2013-2014学年高二数学备课课件：1.4.1-1.4.2《全称量词与存在量词》（新人教a版选修2-1）

1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词,一、全称量词与全称命题,所有的,全称量词,xM,p(x),任意,成立,思考:全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“xN,x0”.,二、存在量词与特称命题,存在一个,存在量词,x0M,p(x0),成立,判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.(),提示:(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故说法是错误的.(2)结合全称量词和存在量词的含义知,这种说法是正确的.(3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具备“任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.答案:(1)(2)(3),【知识点拨】1.全称命题及其真假的判断方法(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.,(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.(3)要判断全称命题“xM,p(x)”为假命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可;要判断全称命题为真命题,必须对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.简单地说,判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”.,2.特称命题及其真假的判断方法(1)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.(2)要判断特称命题“x0M,p(x0)”为真命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,必须说明集合M中不存在元素x0,使得p(x0)成立.简单地说,判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明”.,类型 一 全称命题的构成与真假判断 【典型例题】1.(2013聊城高二检测)下列是全称命题且是真命题的是()A.xR,x20B.xQ,x2QC.x0Z,x021 D.x,yR,x2+y20,2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假:(1)x2+2x+32.(2)负数都没有对数.(3)终边相同的角的正弦值相等.【解题探究】1.全称命题的形式是什么?2.判断全称命题真假的方法是什么?,探究提示:1.全称命题的一般形式为“xM,p(x)”.2.若某一集合存在不满足某一性质的反例,则全称命题是假命题,不存在反例,就是真命题.【解析】1.选B.由于x=0时,x2=0,故A假;任意有理数的平方都是有理数,故B真;选项C为特称命题;由于,当x=y=0时,x2+y2=0,故D假.综上所述,选B.2.(1)xR,x2+2x+32.x2+2x+3=(x+1)2+22.真命题.(2)所有的负数都没有对数.真命题.(3)所有终边相同的角的正弦值相等.真命题.,【拓展提升】全称命题的形式定义与真假判断(1)全称命题的统一形式为“xM,p(x)”,表示“任意”“所有”等量词,集合M表示给定的范围,p(x)表示某一性质.(2)判断全称命题的真假,可以先找反例,若找到一个反例,说明全称命题是假命题,若找不到反例,就可以尝试证明命题是真命题.,【变式训练】1.“xZ,2x+1都是奇数”是命题(填真、假).2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假:(1)sin2x=2sinxcosx.(2)三角形有外接圆.(3)非负实数有两个偶次方根.,【解析】1.“xZ,2x+1都是奇数”是真命题.答案:真2.(1)xR,sin2x=2sinxcosx.真命题.(2)任意三角形都有外接圆.真命题.(3)所有的非负实数都有两个偶次方根.假命题.,类型 二 特称命题的构成与真假判断 【典型例题】1.特称命题“x0R, x02x0”是命题(填真、假).2.用存在量词将下列语句写成特称命题,并判断真假:(1)2sinx0=3能成立.(2)素数也可以是偶数.(3)公比大于1的等比数列可以是递减数列.,【解题探究】1.题1中使不等式成立的未知数的范围是什么?2.特称命题的形式是什么?探究提示:1.不等式化为x0(x0-1)0,即0x01,故不等式成立.2.特称命题的一般形式为“x0M,p(x0)”.,【解析】1.由于“当0x01时,x02x0成立”,所以特称命题“x0R,x020恒成立”是真命题,所以=m2-40,解得-2m2.综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).,【互动探究】若题2变为:已知命题p:“xR,sinxm”,命题q:“x0R,x02+mx0+10”,若pq是真命题,如何求实数m的取值范围?【解题指南】转化为正弦函数的最大值以及判别式的符号解题.,【解析】由于pq是真命题,则p,q都是真命题.因为“xR,sinx1.又因为“x0R, x02+mx0+10”是真命题,所以=m2-40,解得m-2或m2.综上所述,实数m的取值范围是2,+).,【拓展提升】能成立与恒成立问题的解法(1)若含有参数的方程能成立,求参数的取值范围一般转化为求函数的值域.(2)若含有参数的不等式f(x)m在区间D上能成立,则f(x)minm;若不等式f(x)m在区间D上能成立,则f(x)maxm.,(3)若含有参数的不等式f(x)m在区间D上恒成立,则f(x)maxm;若含有参数的不等式f(x)m在区间D上恒成立,则f(x)minm.(4)特称命题是真命题,可以转化为能成立问题,全称命题是真命题,可以转化为恒成立问题解决.,【易错误区】应用函数与方程思想时忽视变量的取值范围致误【典例】若x0R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则实数a的取值范围是.,【解析】依题意,若x0R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则得a=-cos2x0-2sinx0=2sin2x0-2sinx0-1=2(sinx0- )2- ,令t=sinx0,则a=2(t- )2- ,-1t1. 由于函数a(t)在-1t 上单调递减,在 cosx0C.x0R,sinx0+cosx0=2D.x0R,sinx0+cosx0=sinx0cosx0,【解析】选C.当x0= 时,sinx0=cosx0,A正确;当x0= 时,sinx0cosx0,B正确;由于sinx0+cosx0= sin(x0+ ) ,故C错误;令t=sinx0+cosx0= sin(x0+ ),则- t ,sinx0+cosx0=sinx0cosx0,即t= ,得t2-2t-1=0,解得t=1- ,或t=1+ (舍去).D正确.,4.特称命题“有些向量的坐标等于其终点的坐标”是命题(填“真”或“假”).【解析】当向量的起点在