网络中心讲座2018-李新亮-Part1

高精度差分格式及湍流数值模拟,李新亮中国科学院力学研究所,网络中心培训讲座,邮箱：lixl网盘：,提纲,Part1.高精度差分格式Part2.湍流模拟Part3.OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟,提纲,Part1.高精度差分格式1.前言2.高精度高分辨率差分格式格式的精度、分辨率及优化常用的高分辨率格式：紧致格式、TVD/保单调格式；WENO格式3.群速度控制格式,计算流体力学:ComputationalFluidDynamics简称CFD,一、前言,4,CopyrightbyLiXinliang,计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科,CFD:通过离散求解流动方程得到流动信息,流体力学问题,理论,实验,计算,优点：准确快捷不足：难以找到精确解,优点：直接、可靠、最终验证方式不足：周期长、费用高,优点：周期短、费用低不足：受模型及算法限制，需验证,计算流体力学(CFD):在航空航天领域得到广泛应用1970年代，飞机设计主要依赖风洞实验YF-17研制，风洞实验13,500小时1980年代，CFD逐渐发展，部分取代实验YF-23，风洞实验5,500小时，CFD计算15,000机时,YF17,YF23,YF17,6,CopyrightbyLiXinliang,90年代，CFD在飞机设计中发挥了主力作用波音777，CFD占主角2000之后，CFD取代了大部分风洞实验波音787：全机风洞实验仅3次,波音787,波音777,航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用实验难点：复现高空高速流动条件,7,CopyrightbyLiXinliang,CFD面临的挑战及主要任务：复杂流动的数学模型湍流的计算模型；转捩的预测模型；燃烧及化学反应模型；噪声模型高精度高效算法高精度激波捕捉法；间断有限元法;大规模代数方程组高效解法复杂外形、复杂网格处理方法自适应网格；直角网格，浸入边界法；无网格法；粒子算法；,8,CopyrightbyLiXinliang,传统计算方法：有限差分法，有限体积法，有限元法，谱方法（谱元法）等；最近发展的方法:基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），无网格,9,CopyrightbyLiXinliang,差分法vs有限体积法,差分法：离散微分方程（一维离散）,计算空间,坐标变换,每一维独立处理,一维重构（一维Taylor展开）,例如：,5阶迎风差分格式,优点：易于推广到高阶格式不足：要求网格足够光滑，不易处理复杂外形,有限体积：离散积分方程（多维离散）,多维重构（多维Taylor展开），推广到高阶精度复杂,控制体边界上进行重构,优点：对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形不足：推广到高阶精度难度大,高精度差分法：复杂流动的精细模拟,典型应用：湍流精细模拟（直接数值模拟、大涡模拟）,湍射流的涡量分布：DNS,RANS,湍流精细模拟与高精度格式,激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战矛盾：低耗散vs.抑制振荡（需要耗散）2003年以前，多采用人工粘性（或滤波);近期,多采用WENO格式不足：耗散较大，计算量大新方法：迎风紧致格式；群速度控制格式；加权群速度控制格式(WGVC-M);优化的保单调格式OMP;优化的MUSCL方法,二、高精度、高分辨率差分格式,1.格式的精度、分辨率及优化,方法1：Taylor展开，计算截断误差项（非线性格式推导困难）,方法2：数值实验,给定一测试函数（可精确求导），计算误差对网格尺度的依赖关系,n=斜率,1)差分格式精度：截断误差的阶数,截断误差,CopyrightbyLiXinliang,15,精度：充分小网格情况下的误差特性分辨率：有限尺度网格情况下的误差特性,误差,4阶精度,格式1,格式2,3阶精度,显然：足够小的情况下，格式1误差更小并非足够小的情况下，格式2有可能误差更小,精度特性,分辨率特性,2)差分格式的分辨率,例：,有效网格点数：一个波长里面的网格点数（PPW:PointperWavelength),有效波数,10个点,20个点,网格分辨率：有效波数,本身不能描述网格分辨率,无量纲化：,每个波长里面2个网格点，谱方法的分辨率，差分法的极限,3）格式的分辨率：Fourier分析,精确解,差分解,修正波数,耗散误差,色散误差,5%误差,4）分辨率优化,原则：牺牲精度、提高分辨率,方法：1）构造含自由参数的差分格式2）计算出格式的色散、耗散误差特性；3）调整自由参数，使得色散、耗散特性最优,2.常用的高分辨率格式,1）紧致格式,紧致格式：同样的基架点，可构造更高阶格式（因为自由参数更多）,引入导数信息、联立求解,6阶对称紧致,5阶迎风紧致,j,j-1,j+1,普通格式：,显式给出差分表达式；,紧致格式：,隐式给出差分表达式；,LeleSK.Compactfinitedifferenceschemeswithspectral-likeresolution.JournalofComputingPhysics1992;103:1642.FuD.,MaY.,AHighOrderAccurateDifferenceSchemeforComplexFlowFields,J.Comput.Phys.,1997,134:1-15.,紧致格式的并行化,A)紧致格式并行化的难点,紧致格式计算：递推型,Step1计算出（由边界条件或边界格式给出）Step2由递推计算出全部导数,后面的数据必须等待前一步计算完成，难以直接并行,B)并行方法1：流水线法,流水线示意图,步骤：1)计算d(:,:)2)fork=1,M如果myid=0,计算F(k,0),否则从myid-1接收F(k,0);fori=1,N1(N1=N/P)计算F(k,i);如果myidP-1向myid+1发送F(k,N1),优点：无需数据重分布；不足：有并行效率损失，并行数难以放大,B)并行方法2：数据重分布,计算x方向导数时：数据按行分割,CPU0,CPU1,CPU2,CPU0,CPU1,CPU2,计算y方向导数时：数据按列分割,优点：子步内部没有并行效率损失不足：需要数据重新分布，数据交换量较大,保单调限制器示意图,高阶方法：光滑区精度高但鲁棒性差,低阶方法：精度低但鲁棒性好,基本思路：,低阶方法形成一个“保单调区间”，对高阶方法进行限制,SureshA136:8399.,3.WENO格式,1)基本思路,j-3,j-2,j-1,j,j+1,j+2,j-3,j-2,j-1,j；j-2,j-1,j,j+1；j-1,j,j+1,j+2,五个基架点被分成三个组,1）若高精度逼近，必然利用多个基架点2）如果该基架点内函数有间断，会导致振荡3）间断不可能处处存在4）把基架点分成多个组（模板），每个模板独立计算j点导数的逼近。得到多个差分5）根据每个模板的光滑程度，设定权重6）对多个差分结果进行加权平均。光滑度越高，权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0；如果都光滑，则组合成更高阶格式。,CopyrightbyLiXinliang,25,2)WENO格式的原理描述,考虑线性单波方程：,注：为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采用下一节介绍的守恒形式,（1）确定网格基架点：6个点j-3,j-2,j-1,j,j+1,j+2构造出该基架点上的目标差分格式,计算,这6个点可构造5阶迎风差分：,该格式为WENO的“目标”格式，即，光滑区WENO逼近于该格式。,利用Taylor展开，可唯一确定系数（可利用小程序coeff-schemes.f),实际上，还可利用分辨率优化技术，可构造出新的目标格式（降低精度、提高分辨率，见第4讲）。目前大量WENO的优化版做这种工作。,CopyrightbyLiXinliang,26,将这6个基架点分割成3个组（称为模板）每个组独立计算的差分逼近,模板1,模板2,模板3,模板1：j-3,j-2,j-1,j模板2：j-2,j-1,j,j+1模板3：j-1,j,j+1,j+2,利用这三个模板的基架点，可构造出逼近的3阶精度差分格式,计算j点的导数u,竟然算出了三个不同的值，怎么办？ENO方法：选择最优（最光滑）的，舍弃其余两个WENO的处理方法：三个都要，加权平均它们。,利用Taylor展开式，可唯一确定这些系数）（可利用小程序coeff-schemes.f),也可运用优化技术，降低精度、提高分辨率,CopyrightbyLiXinliang,27,（3）对这3个差分值进行加权平均，得到总的差分值,原则：A.模板内函数越光滑，则权重越大；模板内有间断时，权重趋于0B.三个模拟内函数都光滑时，这三个三阶精度的逼近式可组合成一个五阶精度的逼近式。,“理想权重”,（3.1）确定理想权重,令：,5阶精度,容易解出：,CopyrightbyLiXinliang,28,（3.2）度量每个模板内函数的光滑程度,IS越大，表示越不光滑。光滑区，不同模板上的IS趋近同一值。,（3.3）给出实际权重,构造IS方法很多，例如：,光滑区逼近O（1）量级间断区量级，很大,特点：间断区权重很小光滑区，趋近于理想权重,（3.4）给出最终的差分逼近,各阶导数的差分表达式都可作为光滑度量因子使用,JiangFu,Dexun;Li,Xinliang，ProceedingofISCFD2,Nov30-Dec3,2009ZhiweiHe,XinliangLi,DexunFuandYanwenMa,ScienceinChinaG,54（3）：511-522,2011ZhuQY,LiY,Int.J.Numer.Meth.Fluids(2015),44(5):463-482,2004田保林，傅德薰，马延文，群速度控制格式及二维Riemann解，计算力学学报，22（1），2005:104-108ChengJunbo,FuDexun,MaYanwen,ChineseJournalofAeronautics,2000,13(3):138-145高慧,马延文,傅德薰,航空动力学报，18（1），2003:24-31,示例1.优化型群速度控制格式（GVC8）,A.构造含自由参数的8阶线性格式,根据GVC准则，确定自由参数a10的范围“快格式”&“慢格式”,激波识别方案：,波后,波前,原理：“越靠近间断振荡越大”,B.构造群速度控制格式（含2个自由参数）,波后,波前,C.优化策略：,A)GVC原则（波前慢格式、波后快格式）,B)（算例实测）鲁棒性最优,C)（算例实测）差分误差最小,鲁棒性测试：（强化）激波管问题,原则：选取,使得能计算的压力比尽量高,数值误差测试：,波后,波前,GVC8格式：,特点1：格式简洁、计算量小（接近线性格式）特点2：总体耗散低（接近线性格式）,算例：各向同性湍流DNS,湍动能随时间的衰减曲线,GVC8计算效果与WENO9相近,充分发展湍流的能谱分布,第一步：构造快、慢格式,示例2.加权型群速度控制格式(WGVC-M),j,j+1,j-3,