)单调增加且连续,故y=arcsinx在-1,1上单调增加且连续,幂函数?,.,7,幂函数?,复合函数连续性?,问题：,函数y=f(x)在x0点连续,若函数y=f(x)连续，是否成立,9,.,8,定理3设y=f(g(x)是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若,而y=f(u)在u0点连续,则,证明：,y=f(u)在u0点连续,当|u-u0|时，,当0|x-x0|时，,当0|x-x0|时，,.,9,当外层函数连续，内层函数极限存在，且,时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号”,例1证明当x0时，ln(1+x)x,证：,当x0时，ln(1+x)x，,.,10,例2证明当x0时，arcsinxx,当x0时，t0,当x0时，arcsinxx,证：设,则x=sint,常用等价无穷小当x0时，,.,11,练习1.计算极限,2.当x0时，,是x的几阶无穷小？,.,12,定理4设y=f(g(x)是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若g(x)在x0点连续,g(x0)=u0,而y=f(u)在u0点连续,则y=f(g(x)在x0点连续。证明,复合运算保连续,幂函数,故y=f(g(x)在x0点连续。,.,13,结论：（1）三角函数在其定义区间内皆连续（2）反三角函数在其定义区间内皆连续（3）指数函数在其定义区间内皆连续（4）对数函数在其定义区间内皆连续（5）幂函数在其定义区间内皆连续,基本初等函数在其定义区间内皆连续,.,14,三、初等函数的连续性,初等函数,常数基本初等函数,四则运算复合运算,连续,保连续,定理4初等函数在其定义区间内都是连续的.,.,15,注:1.初等函数在其定义域内不一定连续;,例如,在0点的邻域内没有定义.,2.初等函数求极限的方法代入法.,函数在区间1,)上连续,例如,.,16,例3求极限,计算：,.,17,设,证,则,幂指函数求极限的方法：当底数的极限为正，且指数的极限为常数时，幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。,.,18,例4求极限,