圆周角和圆心角的关系（第2课时）

九年级数学下新课标北师,第三章圆,4圆周角和圆心角的关系（第2课时）,古沟中学陈美霞,古沟华侨初级中学,圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半,B,1.求图中角X的度数,X=,X=,35,120,同弧或等弧所对的圆周角相等,2.求图中角X的度数,60,x,X=,X=,60,50,20,x,30,A,B,C,D,E,F,ABF=20，FDE=30,用心想一想，马到功成,推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。,问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。,用心想一想，马到功成,观察图，BC是O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？,答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是BOC=180，所以BAC=90。,图,观察图，圆周角BAC=90，弦BC经过圆心吗？为什么？,图,答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由BAC=90可得圆心角BOC=180。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是O的一条直径。,由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,几何语言：BC为直径BAC=90,几何语言：BAC=90BC为直径,小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？,如图，O的直径AB=10cm，C为O上的一点，B=30，求AC的长。,解AB为直径BCA=90在RtABC中ABC=30,AB=10cm,如图，A，B，C，D是O上的四点，AC为O的直径，请问BAD与BCD之间有什么关系？为什么？,解：BAD与BCD互补AC为直径ABC=90,ADC=90ABC+BCD+ADC+BAD=360BAD+BCD=180BAD与BCD互补,如图，C点的位置发生了变化，BAD与BCD之间有的关系还成立吗？为什么？,解：BAD与BCD的关系仍然成立连接OB，OD1+2=360BAD+BCD=180BAD与BCD互补,1,2,如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？,四边形ABCD的的四个顶点都在O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。,如图，我们发现BAD与BCD之间有什么关系？,圆内接四边形的对角互补。,几何语言：四边形ABCD为圆内接四边形BAD+BCD=180（圆内接四边形的对角互补）,如图，DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，A与DCE的大小有什么关系？,解：A=CDE四边形ABCD是圆内接四边形A+BCD=180（圆内角四边形的对角互补）BCD+DCE=180A=DCE,在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。,方法1：解决问题应该经历“猜想实验验证严密证明”三个基本环节.方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.,在圆内接四边形ABCD中，A与C的度数之比为4:5，求C的度数。,解：四边形ABCD是圆内接四边形A+C=180（圆内角四边形的对角互补）A:C=4:5即C的度数为100,1.要理解圆周角定理的推论。,2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。,3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。,4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。,课时小结,习题3.5第1、2题,作业,1.如图，在O中，BOD=80，求A和C的度数。,解：BOD=80四边形ABCD是圆内接四边形A+C=180C=180-40=140,2.如图，AB是O的直径，C=15，求BAD的度数。,解：连接BCAB为直径BCA=90BCD+DCA=90，ACD=15BCD=90-15=75BAD=BCD=75,2.如图，AB是O的直径，C=15，求BAD的度数。,解：连接ODACD=15AOD=2ACD=30（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）OA=ODOAD=ODA又AOD+OAD+ODA=180BAD=75,方法二：,3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若E=40，F=60,求A的度数。,解：四边形ABCD是圆内接四边形ADC+CBA=180（圆内接四边形的对角互补）EDC+ADC=180，EBF+ABE=180EDC+EBF=180EDC=F+A,EBF=E+AF+A+E+A=180A=40,.,C,P,.,C,P,大小不变的角有：ACBAPBBCP,检测反馈,1.(2014台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是(),解析:直径所对的圆周角等于直角,直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是B.故选B.,B,解析:四边形ABCD为圆内接四边形，B=60，ADC=180-B=180-60=120，ADC+EDC=180，EDC=180-120=60.故选B.,2.如图所示,四边形ABCD为圆内接四边形，E是AD延长线上一点，如果B=60，那么EDC等于()A.120B.60C.40D.30,B,3.(2014兰州中考)如图所示,ABC为O的内接三角形，AB为O的直径,点D在O上，ADC=54，则BAC的度数等于.,解析:ABC与ADC是所对的圆周角，ABC=ADC=54，AB为O的直径,ACB=90，BAC=90-ABC=90-54=36.故填36.,36,4.(2015泰州中考)如图所示,O的内接四边形ABCD中,A=115,则BOD等于.,解析:A=115，C=180-A=65，BOD=2C=130.故填130.,130,5.如图所示，O是ABC的外接圆，AB是O的直径,D为O上一点,ODAC，垂足为E，连接BD.(1)求证BD平分ABC；(2)当ODB=30时,求证BC=OD.,证明:(1)ODAC，OD为半径,CBD=AB