西工大—现代控制理论

现代控制理论，状态空间分析和控制系统综合，2。介绍，经典控制理论：数学模型：线性稳态高阶微分方程和传递函数；分析方法：时域法(低阶1 3阶)根轨迹法频域法适用于：单输入单输出(SISO)线性时不变系统。缺点：只能反映输入和输出之间的外部特征，很难揭示系统的内部结构和运行状态。现代控制理论：由数学模型：中一阶微分方程组成的差分方程表示的动态方程分析方法；精确时域分析方法：适用于以下领域：(1)多输入多输出系统(多输入多输出，SISO，米索，SIMO)(2)非线性系统(3)时变系统的优点：(1)它可以描述系统的内部运行状态(2)它便于考虑初始条件(与传递函数相比)(3)它适用于复杂的大规模控制系统，如多变量， 非线性和时变系统(4)便于计算机分析和计算(5)便于性能的优化设计和控制：线性系统理论、最优控制、最优估计、系统辨识、自适应控制、近似分析、3、第1章描述控制系统的状态空间，第2章分析线性系统的运动，第3章分析控制系统的李雅普诺夫稳定性，第4章线性系统的可控性和可观测性， 第5章线性系统的非奇异线性变换和系统的典型分解，第6章线性稳定控制系统的综合分析，4，1.1系统数学描述的两种基本方法1.2状态空间描述的基本概念1.3系统的传递函数矩阵1.4线性稳定系统动态方程的建立第1章控制系统的状态空间5典型控制系统的框图1.1系统数学描述的两种基本方法6典型控制系统由受控对象、传感器、执行器和控制器组成。 受控过程有几个输入和输出。数学描述方法：输入输出描述(外部描述):高阶微分方程和传递函数矩阵。状态空间描述(内部描述):基于系统的内部结构，是对系统的完整描述。7、输入：对系统的外部影响(激励)；控制：人为施加的激励；输入子控制和干扰。输出：从外部测量的系统或系统信息的受控量。如果输出是由传感器测量的，这也叫观察。状态、状态变量和状态向量：一组能够完全描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的独立(最小数量)变量称为系统状态；这些变量中的每一个都被称为状态变量。当一个状态被表示为一个向量，其中每个状态变量都是一个分量时，它被称为状态向量。状态空间：由作为坐标轴的状态向量的所有分量组成的n维空间称为状态空间。状态轨迹：系统在某一时刻的状态，可视为状态空间中的一点。随着时间的推移，系统状态不断变化，在状态空间中描述了一条轨迹，称为状态轨迹或状态轨迹。状态方程：描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统状态方程，它不包含输入微积分项。一般来说，状态方程是非线性和时变的，可以表示为输出方程：描述系统输出变量和系统状态变量与输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当传感器获得输出时，也称为观测方程。输出方程的一般形式是动态方程：状态方程和输出方程的结合称为动态方程，也称为状态空间表达式。一般形式是，1.2状态空间描述中常用的基本概念，8，或离散形式，线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动力学方程的一般形式是线性常数系统线性系统的结构图：线性系统的动力学方程通常用结构图来表示。在图中，I是()单位矩阵，S是拉普拉斯算子，Z是单位延迟算子。1.状态变量的独立性。2.因为状态变量的选择不是唯一的，所以状态方程、输出方程和动态方程不是唯一的。然而，由独立变量描述的系统的维数应该是唯一的，并且独立于状态变量的选择方法。3.系统动力学方程的描述是充分和完整的，即系统中的任何变量都可以用状态方程和输出方程来描述。例1-1试图确定图8-5中(a)和(b)所示电路的独立状态变量。图中u和I分别为输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容电压或电感电流。发现并非所有电路中的所有电容电压和电感电流都是独立变量。对于图8-5(a)，在不失一般性的情况下，假设电容器的初始电压值为0、是和11。因此，只有一个变量是独立的，并且只有一个状态变量可以被选择，即任何一个变量可以被用作状态变量来确定电路的行为。事实上，三个串并联电容可以相当于一个电容。对于图(b)x1=x2，因此两者是相关的，只有电路的两个变量是独立的，即(x1和x3)或(x2和x3)，并且一组变量如(x2，x3)可以用作状态变量。假设初始条件为零，对线性定常系统的动力学方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的传递函数矩阵(简称传递矩阵)定义为，而例1-2中已知的系统动力学方程为，试求系统的传递函数矩阵。解是已知的，所以，1.3系统的传递函数矩阵，13，1.4.1由物理模型建立的动态方程，1.4由系统的物理模型建立的动态方程，1.4线性稳定系统的动态方程的建立，RLC电路，例1-3试着写出如图所示的RLC电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并讨论所选状态变量之间的关系。具有明确物理意义的常见变量有：电流、电阻电压、电容电压和电荷、电感电压和磁通量。根据独立性要求，不能选择电阻电压和电流、电容电压和电荷、电感电流和磁通量三个变量作为系统的状态。根据回路电压定律，电路的输出Y为，1)将状态变量设置为电感电流和电容电压，即状态方程为，14，其矢量矩阵形式为，其中，2)将状态变量设置为电容电流和电荷，即有，3)设置状态变量(物理量，无明确含义)，可以推导出，15，其矢量矩阵形式为，表明对于同一系统，状态变量的选择不是唯一的，动态方程也不是唯一的。例1-4由质量、弹簧和阻尼器组成的双输入三输出机械位移系统如图所示。它有力F和阻尼缸速度V两个外部函数，输出是质量的位移、速度和加速度。试着写出系统的动力学方程。它们是质量、弹簧刚度和阻尼系数。x是质量位移。双输入-三输出机械位移系统，其解根据牛顿力学，系统上的外力F与惯性力M、阻尼力F (-V)和弹簧回复力形成平衡关系，系统的微分方程如下：这是一个二阶系统，如果质量的初始位移和初始速度已知，系统在输入作用下的解可以唯一确定，因此质量的位移和速度被选为状态变量。准备。从该问题可知，系统有三个输出，设置为、16，因此系统状态方程可以从系统微分方程导出，其向量矩阵形式为，1.4.2动态方程由高阶微分方程建立1)微分方程不包含输入量的导数项：n个状态变量被选择为具有，以获得动态方程，17，其中，系统状态变量图，2)导数项包含在上述方程的第一个方程产生n个输出方程。剩余的(n-1)状态方程如下。式#的导数如下：19，用展开式和u的所有阶的导数表示，排序后，使上述公式中u的所有阶的导数系数为零，即可确定h的值。因此，在公式中，系统的动力学方程为20。如果输入仅包含m个导数，并且高于m个导数的系数可以设置为0，则仍然可以应用上述公式。1.4.3由系统传递函数建立动态方程，采用综合除法，其中，是直接连接输入和输出的前馈系数。当G(s)的分母数大于分子数时，它是严格有理真分数，每个分子项的系数分别为，介绍了导出几个标准动态方程的方法：1)图中所示为级数分解，以z为中间变量，将分解成两个串联的部分，即，如果选择状态变量，21，则状态方程为，输出方程为， 在其向量矩阵形式中，其中，当具有上述形状时，矩阵被称为伴随矩阵，相应的状态方程被称为可控标准形式。 此时，如果状态变量是根据下面的公式选择的，其中t是转置符号，那么就有需要注意的形状特征。如果动力学方程具有这种形式，它被称为可观测标准形式。自我证明：可控标准形式和可观测标准形式是同一个传递函数的不同实现。可控标准型和可观测标准型的状态变量图如下：(对偶关系)，可控标准型状态变量图，可观测标准型状态变量图，23。例1-6将二阶系统的微分方程设为，写出可控标准型和可观测标准型的动力学方程，并分别确定状态变量与输入和输出的关系。求解系统的传递函数为，因此，可控标准动态方程的矩阵由G(s)串联分解，引入中间变量z，状态变量与输入输出之间的关系可由上述关系和微分y导出；可观测标准动态方程中的每个矩阵为，24，状态变量与输入输出的关系为，系统的可控标准形式和可观测标准形式的状态变量图如下：(A)实现了可控标准形式，(b)实现了可观测标准形式，(2)当只包含一个实极点时，动态方程除了可控标准形式或可观测标准形式外，还可以转化为对角动态方程，其矩阵A为对角矩阵。将D(s)分解为d (s)=其中D(s)=是系统的单个实极点，则传递函数可以展开为部分分数、和25的和，并且是极点处的剩余，Y(s)=U(s)，如果状态变量的逆变换结果展开为、其向量矩阵形式为(状态变量如图(a)所示)和、26，如果状态变量为Y(s)=、则执行逆变换并用向量矩阵展开具有对偶关系的对角动力方程的状态变量图如下所示：(27)，(a) (b)，对角动力方程的状态变量图，以及(3)当传递函数除单个实极点外还包含多个实极点时，它可以转换成可控标准或可观测标准型，也可以转换成近似标准型动力方程，其矩阵a是包含近似等价块的矩阵。如果D(s)可以分解成D(s)=三重实极点和单重实极点，那么传递函数可以展开成下列部分分数之和：28。状态变量选择方法与包含单个实极点时的方法相同，可以分别得到向量矩阵形式的动态方程：29。相应的状态变量图如图(a)和(b)所示。上述两种表达方式之间也有双重关系。Jordan型动态方程状态变量图，30，1.4.4差分方程和脉冲传递建立的离散动态方程这仅限于单输入多输出和多输入单输出系统。SIMO系统的实现：1)系统可视为由Q个独立的子系统组成，传递矩阵为：32，其中D是一个常数向量；这是一个不可约的严格有理真分数(即分母阶大于分子阶)。一般来说，的特征是不同的，并且具有不同的分母。让我们假设公分母是：而、的公式化形式是、它将被级数分解并引入中间变量Z。如果把矩阵A写成伴随矩阵，就可以得到可控标准实现的状态方程：各子系统的输出方程：33，各子系统的输出方程：可以看出，单输入、Q维输出系统的输入矩阵是Q维列向量，而输出矩阵是(qn)矩阵，所以没有对偶形式，即没有可观测的标准实现。MISO系统实现：多输入单输出系统结构图，系统由p个独立的子系统组成，系统输出由子系统输出组成：34，其中，相似地，的最小公分母是D(s)，那么，如果矩阵a被写成伴随矩阵的转置形式，则可以得到可观测标准实现的动态方程：35，可以看出，对于p维输入，单输入系统的输入矩阵是(np)矩阵，输出矩阵是行矩阵，因此不存在对偶矩阵单输入多输出系统的传递函数矩阵在例1-7中是已知的。得到了传递矩阵的可控标准和对角实现。例如1-7，单输入多输出系统的传递函数矩阵称为，并且获得了传递矩阵的可控标准实现和对角实现。因为系统是单输入多输出的，所以输入矩阵只有一列，输出矩阵有两行。它将被转换成严格有理真分数，每个元素的最小公分母D(s)是，因此，可控标准动态方程是：36，可确定系统的极点是-1，-2，它们构成对角状态矩阵的元素。因为输入矩阵只有一列，所以这里不能选择极点的余数来形成输入矩阵，而只能选择具有所有元素1的输入矩阵。因此，对角实现的状态方程是：它的输出矩阵由对应于极点的残数组成，并且在-1，-2的残数分别是：所以它的输出方程是，37，本章中的分配：8-3，8-4，8-5，8-7，38，第2章线性系统的运动分析，2.1线性平稳连续系统的自由运动2.2状态转移矩阵的性质2.3线性平稳连续系统的受控运动2.4线性平稳离散系统的分析2.5连续系统的离散化39。在u=0控制的情况下，由初始条件引起的线性定常系统的运动称为线性定常系统的自由运动，可以用齐次状态方程来描述：齐次状态方程的求解方法：幂级数法、拉普拉斯变换法和凯利-汉密尔顿定理法。幂级数方法：假设齐次方程的解是t的向量幂级数公式，所有这些都是n维向量。而且，通过推导和考虑状态方程，可以得到2.1线性常数连续系统的自由运动，等号两边的相应系数相等，有，40，因此，这个定义，那么，就叫做矩阵指数函数，缩写为矩阵指数，也叫做状态转移矩阵。注意，求解齐次状态方程问题的核心是计算状态转移矩阵的问题。拉普拉斯变换法：进行拉普拉斯变换，有：进行拉普拉斯逆变