高中数学-光线与对称性

1 光线与对称性光线与对称性 201812 一、单选题（共一、单选题（共12题；共题；共24分）分） 1.（2013湖南）在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光 线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P（如图），若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 AP 等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2.若点到点及的距离之和最小，则 m 的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 3.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出发， 被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反 射光线等效于从另一个焦点发出；如题 10 图，椭圆 C：与双曲线 有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间 连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为( ) A. k(a+m) B. 2k(a+m) C. k(a-m) D. 2k(a-m) 4.（2015山东）一条光线从点射出，经 轴反射后与圆相切，则 反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2 5.一束光线从点出发，经 x 轴反射到圆上的最短路径是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧 面 BCC1B1 ， DCC1D1 ， ADD1A1反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是（ ） A. （ ， ） B. （ ，4） C. （ ， ） D. （ ， ） 7.抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向 射出现已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，过抛物线上点 P（x0 ， y0）的切线为 l， 过 P 点作平行于 x 轴的直线 m， 过焦点 F 作平行于 l 的直线交 m 于 M， 则|PM|的长为 （ ） A. B. p C. +x0 D. p+x0 8.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭 圆的另一个焦点现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点 A、 B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点 A 处，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴 端点）反弹后，回到点 A 时，小球经过的最短路程是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 以上均有可能 9.如图，从点 M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点 P， 经抛物线反射后， 穿过焦点射向抛物线上的点 Q， 再经抛物线反射后射向直线 上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则等于( ) 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10.如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜 的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口的直径是 24cm，灯深 10cm，那么灯泡与反 光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ） A. 10cm B. 7.2cm C. 3.6cm D. 2.4cm 11.（2014江西）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12一质点从顶 点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i1 次到 第 i 次反射点之间的线段记为 li（i=2，3，4），l1=AE，将线段 l1 ， l2 ， l3 ， l4竖直放 置在同一水平线上，则大致的图形是（ ） A. B. C. D. 12.一束光线自点 P（1，1，1）发出，被 yOz 平面反射到达点 Q（6，3，3）被吸收，那 么光线所走的距离是（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（共二、填空题（共3题；共题；共3分）分） 13.如图所示，已知 A（4，0）、B（0，4），从点 P（2，0）射出的光线经直线 AB 反射后再 射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是 _ 14.设点 A（3，5）和 B（2，15），在直线 l：3x4y+4=0 上找一点 P，使|PA|+|PB|为最小， 则这个最小值为_ 15.自点（3，3）发出的光线射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线 L 所在直线与圆 x2+y2 4x4y+7=0 相切，则反射光线 L 所在直线方程为_ 5 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】D 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系： 可得 B（4，0），C（0，4），故直线 BC 的方程为 x+y=4， ABC 的重心为（ ， ），设 P（a，0），其中 0a4， 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1（x，y），满足 ， 解得 ，即 P1（4，4a），易得 P 关于 y 轴的对称点 P2（a，0）， 由光的反射原理可知 P1 ， Q，R，P2四点共线， 直线 QR 的斜率为 k= = ，故直线 QR 的方程为 y= （x+a）， 由于直线 QR 过 ABC 的重心（ ， ），代入化简可得 3a24a=0， 解得 a= ，或 a=0（舍去），故 P（ ，0），故 AP= 故选 D 【分析】建立坐标系，设点 P 的坐标，可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1的坐标，和 P 关于 y 轴的对称点 P2的坐标，由 P1 ， Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过 ABC 的重心， 代入可得关于 a 的方程，解之可得 P 的坐标，进而可得 AP 的值 2.【答案】B 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 6 【解析】【解答】点关于轴的对称点为。因为点在轴上，由对称 性可知,所以,所以当三点共线时此距离和最短。因为 ， 所以直线方程为， 即， 令得， 即 三点共线时。所以所求 m 的值为。故 B 正确。 3.【答案】D 【考点】椭圆的应用，双曲线的应用 【解析】【分析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线 从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算 光线经过 2k（k N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长 【解答】因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一 个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲 线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出 所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双 曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点 如图，AF2=2m+AF1 ， BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（2m+AF1)+AF1=2a-2m 所以光线经过 2k（k N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为 2k（a-m) 故选 D 4.【答案】D 【考点】直线的一般式方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】有光的反应原理知，反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所 在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线方程：, 即：.又应圆与光线相切：,所以，,整理 得：,解得：,或，故选 D 【分析】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关 问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的 理解与把握以及学生的运算求解能力. 5.【答案】A 7 【考点】两点间距离公式的应用，关于点、直线对称的圆的方程 【解析】【解答】依题意可得，在 x 轴上找一点使得到点 A 与 C 的距离和最短，这最短距离 减去半径 1，就是所求的值.点 A 关于 x 轴的对称点 A-1(-1,-1),圆心 C（2,3），A-1C 的距离为 ， 所以到圆上的最短距离为 5-1=4.故选 A. 6.【答案】C 【考点】直线与平面所成的角 【解析】 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1的入射点离点 B 距离越近， 入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1所成角的正切值越大， 如图所示，此时 tan PHB= ， 结合选项，可得入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是（ ， ）， 故选：C 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1的对称点 P1 ， 采用极限分析法 7.【答案】C 【考点】抛物线的应用 【解析】【解答】解：由题意，根据抛物线的光学性质，可知： 1= 2 1= PFM， 2= PMF， PFM= PMF |PF|=|PM|， |PM|=+x0 故选：C 8 【分析】根据抛物线的光学性质，可知： 1= 2，从而可得 PFM= PMF，则|PF|=|PM|，即可 得出结论 8.【答案】C 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到 A 点， 根据椭圆的性质可知所走的路程正好是 4a=44=16 故选 C. 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到 B 点继续前行 碰椭圆壁后回到 A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆 的定义可求得答案。 9.【答案】B 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程，抛物线的简单性质 【解析】 【分析】由题意可知，p=4,F(2,0),P(2,4)，Q(2,-4),QN:y=-4,，直线 QN,MN 关于 l:x-y-10=0 对称，即直线 平分直线 QN,MN 的夹角，所以直线 MN 垂直于 y 轴. 解得 N(6,-4)，故 x0等于 6，选 B. 10.【答案】C 【考点】抛物线的应用 【解析】【解答】解：设抛物线方程为 y2=2px（p0），点（10，12）在抛物线 y2=2px 上， 144=2p10 =3.6 因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为 3.6cm 故选：C 【分析】先设出抛物线的标准方程 y2=2px（p0），点（10，12）代入抛物线方程求得 p， 进而求得， 即灯泡与反光镜的顶点的距离 9 11.【答案】C 【考点】空间中的点的坐标，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：根据题意有： A 的坐标为：（0，0，0），B 的坐标为（11，0，0），C 的坐标为（11，7，0），D 的坐标 为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的 坐标为（0，7，12）； E 的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|= =13 （2）l2长度计算 将平面 A1B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面 A2B2C2D2；显然有： A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的 坐标为（0，7，24）； 显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1对称 设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于：E2（xE2 ， yE2 ， 24） 根据相似三角形易知： xE2=2xE=24=8， yE2=2yE=23=6， 即：E2（8，6，24） 根据坐标可知，E2在长方形 A2B2C2D2内 根据反射原理，E2在平面 ABCD 上的投影即为 AE 反射光与平面 ABCD 的交点 所以 F 的坐标为（8，6，0） 因此：l2=|EF|= =13 （3）l3长度计算 设 G 的坐标为：（xG ， yG ， zG） 如果 G 落在平面 BCC1B1； 这个时候有：xG=11，yG7，zG12 根据反射原理有：AE FG 于是：向量 与向量 共线； 即有： = 因为： =（4，3，12）； =（xG8，yG6，zG0）=（3，yG6，zG） 即有：（4，3，12）=（3，yG6，zG） 解得：yG= ，zG=9； 故 G 的坐标为：（11， ，9） 10 因为： 7，故 G 点不在平面 BCC1B1上， 所以：G 点只能在平面 DCC1D1上； 因此有：yG=7；xG11，zG12 此时： =（xG8，yG6，zG0）=（xG8，1，zG） 即有：（4，3，12）=（xG8，1，zG） 解得：xG= ，zG=4； 满足：xG11，zG12 故 G 的坐标为：（ ，7，4） 所以：l3=|FG|= = （4）l4长度计算 设 G 点在平面 A1B1C1D1的投影为 G，坐标为（ ，7，12） 因为光线经过反射后，还会在原来的平面内； 即：AEFGH 共面 故 EG 的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1D1相交，且交点 H 只能在 A1G； 易知：l4|GG|=124=8l3 根据以上解析，可知 l1 ， l2 ， l3 ， l4要满足以下关系： l1=l2；且 l4l3 对比 ABCD 选项，可知，只有 C 选项满足以上条件 故本题选：C 【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点， 再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解 12.【答案】D 【考点】空间中的点的坐标，空间两点间的距离公式 【解析】【解答】解：点 P（1，1，1）平面 xoy 的对称点的 M 坐标（1，1，1），一 束光线自点 P（1，1，1）发出， 遇到平面 xoy 被反射，到达点 Q（6，3，3）被吸收， 那么光所走的路程是： = 11 故选 D 【分析】求出 P 关于平面 xoy 的对称点的 M 坐标，然后求出 MQ 的距离即可 二、填空题 13.【答案】2 【考点】直线的一般式方程，与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】解：点 P 关于 y 轴的对称点 P坐标是（2，0），设点 P 关于直线 AB：x+y 4=0 的对称点