酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 201131402摘 要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix; Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1 满足的阶实矩阵称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件 先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若阶复方阵满足则称为酉矩阵.定义1.1.3 若阶复方阵满足则称为酉矩阵.定义1.1.4 若阶复方阵满足则称为酉矩阵.注:表示矩阵的共轭转置，即.定义1.1.5 若阶复方阵的个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称为酉矩阵.易知定义1.1.2定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, 阶酉矩阵的个行(列) 向量构成的标准正交基.引理1.1.13 酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.24 对任意的阶矩阵有.引理1.1.35 对任意的阶矩阵和阶可逆矩阵, 有引理1.1.46 对任意的阶矩阵和阶矩阵, 有引理1.1.56 阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是：或者定理1.1.1 阵为酉矩阵的充分必要条件是这里表示行列 的模, 表示的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一 :(i) (ii) (iii) 这里,为整数.定理1.1.3 阶矩阵为酉矩阵的充要条件是: 对任意阶矩阵B, 有:第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵 定理1.2.1 设为酉矩阵，则都是酉矩阵.证明 因为所以是酉矩阵.因为所以是酉矩阵.因为 所以是酉矩阵. 定理1.2.2 设为酉矩阵, 则的伴随矩阵也是酉矩阵. 证明 因为 所以为酉矩阵. 定理1.2.3 设和是酉矩阵，则, 也是酉矩阵.证明 因为 所以是酉矩阵, 同理可证，也是酉矩阵. 推论1.2.1 设是酉矩阵，则（为正整数）是酉矩阵. 推论1.2.2 设，是酉矩阵，则，；，；，；，也是酉矩阵.推论1.2.3 设，是酉矩阵，则，也是酉矩阵. 推论1.2.4 设，是酉矩阵，则，（, 为正整数）也是酉矩阵. 定理1.2.4 设，是酉矩阵，若是反矩阵, 则也是酉矩阵, 因此证明 因为因此，当是是反矩阵时, ，记也是酉矩阵，从而 注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式 定理1.2.5 设是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即，其中表示的行列式.证明 由得从而. 定理1.2.6 设, 是酉矩阵，则, 也是酉矩阵.证明 因为 所以是酉矩阵. 因为 所以是酉矩阵. 定理1.2.7 设是酉矩阵, 则对的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设 其中是的两两正交单位向量.显然 ()以及也都是的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化 定理1.2.8 设是酉矩阵, 则的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设, 则由可得于是而, 故即定理1.2.9 设为酉矩阵, 是的特征值, 则是的特征值, 而是的特征值.证明 设是的特征值, 则由定理1.2.1知于是的特征值, 而又可知是的特征值, 但与的特征值全部相同,因此是的特征值, 所以是的特征值.定理1.2.10 设是酉矩阵, 则属于的不同特征值的特征向量正交.证明 设是的属于特征值的特征向量, 是的属于特征值的特征向量, 由可得所以而从而 故, 即与正交. 定理1.2.11 设是酉矩阵, 且为矩阵, 则必为对合矩阵, 从而的特征值等于1或-1. 证明 由得又因矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,的特征值等于-1或1.引理2.1设是, 则为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵, 使, 其中的模为1.引理1.2.2 9 设,则为正交矩阵的充要条件是有个两两正交的单位特征向量, 且特征值的模为1. 定理1.2.12 任一个阶酉矩阵一定正交相似于分块对角矩阵其中, ,是的所有不同的复特征值.证明 的所有特征值全为, 由引理1.2.1和引理1.2.2知一定正交相似于对角矩阵若有复特征值则也是的特征值. 因此可设有复特征值. , ,设是属于的单位特征向量, 则属于的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是互不相同, 两两正交, 令易知与为相互正交的实向量. 设为的属于特征值的相互正交的单位实特征向量, 则为一个酉矩阵.因为 所以, 即正交相似于. 定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质 定理1.2.13 设为上(下) 三角的酉矩阵, 则必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设为上三角的酉矩阵, 则其逆(上三角)等于其共轭转置(下三角),所以只能是对角矩阵, 又, 故可得的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14 设是酉矩阵, 其中,为实矩阵, 则为实对称矩阵, 且.证明 由可得从而及即为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位. 最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当,是奇数阶正交矩阵时, 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同.下面我们将证明, 对给定的阶酉阵, 一定存在阶酉阵, 使是酉阵, 并给出酉阵的表达式. 用表示全体阶酉阵; 表示全体阶复矩阵. 引理1.2.1复方阵酉相似于对角阵的充要条件是为复正规阵. 证明 必要性显然. 充分性由分解定理知, 任意复方阵必可酉相似于上三角阵, 即存在阶酉阵, 使 (1-2-1)由条件得 (1-2-2)把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得从而酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知有特征值那么存在一个酉矩阵, 使得其中,是上三角矩阵. 如果且的所有特征值都是实数, 那么, 可选择为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明. 设定理成立. 假设定理也成立, 当时. 成立. 设为的特征值, 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在使两两正交且构成的标准正交基. 令这是一个阵使由于所以由于为阶矩阵, 由归纳假设, 存在阶矩阵, 使, 为上三角矩阵,令显然, 为由阵且是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造 由定理1.1.2可知二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一 :(i)(ii)(iii)这里, 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵 由酉矩阵的运算性质知:(1) 若为酉矩阵, 则(其中的为单位根)都是酉矩阵.(2) 酉矩阵, 则等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且是反矩阵, 则也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵. 在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵, 求正交矩阵使得为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当是正规矩阵时，求酉矩阵，使得为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根；(2) 求每一个相异特征值的特征向量； (3) chur正交单位化的方法，求的标准正交基； (4) 命则酉矩阵满足 若是正规矩阵，则能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵使得则于是 而对角矩阵的次幂是由各对角元素的次幂组成，所以通过的相似对角矩阵求.第二章 Hermite矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义：1定义 矩阵A=Mn(C)称为Hermite矩阵，是指A=A*，其中A*=。如果A=-A*，则称之为斜Hermite矩阵。2定义 设A是n阶Hermite矩阵，如果任意x，且x0，都有x*Ax0，则称A为正定矩阵，记作A0；如果任意x，都有x*Ax0，则称A为非负定(半正定)矩阵，记作A03定义 设A，B都是n阶Hermite矩阵，如果ABO，则称A大于或等于B(或称B小于或等于A)，记作AB(BA)；如果AB0则称A大于B(或B小于A)，记作AB(B 0;(2)若A 0, 数k, 则 kA 0；(3)若A 0,B 0, 则A + B 0；(4)若A0,B0, 则A + B0 。显然这些基本性质可以由定义直接推导出。3 . 2 Herm ite 矩阵A 正定(非负定)的条件。定理3 . 2 . 1设A 是 n 阶 Hermite 矩阵, 则下列命题等价：(1)A 是正定矩阵；( 2)对任意 n 阶可逆矩阵 P*A P 都是Hermite 正定矩阵；(3) A 的 n 个特征值均为正数;(4)存在 n 阶可逆矩阵P，使得P3A P= 1;(5)存在 n 阶可逆矩阵Q ， 使得A = Q *Q;(6)存在 n 阶可逆Hermite 矩阵S, 使得A =。证明(1)(2)对任意 n 阶可逆矩阵 P及任意 y且y0, 令 x= Py, 则 x且 x0, y*(P*A P) y= x*A x 0 。 故P*A P 是Herm ite 矩阵。(2)(3)对 Hermite 矩阵A。由定理2 . 4 知存在酉矩阵U , 使U*AU = diag(，), 其中( i= 1, 2, , n) 为A的特征值, 由(2)知diag(，)是正定矩阵, 则其中 ( i= 1, 2, , n)均为正数。(3)(4)因为A 特征值，均为正数, 令= diag (1/)，(1/)，(1/)P= U, 则 P 是可逆矩阵, 并且由 4 . 3 .1 有, P*AP= (U)*A (U)= U*AU= I .(4)(5)因为存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P*A P = I, 则令Q= , 有 A =Q*Q；(5)(1)因为存在 n 阶可逆矩阵Q ，使得Q = Q*Q , 则对任意 x且x0都有Q x0, 从而 x*A x=(Q x)*(Q x) 0; 故A 是正定矩阵。下面证明(1)(6)设为A 的特征值, x 为相应的特征值向量, 则A x=x，因为A 是正定矩阵, 所以x*x= x*Ax 0 从而 0, 因此A 的特征值均为正数, 又A = U diag(，)U*, 其中( i= 1, 2, , n)为A 的特征值, 令S=U diag (1/)，(1/)，(1/)U*, 则 S 是 n 阶可逆Hermite 矩阵, 并且A =。(6)(1)因为存在阶可逆 Hermite 矩阵 S, 使得A = S*S, 类似于(5)(1) , 即知A 是正定矩阵。类似定理3 . 2 . 1, 有如下结论：定理3 . 2 . 2设A 是 n 阶 Hermite 正定矩阵, 下列命题等价(1)A 是非负定实矩阵;(2)对任意 n 阶可逆矩阵P，P*A P是Hermite 非负定矩阵;(3)A的n个特征值均为非负数;(4)存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 P*A P=为其中 r= rank (A ) ;(5)存在秩为 r 的矩阵Q , 使得A = Q*Q;(6)存在n 阶Herm ite 矩阵S, 使得A =.定理3 . 2 . 3n 阶 Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A 的顺序主子式均为正数。证明: 略注: Hermite 矩阵A 的顺序主子式均非负, 并不能推出A 是非负定矩阵。例如A =是 Hermite 矩阵, 即是如此。定理3 . 2 . 4n 阶H 矩阵A 正定的充分必要条件是A 的所有主子式全大于零。证明: 略例 3 . 2 . 1若A , C 均为 n 阶 Hermite矩阵且AC=CA , 则AC为正定矩阵。证：因为(AC)*= C*A*= CA = AC, 所以AC 是Hermite矩阵, 又因为A 0, 由定理3 . 2 . 1 知, 存在n 阶可逆Hermite矩阵B 使A=于是(AC)B= BCB= B*CB 则A与CB 具有相同的特征值, 由 C 0 及定理 3 . 2 . 1 知B*CB 0, 从而AC 的特征值均为正数, 由3 . 2 . 1 知AC 0 .第四节 矩阵不等式利用Hermite矩阵的非负性可以在Hermite矩阵类中引进偏序, 从而可以讨论矩阵不等式当矩阵的阶数为 1 时, 此偏序与实数是一致的, 故矩阵不等式是数值不等式的推广, 并且矩阵不等式在现代控制论等科学中具有重要的应用。由定义3 知, 对n阶Hermite矩阵A与B, 如果AB, 则对任意 x, 都有 x*A xx*Bx, 反之亦然。注意: (1)任意两个实可以比较大小, 但任意两个n阶 Hermite矩阵未必能比较大小,即并非AB 或BA 两者之中必有一个成立. 例如, 对A= B=AB 和BA 均不成立.(2)对任意两个实数a 和b 如果a 不大于b,则有a= b, 但对两个n (n2)阶 Hermite 矩阵A 和B. 从AB 和AB, 不能推出A =B，例如对A=，B=可见AB 和AB, 但AB.4 . 1下面讨论矩阵不等式的一些性质。定理4 . 1 . 1设A ,B, C 均为 Hermite矩阵, 则(1)若AB,BC 则AC (传递性)(2)若A B (A B) , k 0, 则 kA kB(kA kB). (线性性)(3)若, 则+.(4)若A ,B 皆为n 阶Hermite 矩阵且AB, P 为nm 矩阵, 则P*A PP*BP;(5)若AB (A B)的充分必要条件是若-A-B(-A 0 则A + B 0(9)若AB,B C 则A C( 10)若A 0, (A0) , C 0, (C0)且AC= CA , 则AC 0, (AC0)证明: (1)至(5)显然成立.(6) 若 A , 则 A 的特征值均非负, 而-A的特征值恰为A的特征值的相反数, 则- A 可知,A 的特征值又必须全部非正, 因此H 矩阵A 的特征值全部为零, 由定理3 . 2 . 4 知A = 0 .(7)和(8)由正定(非负定)矩阵的基本性质即得, 而(9)是(8)的直接推论.(10)由例 3 . 2 . 1 可得.定理4 . 1 . 2设A 是 n 阶 Hermite 矩阵, 则(A ) IA(A ) I, 这时(A )和 (A )分别表示A 的最大和最小值.证明: 由定理 3 . 4 知, 存在酉矩阵U 使得A= U diag(，)U*其中是矩阵A 特征值, 则(A ) = ， (A )-0, (A )= , -(A )0 ( i= 1, 2, n)并且(A ) I- A = U (A ) I-diag(，)U *0A -(A ) I= U diag (，)-(A ) IU *0即K m in (A ) IAK max (A ) I .总结