量子力学复习重点课件

量子力学QuantumMechanics,HeisenbergSchrodinger,矩阵力学,波动力学,第一章绪论,1.2光的波粒二象性,1.3原子结构的玻尔理论,1.1经典物理学的困难,1.4微观粒子的波粒二象性,1.1经典物理学的困难,一经典物理学的成就解释了大到天体小到原子分子的运动和各种电磁现象和光的传播等现象.,牛顿力学,麦克斯韦方程,统计物理学,低速宏观,电磁现象,热现象,1.1经典物理学的困难,当时物理学家们的世界图样:,物质粒子+电磁场=世界,物质粒子的运动由经典力学描述,电磁场运动由经典电磁学描述.,二、经典物理学的困难,（1）黑体辐射问题（2）光电效应（3）康普顿效应（4）原子光谱,普朗克能量子假说,*辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值,*存在着能量的最小单元（能量子=h),*振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量,三、早期的量子论,1、Planck黑体辐射定律,2、光量子及光电效应理论,第一个肯定光具有微粒性的是Einstein，他认为，光不仅是电磁波，而且还是一种粒子。根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量h的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。由相对论光的动量和能量关系p=E/C=hv/C=h/提出了光子动量p与辐射波长（=C/v）的关系。,总结光子能量、动量关系式如下：,2.量子跃迁的概念.原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级En跃迁到另一个较低（高）的能级Em，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：,1.3波尔（Bohr）的量子论,1.原子具有能量不连续的定态的概念。Bohr提出了量子化条件：,玻尔假定:,假定：与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：,E=h=E/hP=h/=h/p该关系称为de.Broglie关系。,因为自由粒子的能量E和动量p都是常量，所以由deBroglie关系可知，与自由粒子联系的波的频率和波矢k（或波长）都不变，即它是一个单色平面波,由力学可知，频率为，波长为，沿单位矢量n方向传播的平面波可表为：,写成复数形式,这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为deBroglie波,二、电子衍射实验,戴维孙,电子衍射实验,正是有了早期的量子论和德布罗意波才奠定了量子力学的诞生,第二章波函数和薛定谔方程,1波函数的统计解释2态叠加原理3Schrdinger方程4粒子流密度和粒子数守恒定律5定态Schrdinger方程,（三）波函数的统计解释,物质波是描述粒子在空间的概率分布的概率波。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例。,2.1波函数的统计解释,量子力学的第一条基本假定（或公设）,归一化波函数,将其归一化,解:令以归一化波函数为,三、力场中粒子的波函数方程,2.3薛定谔方程,薛定谔波动方程,表示空间中找到粒子的几率随时间的变化,表示单位时间内通过封闭曲面S而流入V的几率,2.4粒子流密度和粒子数守恒定律,几率守恒定律的微分形式,结论：单位时间内V中增加几率应等于从体积V外穿过V的边界面流进V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程,2.5定态薛定谔方程,2、能量本征值方程,改写成,在量子力学中称与上类似的方程为本征值方程。常量E称为算符H的本征值；称为算符H的本征函数。,2.5定态薛定谔方程,（四）定态的性质,（1）Hamilton算符的本征值E或En必定是实数,2.5定态薛定谔方程,（2）粒子在空间的几率密度与时间无关,不含时间变量,2.5定态薛定谔方程,（3）几率流密度与时间无关,不含时间变量,2.6一维无限深势阱,1.势场,势阱内的粒子不可能跑到势阱外面来,所以势阱外找到粒子的几率为零,阱外波函数为零.,2.6一维无限深势阱,2.定态薛定谔方程的解:,显然E0,那么方程变成：,它的通解是：,在势阱内，薛定谔方程为:,2.6一维无限深势阱,3.能级与波函数考虑波函数标准条件:单值,有限,连续要求波函数在阱内外要连续。所以现在,有两种情形的解：,（1）,A和B不能同时为零,2.6一维无限深势阱,2.6一维无限深势阱,二者合起来可写为：,波函数的归一化是：,所以，,（与n无关）,2.6一维无限深势阱,最后得到能级和波函数是：,2.6一维无限深势阱,第三章量子力学中的力学量,坐标和动量不能同时有确定值，所以状态用波函数表示，力学量用算符表示。,经典粒子,可用坐标和动量来描写状态(坐标、动量、角动量、能量等)，任何状态下，力学量都有确定值。,微观粒子,3.1表示力学量的算符,量子力学中力学量算符的构成,量子力学中表示力学量的算符必须是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符.,例如,3.1表示力学量的算符,3.2动量算符和角动量算符,(iii)角动量Z方向的分量,角动量的平方,3.2动量算符和角动量算符,本征值方程,本征值函数（球函数）,由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。,3.2动量算符和角动量算符,(3)、角动量Z分量算符的本征值方程,3.3电子在库仑场中的运动,（五）总结,（1）本征值和本征函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,m有关，故能级存在简并。,当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,1,2,.,。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：,3.5厄密算符本征函数的正交性,1、本征函数属于分立谱,2、本征函数属于连续谱,4.力学量的可能值,若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值的相应的几率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全描述了体系状态。,3.6算符与力学量的关系,3.6算符与力学量的关系,例2已知空间转子处于如下状态,试问：（1）是否是L2的本征态？（2）是否是Lz的本征态？（3）求L2的平均值；（4）在态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率。,3.6算符与力学量的关系,解：（1）是否是L2的本征态？,不是L2的本征态。,3.6算符与力学量的关系,（2）是否是Lz的本征态？,是Lz的本征态，本征值为。,3.6算符与力学量的关系,（3）求L2的平均值,先进行归一化：,3.6算符与力学量的关系,3.6算符与力学量的关系,方法II,(4)测量的结果为:,3.7算符的对易关系两个力学量同时有确定值的条件测不准关系,定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,第四章态和力学量表象,本章要求1、掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。2、掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵表述。3、掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。4、掌握狄喇克符号。5、了解一维线性谐振子问题的代数解法。,4.1态的表象,（二）力学量表象,任何力学量Q都可以建立一种表象，称为力学量Q表象。,设算符Q的本征值为：Q1,Q2,.,Qn,.，相应本征函数为：u1(x),u2(x),.,un(x),.。,将(x,t)按Q的本征函数展开：,a1(t),a2(t),.,an(t),.,就是(x,t)所描写的状态在Q表象中的表示。,4.1态的表象,写成矩阵形式,共轭矩阵:,4.算符的矩阵表示,力学量算符的矩阵表示,坐标表象：,Q表象：,4.3量子力学公式的矩阵表述,（一）平均值公式,坐标表象平均值公式,在Q表象中,4.3量子力学公式的矩阵表述,（二）本征方程,4.3量子力学公式的矩阵表述,上式是一个齐次线性方程组,4.3量子力学公式的矩阵表述,方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零,久期方程,求解此久期方程得到一组值：1,2,.,i,.就是F的本征值。,4.3量子力学公式的矩阵表述,例2：求Lx的本征态在Lz表象中的矩阵表示，只讨论(=1)情况。,Lx的本征方程为：,解,欲得a1,a2,a3不全为零的解，必须要求系数行列式等于零,4.3量子力学公式的矩阵表述,解久期方程,-(2-2)=0,=0,.,取=代入本征方程得：,4.3量子力学公式的矩阵表述,解得：a1=(1/21/2)a2,a3=(1/21/2)a2,则=1,Lx=的本征态可记为：,由归一化条件定a2,4.3量子力学公式的矩阵表述,同理得另外两个本征值相应本征函数,第五章微扰理论,微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。,5.1非简并的定态微扰,5.1非简并的定态微扰,在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：,扰动体系能量本征函数由下式给出：,5.1非简并的定态微扰,（四）微扰理论适用条件,欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：,5.1非简并的定态微扰,（五）实例,例1.一电荷为q的线性谐振子，受恒定弱电场E作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（1）电谐振子Hamilton量,将Hamilton量分成H0+H两部分,5.1非简并的定态微扰,H0+H,（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),n(0),5.1非简并的定态微扰,（3）计算En(1),5.1非简并的定态微扰,（4）计算能量二级修正,欲计算能量二级修正，首先应计算Hmn矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,5.1非简并的定态微扰,将上式代入,5.1非简并的定态微扰,En(0)-En-1(0)=,En(0)-En+1(0)=-,5.1非简并的定态微扰,波函数的一级修正,显然，要实现km的跃迁，必须满足|rmk|20的条件，或|xmk|,|ymk|,|zmk|不同时为零。,选择定则,若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近似更高级的近似。在任何级近似下，跃迁几率都为零的跃迁称为严格禁戒跃迁。,5.9选择定则,第七章自旋与全同粒子,薛定谔方程出发可以解释许多微观现象,但是这个理论还有较大的局限性:,(1)薛定谔方程没有把自旋包含进去，因而用前面的理论还不能解释牵涉到自旋的微观现象，如塞曼效应等,(2)对于多粒子体系（原子、分子、原子核、固体等等），前面的理论也不能处理。,7.1电子的自旋,Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：,由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是,这个比值称为电子自旋的回转磁比率。,引入,则有:,2.,上面两条完全确定了电子自旋算符,7.2电子自旋算符和自旋函数,二、泡利算符,7.2电子自旋算符和自旋函数,反对易关系,（3）矩阵表示,习惯上选取SZ表象（即Z表象）,泡利矩阵算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元素即算符的本征值。,7.2电子自旋算符和自旋函数,x的矩阵形式,7.2电子自旋算符和自旋函数,于是,7.2电子自旋算符和自旋函数,习惯上取=0,于是得到：,x的矩阵形式,7.2电子自旋算符和自旋函数,得到的泡利矩阵是,泡利矩阵,自旋算符,7.2电子自旋算符和自旋函数,电子自旋量子数,S2算符的本征值是,把它记作:,自旋量子数,7