第1讲+生物数学建模简介.ppt

第一章生物数学建模简介,1、什么是数学模型？,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面存在的规律。,一、基本概念,2、什么是数学建模?,数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。,关于数学建模:有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。,二、数学建模的一般方法和步骤机理分析法：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。,数学建模的一般过程,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,形成问题：,假设与简化：,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般过程,建立模型：,模型的检验与评价：,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,各种数学方法、软件和计算机技术,数学建模的一般过程,模型的改进：,现实世界,形成问题,模型应用,简化问题,归结模型,模型评价,模型求解,模型检验,模型的求解：,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。,建模过程示意图,应用领域：,人口、生理、经济、生态,数学方法：,初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等,表现特性：,描述、优化、预报、决策,建模目的：,了解程度：,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,三、数学模型的分类,1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。,2、阻滞增长模型（Logistic模型）,3、更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等,可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。,四、数学建模实例人口模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,问题：研究人口变化规律，控制人口过快增长,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,阻滞增长模型(Logistic模型),人口金字塔模型,模型假设设:人口分布函数F(r,t):时刻,年龄小于r的人口数人口总数N(t),最高龄rmF(0,t),F(rm,t)=0=N(t)定义:人口年龄密度函数p(r,t)=F/r0(0rrm)p(rm,t)=0时刻t年龄r的人的死亡率:(r,t)时刻t年龄r在r,r+dr内单位时间死亡人数(r,t)p(r,t)dr,人口年龄结构的模型,目标:求p(r,t)考察r,r+dr),t,t+dt)t时刻:r,r+dr)年龄t+dt:r+dr1,r+dr+dr1)dr1=dt死亡人数(r,t)p(r,t)dr于是有tt+dt时人口数变化:p(r,t)dr-p(r+dr1,t+dt)dr=(r,t)p(r,t)drdt即p(r+dr1,t+dt)-p(r,t+dt)dt+p(r,t+dt)-p(r,t)dr=-(r,t)p(r,t)drdt两边除以drdt得,模型构造,一阶偏微分