2013-2014学年高二数学备课课件：3.1.4《空间向量的正交分解》（新人教a版选修2-1）

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,一、空间向量基本定理1.定理:条件：三个向量a,b,c_.结论：对空间任一向量p，存在有序实数组_,使得_.,不共面,x,y,z,p=xa+yb+zc,2.基底：空间中任何_的三个向量a,b,c都可以构成空间的一个基底，即_.3.基向量：空间的一个基底a,b,c中的向量_都叫做基向量.,不共面,a,b,c,a,b,c,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面.( )(2)若a,b为空间两个不共线的向量，c=a+b(,R且0)，则a,b,c构成空间的一个基底.( )(3)若a,b,c为空间一个基底，则-a,-b,-c也可构成空间一个基底.( ),提示：(1)正确.若三个非零向量a,b,c不能构成空间一个基底，则a,b,c不满足构成空间基底的条件，故必然有a,b,c共面.(2)错误.由c=a+b知c与a,b共面，故不能构成空间的一个基底.(3)正确.由a,b,c为空间一个基底知a,b,c为不共面的三个非零向量，所以-a,-b,-c也为空间中三个不共面的非零向量，所以-a,-b,-c也能构成空间的一个基底.答案：(1) (2) (3),二、空间向量的正交分解及坐标表示1.单位正交基底：由三个_的有公共起点的_组成的基底称为单位正交基底.,两两垂直,单位向量,2.空间向量的正交分解：在空间直角坐标系Oxyz中，沿x轴、y轴、z轴的正方向各有一个单位向量i,j,k(组成空间一个单位正交基底_)，那么对于空间任意一个向量 可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有序实数组x,y,z，使得p=_，这样的分解称为空间向量的正交分解.,i,j,k,xi+yj+zk,3.空间向量的坐标表示：空间任一向量p作正交分解可得p=x i+y j+z k，则_称作向量p在单位正交基底i,j,k下的坐标，记作_，这也是p在空间直角坐标系Oxyz中的_.思考：向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一吗？提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变.,x,y,z,p=(x,y,z),坐标,【知识点拨】1.对空间向量基本定理的理解(1)空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中也多了一项，其解决问题的思路和步骤基本相同.(2)空间任意三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，同时一个基底是一个向量组，而不是单指一个向量.,(3)空间向量基本定理说明，用空间不共面的三个向量e1,e2,e3可以线性表示空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的；空间向量基本定理是将空间几何研究进行数量化的基础，它使空间的结果变得简单明了，整个空间被三个不共面的基本向量所确定，空间的点或向量与三维实数组x,y,z之间具有一一对应的关系.,2.空间一点的坐标的确定方法对空间的一点P(x,y,z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P，在面xOy中，过P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|=PC,|y|=AP,|z|=PP,根据点A，C，D的位置即可确定x,y,z的符号.,例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，D1(0，0，1).如图(2)所示.,3.空间直角坐标系与单位正交基底的关系在空间选一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3，以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为正方向建立三条数轴:x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫原点，向量e1,e2,e3都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面，yOz平面.,类型 一 判断三个向量能否成为基底 【典型例题】1.已知e1,e2,e3是空间向量的一个基底，下列向量中，能够与向量a=e1+e2,b=e1-e2构成基底的向量的序号是_.e1;e2;e1+2e2;e1+2e3.2.已知e1,e2,e3是空间向量的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3, 若a,b,c能作为空间向量的一个基底，则实数满足的条件是什么？请说明理由.,【解题探究】1.判定三个向量共面的依据是什么？2.若三个向量可以作为空间的一个基底,则需具备什么条件？探究提示：1.依据是平面向量基本定理.2.需具备三个向量非零，且其中任一向量均不可用其他两个向量线性表示.,【解析】1.能够构成基底，即a,b不共面，而 所以均与a,b共面，不能构成基底.答案：,2.若向量a,b,c共面，由平面向量基本定理可知存在实数x,y使得a=xb+yc,即 因为向量e1,e2,e3不共面，所以 解得x=-1,y=2,=0，即当=0时a=-b+2c,此时a,b,c不能作为空间向量的一个基底，所以a,b,c能作为空间向量的一个基底的条件是0.,【拓展提升】1.空间基底的判断方法(1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底.(2)如果存在两个或三个向量共线，也不能构成基底.(3)利用平面向量基本定理，假设三个向量共面，则其中一个能用另两个来表示，然后解方程组，若有解，则构不成基底；若无解，则构成基底.2.利用基底求参数范围的方法根据构成基底的条件，结合平面向量基本定理求参数的范围.,【变式训练】已知O，A，B，C为空间四个点，又为空间的一个基底，则( )A.O,A,B，C四点共线B.O，A，B，C四点共面C.O，A，B，C四点中任意三点共线D.O，A，B，C四点不共面【解析】选D.由于 为空间的一个基底，故 不共面，所以O，A，B，C四点不共面.,类型 二 空间向量的分解用基底表示向量 【典型例题】1.(2013聊城高二检测)如图所示，点M为OA的中点，以 为基底的向量 则(x,y,z)=_.,2.如图所示，空间四边形OABC中，G,H分别是ABC，OBC的重心，设 试用向量a,b,c表示向量,【解题探究】1.在空间中，用基底表示向量时一般会用到哪些法则?2.什么是三角形的重心？三角形的重心有何性质？,探究提示：1.在空间中用基底表示向量，一般是把空间问题转化为平面问题来解决，在一个平面中，需要利用平行四边形法则或三角形法则.2.三角形中各边上中线的交点叫做三角形的重心.设ABC的重心为G，边BC上的中线为AD，则 其他边上的中线也具有此性质.,【解析】1.如题干图所示，所以答案：2.方法一：因为 又因为 所以又因为所以即,方法二：由G，H分别为ABC，OBC的重心，知GHAO，则,【互动探究】题2的条件不变，试用a,b,c表示向量【解析】,【拓展提升】空间向量基本定理的应用(1)空间中任一向量都可以用一组基底表示，且只要选定基底，表示形式是惟一的.(2)在选择基底时，要根据具体的图形来选择，选择的标准是应用方便.(3)在应用选定的基底来表示某一向量时，要灵活地应用平行四边形法则与三角形法则，同时要注意结合图形，恰当地利用已知图形的特点.,【变式训练】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，试用向量 作为一组基底表示,【解析】,类型 三 空间向量(点)的坐标表示 【典型例题】1.已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1,B1C1的中点，若以 为基底，则向量 的坐标为_,向量 的坐标为_，向量 的坐标为_.,2.如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以 方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标.,【解题探究】1.什么是某向量在一个基底下的坐标？解决此类问题的关键是什么？2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标和该向量终点的坐标有何关系？,探究提示：1.根据空间向量基本定理，空间的任一向量都可用一个基底表示，如空间一向量a用一组不共面的向量m,n,k表示为a=x m+y n+z k，则(x,y,z)称之为a在基底m,n,k下的坐标.因此求某向量在一个基底下的坐标，关键是用这个基底表示出这个向量.2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标就是该向量终点的坐标.,【解析】1. 相对于基底 的坐标为 的坐标为 的坐标为(1,1,1).答案：,2.令Ox,Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i,j,k,P点的坐标为,【拓展提升】1.空间向量坐标表示的步骤(1)观图形：分析几何图形的特征.(2)建坐标系：选择三个两两垂直的向量为正交基底建系.(3)向量的运算：综合利用向量的加减法及数乘运算.(4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来并确定坐标.,2.空间直角坐标系中一些特殊点的坐标在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标形式为(x,0,0),y轴上点的坐标形式为(0,y,0)，z轴上点的坐标形式为(0,0,z)；坐标平面xOy内点的坐标形式为(x,y,0)，坐标平面yOz内点的坐标形式为(0,y,z)，坐标平面xOz内点的坐标形式为(x,0,z).若点P的坐标为(x,y,z)，则点P关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z)，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,-z)，关于z轴对称的点的坐标为(-x,-y,z).,【变式训练】在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标是(1，2，-1)，且向量 与向量 关于坐标平面xOy对称，向量 与向量 关于x轴对称，求向量 的坐标.【解题指南】利用对称性，先求出点的坐标，再求向量的坐标.,【解析】过点A作AMxOy平面于M，并延长到点C，使AM=CM，则A点与C点关于平面xOy对称，且C(1，2，1)，此时 (1，2，1)，该向量与 关于xOy平面对称.作ANx轴于N，并延长到点B，使得AN=BN，则A点与B点关于x轴对称，且B(1，-2，1)，此时 该向量与 关于x轴对称，即,向量在不同基底下的坐标【典型例题】1.已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一个向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)，则p在基底a+b,a-b,c下的坐标为_.2.向量p在基底a，b，c下的坐标是(3，2，-1).试求p在基底 下的坐标.,【解析】1.设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc， 故p在基底a+b,a-b,c下的坐标为答案：,2.由题意知p=3a+2b-c，设由向量分解的惟一性，有p在基底 下的坐标为,【拓展提升】向量在不同基底下的坐标的求法(1)根据已知(或所确定)的基底，结合图形运用三角形法则、平行四边形法则表示出所求向量；或根据向量的运算法则，用基底表示出所求向量.(2)三个基向量的系数组成的有序实数组就是向量在基底下的坐标.,【易错误区】求向量的坐标时建系不当致误【典例】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 的坐标为_, 的坐标为_, 的坐标为_.,【解析】如图所示,则所以答案：,【误区警示】,【防范措施】确定点的坐标的策略在确定点的坐标时，要先从特殊的点的坐标开始求起，巧妙地利用垂直、对称等几何性质求解，如本例求B1点坐标时，可利用BB1平面ABC的条件.,【类题试解】在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB=AC=AD=2，设BD的中点为E，AC的中点为F，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量 的坐标为_.,【解析】根据题意，得B(2,0,0),D(0,0,2),A(0,0,0),C(0,2,0),答案：(-1,1,-1),1.下列各组向量能构成一个基底的是( )A.长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量B.三棱锥A-BCD中的向量C.三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量D.四棱锥S-ABCD中的向量【解析】选B.根据题意可知，A，C，D中的向量都共面，只有B中的三个向量不共面，可构成一个基底.,2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴,z轴正方向上的单位向量，且向量 则p的坐标为_.【解析】根据题意,i,j,k是空间直角坐标系中的单位正