高中数学概率与统计问题的题型与方法

第七次概率和统计问题的问题类型和方法(4个会话)一、考试内容离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望值和方差、采样方法、整体分布的估计、正态分布、整体特征数的估计、线性回归。二、考试要求了解随机变量、离散型随机变量的意思后，可以求出几个简单的离散型随机变量的分布列。了解离散型随机变量的期待值、方差的意思后，从离散型随机变量的分布列求出期待值、方差。采用抽样机抽样、系统抽样、分层抽样等常用抽样方法，从整体抽样。采用样本频率分布估计总体分布。了解正态分布的意义和主要性质；理解假设检验的基本思想；根据样品的特征数量估算整体。了解线性回归的方法。三、复习目标1 .知道典型分布序列：01分布、二项分布、几何分布。2 .如果知道离散型随机变量的期待值、方差的意思，就从离散型随机变量的分布列求出期待值、方差。3 .在实际常用期望中比较两个类似事件的水平，当水平接近时，用方差比较两个类似事件的稳定性。4 .理解正态分布的意思，从正态曲线的图像可以理解正态曲线的性质。5 .了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态整体转化为标准正态整体n (0，1 )的公式及其应用。6 .通过生产过程的质量管理图，理解假设检验的基本思想。7 .理解相关关系、回归分析、散布图等概念，求回归直线方程式。8 .为了理解相关系数的计算公式及其意义，使用相关系数公式进行计算。9 .理解相关检查的方法和程序，用相关检查方法检查。四、双基透视随机事件和统计知识结构：顾客随机事件和统计内容摘要1 .主要内容包括离散型随机变量的分布阵列、期望和方差、采样方法、总体分布估计、正态分布和线性回归。2 .随机变量的概率分布(1)离散型随机变量的分布列：p两个基本性质P1 P2 =1。(2)连续型随机变量的概率分布：根据频度分布直方图，推定整体分布密度曲线y=f(x )整体分布密度函数的两个基本性质：f(x) 0(xR )曲线y=f(x )和x轴包围的面积为1。3 .随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：反映随机变量取值的平均值。(2)离散型随机变量的方差：反映随机变量取值的稳定和变动，反映集中和离散的程度。(三)基本性质： 的双曲馀弦值。4 .三种抽样方法。5 .二项分布和正态分布(1)记载是某个事件独立地重复n次次数，B(n，p )；那个概率是。优选E=np，分散D=npq。(2)正态分布密度函数：E=，最好是方差。(3)标准正态分布：如果是这样的话，的双曲馀弦值。6 .线性回归：在变量x的读取值固定的情况下，如果对应的变量y的读取值具有一定的随机性，则变量y和x具有相关关系。 如果这一组观测值的观测点基本上集中在平面正交坐标系中与其对应的点附近，则可以说变量y和x之间存在线性的相关关系。相关系数用于检验线性相关有效性水平，通常用于检验有效性水平0.05自由度n-2，否则不显着。离散型随机变量的分布列；随机变量：如果能用一个变量表示随机实验的结果，就把这样的变量称为随机变量。 随机变量最常见的类型是离散随机变量和连续随机变量。 随机变量的可能值可以按一定顺序逐个列出。 这样的随机变量被称为离散型随机变量。如果随机变量能够取某个区间内的所有值的话，就把这样的随机变量称为连续型随机变量。离散随机变量的分布矩阵：如果离散随机变量的可能值是Xi (I=1，2，2，)，因为实验结果的每个出现具有恒定的概率，所以每个随机变量在其值处也具有恒定的概率P(=xi)=pi，人们习惯以表格的形式写它。x1x2xipp1p2pi该表为随机变量的概率分布，简称为分布列。分布列的公式如下： (1)压缩为表形式(2)方程式的集合(3)带“I”的方程式。1 .在实际问题上，人们关注的不是随机变量的具体值，而是随机变量的特征。 离散型随机变量的期望和方差是随机变量的特征数，期望反映随机变量的平均值，方差和标准偏差反映随机变量值的稳定和变动、集中和离散的程度。 标准偏差是与随机变量本身相同的单位。2 .离散型随机变量的期望和方差的计算公式设离散型随机变量的分布列为P(=xi)=pi、I=1、2、E=i pi，D=i-E)2 pi=i2 pi-(E)2=E(2)-(E)2。3 .离散型随机变量的期望和方差性质E (a b)=aE b，D (a b)=a2 D。4 .二项分布的期望和方差若为B (n，p )，则E=np，D=np (1-p )。抽样方法；三种常见采样方法：1 .单纯随机抽样：总个数为n。 如果每次提取一个样本时提取各个个体的概率相等，那么这样的样本被称为简单随机样本。 实现简单的随机抽样，常用抽奖法和随机数表法。2 .系统取样：当整体中个数较多时，将整体分为均衡的几个部分，根据预定规则，对每个部分提取一个个体，得到所需样本，这种取样称为系统取样(也称为机械取样)。系统采样的顺序是，(1)可以汇总整体的个体编号，(2)将整体的编号分段，(3)确定开头的个体编号，(4)提取样本。3 .分层抽样：如果发现整体由明显不同的部分组成，则将整体分成几个部分，按各部分所占比例进行抽样，称为分层抽样，其中分开的部分称为分层。总体分布估计整体分布：整体取值的概率分布规律一般称为整体分布。整体密度曲线：当采样容量无限增大、组距离无限缩小时，频率分布直方图无限接近平滑曲线，即整体密度曲线。正态分布正态分布：如果整体密度曲线是以下函数的图像：式中的实数，(0 )为参数，分别表示整体的平均值和标准差，这是整体上具有无限容量的抽象整体。 其分布称为正态分布，通常记为N(，2 )。 的图像被称为正规曲线。特别是在函数中，当=0、=1时，将正规整体称为正规整体，此时对应函数表达式是、和对应的曲线称为标准正规曲线。当我们不知道总体分布时，总是从总体提取样本，利用样本的频率分布来估计总体分布，样本容量越大，组距离越小，样本的频率分布就越接近总体分布。 当采样容量无限大、组的组距离无限小时，频率分布直方图变化为平滑曲线，即反映总体分布的总体密度曲线。 可以看出，反映整体分布的整体密度曲线形状不同，不同形状的整体密度曲线是不同整体分布的反映，正态分布及反映其分布的正态曲线是多种整体分布和整体密度曲线的重要分布。1 .正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的分布，其重要性可从以下两个方面理解：正态分布是自然界最常见的分布。 一般来说，影响某些指标的概率因素很多，如果各因素的作用不大，则该指标遵循正态分布。 例如，产品尺寸是典型的整体，对于批量生产的产品，生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可控条件相对稳定，并且没有产生系统误差的明显因素，产品尺寸的整体分布遵循正态分布。 也有测量误差：子弹弹落点分布人的生理特征量：身高、体重等农作物的收获量等，是遵循正态分布还是几乎遵循正态分布。 另一方面，正态分布具有很多良好的性质，很多分布可以用正态分布进行近似描述，而一些分布可以用正态分布导出，因此在理论研究中正态分布也很重要。2 .正规曲线及其性质对于正态分布函数：x(-，)由于中学知识范围的限制，没有必要对其经过进行深入研究，对于作为其函数图像的正规曲线，通过将图1-4的曲线(1)、(2)、(3)用绘图(或者计算机上的描绘工具)描绘出来，很难自己总结正规曲线的性质。3 .标准正规曲线标准正态曲线n (0，1 )是特殊的正态分布曲线，是本节的重点。 由于具有非常重要的地位，已经制定了“标准正态分布表”。 关于抽象函数，教科书中没有给出具体的公式，但其几何意义很明显，是用正规曲线n (0，1 )、x轴、直线包围的图形的面积。 并且，由于n (0，1 )的曲线关于y轴对称，因此可以得到式和正规状态在任何区间(a，b )都取值的概率。4 .一般正态分布和标准正态分布的转换一般的整体正规的图像不一定是y轴对称的，因此若研究某个区间内的概率，不能使用标准正规分布表进行计算。 此时，能否将一般的正规整体变更为标准的正规整体n (0，1 )，这是自然的。 对于任何正规整体，都研究取值小于x的概率。 关于这个公式，教科书没有证明，只用“事实，可以证明”这个词来说明。 这表示不要求方程的由来，可以用它来求出正规整体在某个特定区间内的概率。5 .“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常是指发生概率不足5%的事件，对于这样的事件，在大量的反复试验中，平均每20次发生一次，因此认为在一次试验中几乎不发生。 这一认识是进行推断的出发点。 关于这一点，一个是这里的“几乎不可能发生”是对“一次考试”的认识，考试次数变多了，因此这个事件当然可能发生。第二个是用“小概率事件难以发生的原理”来推测的话，我们也有可能犯5%的错误。 也就是说，这里的概率性推论与过去的确定性数学中的“如果是a则是b”式的推论不同。教科书运用符合正态分布的部件尺寸的相关例子，介绍假设检查的基本思想。 进行假设检查一般分为三个步骤首先，提出统计假设。 教科书例子的统计是以这个劳动者制作的零件的尺寸遵从正态分布为前提的。步骤2中，判定一次测试中的读取值a是否在范围(-3、 3)内。第三点是估计。 如果a(-3， 3)的话，可以接受统计假设，因为这是很小的概率事件，所以拒绝统计假设。拒绝以上统计假说的推论与我们过去学到的反证法有相似之处。 事实上，用反证法证明问题的时候，首先否定应该证明的命题的结论，将其本身视为新的命题，然后进行推论，如果发生矛盾的时候，因为上述新的命题不正确，所以否定这个矛盾。 否定新命题等于证明原命题的结论。线性回归回归分析：对于两个变量，当参数值恒定时，变量值具有恒定随机性的两个变量之间的关系称为相关关系或回归关系。回归直线方程式： x和y是具有相关关系的两个变量，如果与n个观测值对应的n个点大致分布在某条直线附近，则y对x的回归函数的类型被认为是直线型。 其中你知道吗？ 这个方程式叫做y到x的回归直线方程式。1 .相关关系研究两个变量之间的相关关系是本节的目的。 关系可从以下三个方面认识：(1)相关关系和函数关系不同。 函数关系的两个变量之间是确定性的关系。 例如，正方形面积s与边长x的关系为函数关系。 即，分别为边长x设定的值对应于面积s的唯一设定值。 相关关系是非确定性关系，相关关系是非随机变量和随机变量的关系。 例如，人的身高和年龄商品的销售额和广告费等有关系。(2)函数关系是因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也是伴随关系。 例如，在校儿童身高与阅读技能有很强的相关关系。 但是，学习新语言并不会使孩子立刻长高，而是与第三要素的年龄有关，孩子长大后，他们的阅读能力提高，长大后身高也会提高。(3)函数关系和相关关系之间有密切的关系，在一定的条件下可以相互转化。 例如正方形的面积s和其边的长度x之间是确定的关系，但是在每次测量边的长度时，由于测量误差等，其数值的大小表示随机性。 另一方面，如果对具有线性关系的2个变量求回归直线，则可以用确定的关系估计这2个变量间的关系。相关关系多存在于现实生活中，在某种意义上函数关系是理想的关系模型，相关关系是更为普遍的情况。 因此，研究相关性不仅可以处理更广泛的数学应用问题，还可以提高对函数关系的认识到新的水平。2 .回归分析本节探讨的回归分析是回归分析中最简单、最基本的类型一元线性回归分析。在线性回归分析中，请注意以下几点(1)回归分析是统计分析具有相关关系的两个变量的方法。 两个变量有相关性是回归分析的前提。(2)散布图是根据具有相关关系的两个变量来定义的，对于性质不明确的两组数据，可以制作散布图，看看是否有关系，关系是否深远，然后进行相关回归分析。(3)求回归直线方程式，首先要注意的是，只有散布图越线性越大，求出的回归直线方程式才具有实际意义，否则求出的回归直线方程式就没有意义。3 .相关系数散点图的各点也有不集中在直线附近的情况，可以按照求回归直线方程式的顺序求回归直线方程式。 很明显，这种情况下