第六章 离散化方法

,计算机控制技术,模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：-零极点个数；-系统的频带；-稳态增益；-相位及增益裕度；-阶跃响应或脉冲响应形状；-频率响应特性。,模拟控制器的离散化方法,离散化方法很多数值积分法（置换法）-一阶向后差法-一阶向前差法-双线性变换法-修正双线性变换法零极点匹配法保持器等价法z变换法(脉冲响应不变法),注意：不同的离散化方法特性不同.D(z)与D(s)相比，并不能保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。,1脉冲响应不变法（Z变换法）,基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟滤波器的脉冲响应函数的采样值。设模拟控制器的传递函数为在单位脉冲作用下输出响应为其采样值为,1)设计原理,例已知模拟控制器，求数字控制器D(z)。解：控制算法为：,D(z)与D(s)的脉冲响应相同。若D(s)稳定，则D(z)也稳定。D(z)不能保持D(s)的频率响应。D(z)将s的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了混叠现象。其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器D(s)。,2)脉冲响应不变法特点,2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）,基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行Z变换离散化成数字控制器若D(s)稳定，则D(z)也稳定。D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。,3.差分变换法,基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换,对于给定其微分方程为用一阶向后差分代替微分，则,1).一阶向后差分,s与z之间的变换关系,两边取Z变换得可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同,一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似,s平面与z平面映射关系,当=0（s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。当0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。当0（s右半平面），映射到z平面单位圆外。当0（s左半平面），映射到z平面单位圆内。,图双线性变换映射关系,双线性变换将-整个s平面左半部到z平面单位圆内。-整个s平面右半部映射到单位圆外。-s平面虚轴映射为单位圆。-映射是一对一的非线性映射。,z域角频率,s域角频率,若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变,当采样频率较高,足够小,双线性变换频率特性失真,双线性变换的频率关系,双线性变换后环节的稳态增益不变,双线性变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：,应用这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。2)这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。,例已知连续控制器传递函数,试用双线性变换法离散，并比较D(s)与D(z)的频率特性。,当T=1s时，,当T=0.2s时，,解：,MATLAB命令：,num=1;Den=10.81n,d=c2dm(num,den,1,tustin),n=0.15150.30300.1515d=1.0000-0.90910.5152,单位阶跃响应的仿真结果,T=1s时的单位阶跃响应与连续系统响应接近T=0.2s时的单位阶跃响应与连续系统响应非常接近。这表明该方法精度较高。,5.频率预畸变双线性变换法,基本思想：双线性变换产生了频率轴的非线性畸变，预修正的目的是满足在某个选定的关键频率1上:,为实现上述要求，需将D(s/1)平移到D(s/A)处，再做Tustin变换.因为,相当于在原系统传递函数s处引入一个比例因子：,，,传递函数D(s)，修正双线性变换为,Tustin变换式,主要特性该方法本质上仍为双线性变换法，具有双线性变换法的各种特性。由于采用了频率预修正，故可以保证在1处连续频率特性与离散后频率特性相等，但在其他频率处仍有畸变。应用主要用于将连续控制器离散时，要求在某些特征频率处，离散前后频率特性保持不变的场合。,例已知连续控制器传递函数,试用预修正双线性变换法离散，设关键频率为,解：修正双线性变换法离散后，可得,图(b)为双线性变换法的Bode图（其中实线为连续环节的频率响应曲线）。从图中可见，在关键频率处，连续与离散环节的频率响应相差较大。图(a)为修正双线性变换法的Bode图。从图中可见，在关键频率处，连续与离散环节的频率响应相等，在其附近，连续与离散环节的频率响应也较接近。,6零、极点匹配法,基本思想：将D(s)的零点和极点均按z=eTs关系一一对应地映射到Z平面上特点,零、极点分别按匹配。若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子。,确定D(z)的增益k1的有三种方法：-按右式来匹配-若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,-也可选择某关键频率1处的幅频相等，即,零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不方便。由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一定稳定。当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。,主要特性,连续域-离散化方法小结,等效的离散控制器的暂态特性和频率特性与连续控制器相应特性相比均有畸变，没有一个能够完全逼真。畸变程度与采样频率、截止频率、系统的最高频率有关.如采样频率相对系统截止频率或最高频率取得较高，如大于410倍以上，通常各种离散方