概率论13ppt课件

概率论与数理统计,计算机科学学院王艳娥,第五章大数定律和中心极限定理,大数定律中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,本章要解决的问题：,1为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？,2为何能以样本均值作为总体期望的估计？,3为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？,4大样本统计推断的理论基础是什么？,大数定律,中心极限定理,答复,1.随着试验次数增大,事件发生的频率稳定于某个常数;2.实践中大量测量值的算术平均值也具有稳定性.人们正是研究了这些稳定性得到了大数定律.,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,设Xn为随机变量序列，a为常数，若任给0,使得,则称Xn依概率收敛于a.可记为,性质:,一.依概率收敛,5.1大数定律,则,a,内的概率越来越大.,二.几个常用的大数定律,定理1（切比雪夫大数定理）,设X1,X2,是相互独立的随机变量序列，且期望存在E(Xi)=mi，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)=si2K,i=1,2,，则对任给0,有,切比雪夫,切比雪夫大数定理表明，独立随机变量序列Xn，如果方差有共同的上界，则,切比雪夫大数定理给出了平均值稳定性的科学描述,概率接近于1.,即当n充分大时，差不多不再是随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,作为切比雪夫大数定理的特殊情况,有下面的定理.,定理2（独立同分布下的大数定理）,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=20，i=1,2,则,即对任给0,有,设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任给的0，,或,定理3.伯努利大数定理,伯努利,下面给出定理2的一种特例.,证明:因为fAb(n,p),第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定理,设,伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率fA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,下面给出的独立同分布下的大数定理，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给0，,定理4（辛钦大数定理）,辛钦,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,这一讲我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,休息片刻继续下一讲,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,中心极限定理的客观背景,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,的分布函数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,考虑,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xk)=0,k=1,2,则,5.2中心极限定理,定理2(李雅普诺夫定理),则随机变量之和的标准化变量,定理2表明:,(如实例中射击偏差服从正态分布),定理3(棣莫佛拉普拉斯定理）,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量n的分布近似正态分布N(np,np(1-p).,设随机变量n(n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证.,下面我们举例说明中心极限定理的应用,图示中心极限定理的客观背景,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和大于等于500的概率是多少？,解:设Xi为第i次掷出的点数,i=1,2,100,则X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,例2.在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变,为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率至少为90%,赔偿金至多可设为多少?,解设X表示一年内死亡的人数，则Xb(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理,所以(1)PY