高中物理竞赛辅导讲义-第2篇-运动学

1 高中物理竞赛辅导讲义 第 2 篇 运动学 【知识梳理知识梳理】 一一、匀变速直线运动匀变速直线运动 二二、运动的合成与分解运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或 三角形法则） 。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系 的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度 分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v绝对 = v相对 + v牵连 或 v甲对乙 = v甲对丙 + v丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三三、物系相关速度物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关 速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理） 。 2接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对 方切向运动分速度的矢量和。 四四、抛体运动抛体运动： 1平抛运动。 2斜抛运动。 五五、圆周运动圆周运动： 1匀速圆周运动。 2变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在 不断改变，它的加速度为 a = an + a，其中 an为法向加速度，大小为 2 n v a r ，方向指向圆 心；a为切向加速度，大小为 0 lim t v a t ，方向指向切线方向。 六六、一般一般的的曲线运动曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向 心加速度为 2 n v a ， 为点所在曲线处的曲率半径。 七七、刚体的平动和绕定轴的转动刚体的平动和绕定轴的转动 1刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之 间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任 何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。 2 2刚体的平动 刚体的平动指刚体内所作的任一直线始终保持和自身平行，其特点为：刚体上任意两 点 A 和 B 的运动轨迹相似，vA=vB，aA=aB。因此，刚体的平动可用其内任一质点的运动来 代表。 3刚体绕定轴的转动 刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动。其特点是刚体上各点都在与转轴垂直 的平面内做圆周运动， 各点做圆周运动的半径可不相等， 但各点的半径转过的角度都相同， 因而某一时刻刚体上所有各点的角位移 、角速度 和角加速度 （理解以上三概念可与 直线运动中的位移、速度、加速度相类比）都相同，且有： 0 lim t t ， 0 lim t t 。 当 为常量时，为匀加速转动，类似于匀加速直线运动。对这类运动有： 0 t， 2 0 1 2 tt， 22 0 2。 对于绕定轴转动的刚体上某点的运动情况，有：vR，aR ， 2 2 n v aR R 。 式中 R 为该点到轴的距离，a和 an分别指切向加速度和法向加速度。 【例题例题选讲选讲】 1一物体沿长度为 l1的斜面从静止开始作匀加速下滑，后又沿水平面作匀减速滑行了距 离 l2后静止。已知物体在整个滑行过程中所用的时间为 t。求物体沿斜面及沿水平面运动 的加速度 a1和 a2。 2一固定的直线轨道上 A、B 两点间距 s，将 s 分成 n 等分，令质点从 A 出发由静止开始 以加速度 a（常量）向 B 运动，当质点到达每一等分段末端时它的加速度增加 a/n，试求 质点到达 B 点时的速度 vB。 3 3如图所示为某药厂自动生产流水线的部分装置，药片从漏斗口 A 经过光滑槽板到达传 送带，若传送带和水平方向的夹角为，漏斗口 A 到传送带的竖直高度 AB 为 h，若要使药 片滑到传送带上的时间最短，则滑槽和竖直方向的夹角和滑槽的长度各为多少？（用 h 和表达） 4自行车以速度为 4m/s 向东行驶，骑车人感到风从正南方向吹来，当速度增加到 6m/s 时，骑车人又感到风是从东南方向吹来，求风速的大小。 5如图表示在一水平面上有 A、B、C 三点，AB=l，CBA=，今有甲质点由 A 向 B 以速 度 v1作匀速运动，同时，另一质点乙由 B 向 C 以速度 v2作匀速运动。试问运动过程中两 质点间的最小距离为多少？ A B v h B A C v1 v2 4 6如图所示，长为 l 的杆一端靠在竖直墙上，另一端搁在水平地板上。杆下端在水平面上 以速度 v0离墙运动。当杆与水平面成角 时，求： （1）杆上端的速度； （2）杆上哪一点运 动速度最小？最小速度为多少？ 7如图所示，AB 杆的 A 端以速度 v 匀速沿水平面向右运动，在运动时，杆恒与一半圆周 相切，半圆周的半径为 R。当杆与水平线的交角为 时，求杆的角速度 及杆上与半圆相 切点 C 的速度和杆与圆柱接触点 C的速度大小。 8如图所示，一平面内有两根细杆 l1和 l2，夹角为 ，各自以垂直于自己的速度 v1和 v2 在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。 A B l v0 v1 v2 l1 l2 A B C R O v 5 9蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心 l1=1m 的 A 点处时，速度是 v1=2cm/s。试问蚂蚁继续由 A 点爬到距巢中心 l2=2m 的 B 点需 要多长时间？ 10如图所示装置，在绳的 C 端以速率 v 匀速收绳，从而拉动低处的物体 M 水平前进， 当绳 BC 段与水平恰成 角时，求物体 M 的速度。 11已知一质点做变加速直线运动，初速度为 v0，其加速度随位移呈线性减小的关系，即 加速过程中加速度与位移之间满足关系 a=a0ks，式中 a 为加速度，s 为位移，a0、k 为常 量，求当质点位移为 s 时的瞬时速度。 12一个半径为半径为 R 的环（环心为 O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心 为 O1）以速度 v 从前一环的旁边经过。试求当两环环心相距为 d（2Rd0）时，两环上部 交点 A 的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一 个环擦过去的。 M B C v O1 O2 A 6 13如图所示，两只小环 O 和 O分别套在静止不动的竖直杆 AB 和 CD 上，一根不可伸长 的绳子一端系在 C 点上，穿过环 O，另一端系在环 O 上。若环以恒定速度 v1向下运动， 当AOO= 时，求环 O 的速度。 14如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为 h。轨道上有两个物体 A 和 B，它们通过一根绕过定滑轮 O 的不可伸长的轻绳相连接。物体 A 在下面的轨道上以匀 速率 v 运动。 在轨道间的绳子与轨道成 30角的瞬间，绳子 BO 段的中点处有一与绳相对 静止的小水滴 P 与绳子分离，设绳长 BO 远大于滑轮直径，求： （1）小水滴 P 脱离绳子时 速度的大小和方向； （2）小水滴 P 落地时速度的大小； （3）小水滴 P 离开绳子落到下面轨 道所需要的时间。 15A、B、C 三个芭蕾舞演员同时从边长为 l 的等边三角形顶点 A、B、C 出发，以相同的 速率 v 运动，运动中始终保持 A 朝着 B，B 朝着 C，C 朝着 A。试问经多少时间三人相聚？ 每个演员运动的路程多少？ A C D B O O A B h v O P 30 7 16 从底角为 的斜面顶端， 以初速度 v0水平抛出一小球， 不计空气阻力。 若斜面足够长， 如图所示。求： （1）小球抛出后经多长时间离开斜面的距离最大？（2）小球抛出后离开 斜面的最大距离是多少？ 17从高 H 处的一点 O 先后平抛两个小球 1 和 2，球 1 直接恰好越过竖直挡板落到水平地 面上的 B 点，球 2 则与地面 A 点碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，然后也落到 B 点，如 图所示。设球 2 与地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前速度大小相 等，求竖直挡板的高度 h。 18从水平地面上将物体斜向上抛出，速度大小为 v0，试求与水平面成多大角度抛出物体 落回地面时与抛出点的距离最大？最大距离是多少？ A B h H O v v0 8 19如图所示，从倾角为 的斜面底端以初速度 v0抛出一个小球，要使小球落在斜面上的 落点与抛出点的距离最大，则应沿什么方向抛出？最大距离为多少？ 20如图所示，从倾角为 的斜面底端以初速度 v0抛出一个小球，小球与斜面发生完全弹 性碰撞后从原路返回抛出点。试求抛出时的速度方向。 21在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为 h，若出手时的速度大小为 v0，试求铅球的 最大射程。 22 一仓库高 20m、 宽 40m， 在仓库前某处 A 点抛一石块过屋顶， 试问 A 距仓库前多远时， 所需初速度 v0最小？最小为多少？ A v0 v0 9 23一只狐狸以不变速度 v1沿着直线 AB 逃跑，一猎犬以不变的速率 v2追击，其运动方向 始终对准狐狸。某时刻狐狸在 F 处，猎犬在 D 处，FDAB，且 FD=l，如图所示，试求此 时猎犬加速度的大小。 24一只狐狸沿半径为 R 的圆形岛边缘以速率 v 匀速率奔跑，一只猎犬以相同的速率 v 从 圆形岛中心 O 出发追击狐狸。设猎犬在追击过程中狐狸、猎犬和圆心 O 三者始终在同一 直线上。问猎犬应沿什么轨道追击？在何处可以追上狐狸？ 25合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 321，如图所示。顶点 A3以速度 v 沿水 平方向向右运动，求： （1）当构件的所有角都为直角时，顶点 A1、A2、B2的速度。 （2）若 最大的菱形边长为 L，则当构件的所有角都为直角时，顶点 B1的加速度。 A B F D l v1 v2 A0 A1 A2 A3 B1 B2 B3 10 26四根同样硬杆长均为 L，杆端用铰链相接，构成菱形，其对角线 BD 比对角线 AC 长， 如图所示。菱形平放在桌面上，某一时刻，A 和 C 两顶点以同样大小速度 v 沿直线 AC 朝 相反方向开始运动。求当菱形变成正方形时顶点 B 相对桌面的加速度。 27如图所示，用四根长度均为 L 的同样细杆做成菱形构件，各杆的两端用铰链相连，铰 链 A 固定，一开始 A 和 C 两铰链彼此靠近且静止。某时刻开始，铰链 C 以恒定的加速度 a 水平向右运动。求当杆 AB 和 BC 成 2 角时，铰链 B 具有的加速度。 28已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面圆半径为 R，螺距为 h。求此等距螺旋线的曲率 半径 。 A B C D v v A B C D a 11 29有一半径为 R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变速度 v0 在圆环平面内水平向前运动。求圆环上与圆心等高的 P 点的瞬时速度、切向加速度和法向 加速度。 30如图所示，一根细绳的一端连接于 A 点，绳上距 A 点为 a 处系有一重物 B，绳的另一 端通过 C 点处定滑轮，A 和 C 位于同一水平线上。现拉住绳右端，以恒定速率 v 收绳，当 绳收至图示位置时，重物 B 两边的绳与水平线的夹角分别为 和 ，求这时 B 点的速度、 B 沿 AB 方向的加速度和 B 沿 BC 方向的加速度。 31如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端 A 点的速度为 v，方向水平向右。 以铰链固定于 B 点的木板靠在线轴上，线轴的内、外半径分别为 r 和 R。试确定木板的角 速度 与角 的关系。 A B C v A B C v 12 32足球运动员在距球门正前方 s 处罚球点，准确地从球门正中央横梁下边缘踢进一球。 横梁下边缘离地面的高度为 h，不计空气阻力。求运动员给予足球的最小速度 v0。 33一只狐狸以不变速度 v1沿着直线 AB 逃跑，一猎犬以不变的速率 v2追击，其运动方向 始终对准狐狸。某时刻狐狸在 AB 上的 F 处，猎犬在 D 处，FDAB，且 FD=L，如图所示。 设 v2v1，试求猎犬追上狐狸还需多长时间。 34A、B、C、D 四个小孩分别站在正方形的四个顶点，以相同的不变速率 v 作追逐游戏， A 追 B、B 追 C、C 追 D、D 追 A，而且每个小孩始终对准自己追逐的目标运动。设在追逐 过程中某一时刻，正方形的边长为 l，如图所示。求： （1）四个小孩再经过多少时间追到 自己的目标？（2）每个小孩自那时刻起跑了多长路程？（3）每个小孩在那一时刻跑动的 加速度多大？ A B F D L v1 v2 A B C D l v v v v l 13 35如图所示，五个质点 A、B、C、D、E，某一时刻正好位于一个半径为 R 的圆上五个 等分的位置。今让各质点均以速率 v 运动，而且在运动中质点 A 始终指着 C，质点 B 始终 指着 D，质点 C 始终指着 E，质点 D 始终指着 A，质点 E 始终指着 B。试求： （1）从开始 直至五个质点会聚一点经历的时间为多长？（2）质点 A 在运动中将沿一条曲线运动，初 始时此曲线的曲率半径为多大？ 36如图所示，有一半径为 R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以 不变速度 v0在圆环平面内向前运动。求圆环上与圆心等高的 P 点的瞬时速度、切向（沿速 度方向）加速度和法向（垂直速度方向）加速度。 37一质点在平面上作匀变速运动，在时刻 t=1s、3s、5s 时，质点分别位于平面上的 A、 B、C 三点，已知 AB=8m，BC=6m，且 ABBC。试求此质点运动的加速度。 A B C D E O R D v0 14 38磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径 r末为 初半径 r0的 3 倍，绕带的时间为 t1。要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的（等 长）薄磁带，问需要多少时间 t2。 39在听磁带录音机的录音时发觉，经过时间 t1=20min，带轴上带卷的半径减小一半。问 此后半径又减小一半需要多少时间 t2。 40小球从高 h0=120m 处自由落下，着地后跳起，又落下，每与地面相碰一次，速度减少 一半。 （1）作出小球的 vt 图象（向上为正） ； （2）求小球从下落到停止的总时间和总路程。 （g 取 10m/s2） 41有两把齿距不同的梳子，其中一把每厘米有 4 个齿，另一把每厘米有 5 个齿。今将其 重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现。如果把其中 的一把梳子以 1cm/s 的速度移动，问亮的部位将以多大的速度移动？ 15 42半径为 R 的自行车轮在平地上滚动，轮心速度为 vC，在轮缘 A 处有一质点 M，在如 图所示的位置处（A、C 连线和水平线平行）质点 M 脱离 A 点飞出，则质点 M 飞越的水平 距离 L 为多少？ 43如图所示，一人作射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次 射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明。已知水平线离地面高度为 h，枪与靶 相距为 d，子弹发射速率为 v0。 44如图所示，从 O 点以初速度 v0射出一颗子弹，同时从距地面为 h 的 A 点自由落下一 物体，若两者在 B 点相遇（B 点离 O 点的水平距离为 L） ，求子弹的初速度 v0与水平方向 的夹角 。 C M A vC O h d v0 O v0 A B 16 45一水枪需将水射到离喷口水平距离为 3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为 4.0m，若不 计空气阻力，取 g=10m/s2，求所需的最小初速度及发射仰角。 46钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅弹跳一次，如图所示。每次与台阶碰撞 时，球要损失 =50%的动能。试求小球抛出时的初速度 v 及其与竖直线的夹角 。 （梯子 台阶的高度 h=10cm，宽 l=20cm。 ） 47炮从掩蔽所下向外射击，掩蔽所与水平面倾斜成角 ，如图所示。炮位于离掩蔽所的 地基（B 点）相距 l 的 A 点处。炮弹的初速度为 v0，炮弹飞行的轨道位于图面上。求炮弹 飞行的最远射程 Xmax。 v l h A B l v0 17 48半径为 R 的车轮在地面上作无滑动的滚动，轮心速度为常量 v0，试求轮边一质点的轨 迹方程。 49已知抛物线方程 y=Ax2，试采用物理方法确定任意 x 处抛物线的曲率半径。 50如图所示，一个直径为 D 的圆柱体侧面刻有螺距为 h 的螺旋形凹槽，槽内有一小球， 为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？ h 凹槽 绳子 18 51如图所示，缠在线轴上的线绕过滑轮 B 后，以恒定速度 v0被拉出，这时线轴沿水平面 无滑动地滚动，线轴的内、外半径分别为 r 和 R。求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向 的夹角 的变化关系。 52如图所示，半径为 R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度 v1、v2反向运 动，圆柱与板之间无相对滑动。求圆柱上与板接触的 A 点处的加速度。 53如图所示，在 xOy 平面上有两半径均为 R 的圆，左圆圆心固定在坐标原点 O，右圆圆 心 O沿 x 轴以速度 v0作匀速直线运动，t=0 时两圆心重合，试求两圆交点之一 P 点的速率 vP和加速度 a 各与时间 t 的关系。 A B v0 O v1 v2 A O O y x P 19 54如图所示，顶杆 AB 可在竖直槽 K 内滑动，其下端由凸轮 M 推动，凸轮绕 O 轴以匀 角速度 转动。在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与 A 接触处，法线 n 与 OA 之间夹角为 ， 试求此瞬时顶杆 AB 的速度。 55当人在电影屏幕上看到汽车向前行驶时，如图所示的车轮并没有转动时，则汽车运动 可能的最小速度为多少？已知电影每秒钟放映 24 个画面，转子半径为 0.5m。 56如图所示，一个圆台上底半径为 r1，下底半径为 r2，其母线 AB 长为 l，放置在水平地 面上，推动它之后，它自身以角速度 旋转，整体绕 O 点作匀速圆周运动，若接触部分 不打滑，求旋转半径 OA 及旋转一周所需的时间。 M n A O B K O A B r2 r1 20 57如图所示，直杆 AB 以匀速 v 搁在半径为 r 的固定圆环上作平动，试求图示位置时， 杆与环的交点 M 的速度和加速度。 58如图所示，长度 l=10cm 的棒在光滑水平面上转动，同时以速度 v=10cm/s 朝着左侧墙 滑动。某时刻棒与墙平行，且两者相距 L=50cm，要使棒与墙平行相撞，则棒的角速度应 该多大？ 59在水平地面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为 0.8m，后轮直径为 1.25m，两轮的轴的水 平距离为 2m。在行驶过程中，从前轮边缘的最高点 A 处水平飞出一小石块，0.2s 后轮边 缘的最高点 B 处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，g 取 10m/s2， 求拖拉机行驶时的速度大小。 A B L v A l 21 60如图所示，由两个圆环组成的滚珠轴承，内环半径为 R2，外球半径为 R1，在两环之 间分布着小圆球（滚珠） 。外环以线速度 v1顺时针方向转动，而内环则以线速度 v2顺时针 方向转动，试求小球中心围绕圆环中心顺时针转动的线速度 v 和小球自转的角速度 。设 小球与圆环之间无滑动发生。 61一木板板从空中下落，发现在某时刻，板上 a 点速度和 b 点速度相同，va=vb=v，且均 位于板面上； 同时还发现板上 c 点速度比速度 v 大一倍， c 点到 a 和 b 两点距离等于 a 和 b 两点之间距离（为 l） ，则板上哪些点的速度等于 3v？ 62如图所示，一半径为 R 的半圆柱体沿垂直于柱轴的水平方向作加速度为 a 的匀加速运 动。在圆柱面上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向上下运动。当半圆柱体的速度为 v 时， 杆与半圆柱体接触点为 P，OP 与竖直方向夹角为 。求此时竖直杆运动的速度和加速度。 R1 R2 v O P R 22 63超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速 来确定流量的仪器。一种超声波流量计的原理示意图如图所示。在充满流动液体（管道横 截面上各点流速相同）管道两侧外表面上 P1和 P2处（与管道轴线在同一平面内） ，各置一 超声波脉冲发射器 T1、T2和接收器 R1、R2。位于 P1处的超声波脉冲发射器 T1向被测液体 发射超声脉冲，当位于 P2处的接收器 R2接收到超声脉冲时，发射器 T2立即向被测液体发 射超声脉冲。 如果知道了超声脉冲从 P1传播到 P2所经历的时间 t1和超声脉冲从 P2传播到 P1所经历的时间 t2，又知道了 P1、P2两点的距离 l 以及 l 沿管道轴线的投影 b，管道中液 体的流速 u 便可求得。试求 u。 64如图所示，试在水平放置的半径为 R 的圆管内寻找一点 C（指出