高应变理论_总

（一）波动方程的建立（一）波动方程的建立 对于桩体的动力测试是基于一维杆波动理论进行的，遵守一维杆波动理论的假定： 1材料是各向同性和线弹性的； 2变形前的杆的横截面平面在变形过程中始终保持平面； 3在横截面上除均匀分布有轴向应力外，所有的其他应力分量均为零。 （a） （b） 图 1 等截面细杆（桩）的纵向振动 图 1（a）为一等截面细直杆（桩），通过平衡条件简历运动微分方程。取杆的纵向作 为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为ux,t微单元dx的受力及位移情况如图 1（b）所示。设杆的单位体积质量为，杆长为 l，截面积为 A，材料的杨氏模量为 E； 杆在任意截面x 处的纵向应变为x，纵向内力表示为Px。微单元的质量可以表 示为Adx，对微单元dx作受力分析，并依据材料力学可得如下关系： x=ux,t x （1） Px=A=AEx=AE ux,t x （2） 列出微单元dx的运动微分方程 PxAdx 2ux,t t 2 =Px Px x dx （3） 整理后得 2ux ,t x2 = 1 C2 2ux,t t 2 （4） 式中，C=E/，表示弹性波沿杆纵向的传播速度。 这样就建立了杆的一维波动方程。 （二）波动方程的解（二）波动方程的解 采用分离变量法来对上述方程求解，设 ux,t=X tTt （5） 代入到方程（4）中，并整理得到 T t T t=C 2X x X x= （6） 由式（6）得到以下方程组 X x= C2 X x=0 TtT t=0 （7） 为保证上述方程组的解为简谐函数，常数必须大于零，因此设 =2 ，这样方程 组（7）变成 X 2 C2 X x=0 Tt2Tt=0 （8） 解得 X x=A1sin C xB1cos C x Tt=D1sint （9） 其中，A1，B1及由边界条件确定，D1和由初始条件确定。 将（9）代入（5）式，得到 ux,t=A1sin C xB1cos C xD1sint （10） 即等值杆（桩）的主振动，它表示杆的各个质点以式（9）中第一式所示的X x为振 动形态，以为频率作简谐振动。这里的X x称为主振型或振型函数，而则 是固有频率。以下讨论各种简单边界条件下杆（桩）的固有频率和主振型。 1两端固定 边界条件为 X 0=X l=0 （11） 代入（9）式第一式，可得B1=0及A1sin C l=0，为使系统有非零解，必有 sin C l=0 （12） 由此得到两端固定杆（桩）的固有频率为 i= iC l =i l E i=1,2,3. （13） 响应的主振型为 Xi=iC l =i l E （14） 2.一端固定一端自由 设x=0处为固定端，x=l处为自由端。在x=0处，边界条件为 X 0=0 （15） x=l处，边界条件为 ux,t u x=l=0 （16） 将（15）和（16）式代入（9）式第一式，可得B1=0及， C A1cos C l=0为使系 统有非零解，则必有 cos C l=0 （17） 由此得到一端固定一端自由杆（桩）的固有频率为 i= 2i1 2l C= 2i1 2 l E （18） 响应的主振型为 Xix=Aisin 2i1 2 l xi=1,2,3. （19） 3.两端自由 边界条件为 X 0=Xl=0 （20） 代入（9）式第一式，得A1=0和 C B1sin C l=0，为使系统有非零解，则必有 sin C l=0 （21） 由此得到两端自由杆（桩）的固有频率为 i=iC l =i l E （22） 响应的主振型为 Xix=Bicos i l xi=0,1,2. （23） 特别说明的是，上面两式包含了零固有频率和响应的刚体振型，即0=0时，零阶固有 频率对应的主振型为 X0x=B0 （24） 将0=0代入（8）式的第二式，易得方程的解为 T0=axb （25） 于是得到零阶固有频率下的主振动为 u0x,t=X0xT0t=B0atb （26） 上式表明，在零阶固有频率的情况下，杆（桩）以式（26）的形式作刚体平动。 求出各阶固有频率和相应的主振型后，就得到了响应的各阶主振动 uix ,t=XixTit=XixDisinitii=1,2,3. （27） 它们都满足一维杆波动方程，因而杆（桩）的固有振动实际上是无穷多个主振动的叠加， 即 ux,t= i=1 XixDisinii （28） 对于两端自由的杆，还应增加刚体的平动（26）式。 （三）波动方程的含义（三）波动方程的含义 对于前面的纵向振动方程（4），也可以改写为 2ux ,t t 2 =C 2 2ux,t x2 （29） 由虎克定律可得 x,t=E x,t=E ux,t x （30） 将式（30）代入式（29）得 x,t x = 2ux ,t t 2 （31） 对上式两边对x求导，得到 2x,t t 2 =C 2 2x,t x2 （32） 将（29）式两边对t求导，可得 2V x,t t 2 =C2 2V x,t x2 （33） 从前面的（29）、 （32）和（33）几式可以看出，截面的位移、 应力及速度的波动方程 形式完全一样，这三种波在弹性杆（桩）内都是以相同的方式和速度传播，其解的形式也 相同。 对式（29）作坐标变换，令 =xCt =xCt （34） u,是关于、变化的函数，根据导数公式，可得 2ux,t t 2 =C2 2u, 2 2u, 2 2 2u , 2ux ,t x2 = 2u , 2 2u, 2 2 2u, （35） 将（35）式代入式（29），可得 2u, =0 （36） 从而得到解的形式为 ux,t= f g= f xCt f xCt （37） 这表明，行波可以分解为下行波与上行波，并分别同时向相反的方向传播，而任意截面的 位移应为上行波与下行波的合成，分别以“”和“”表示波的上行和下行，于是 ux,t=uu= f xCt f xCt （38） 同样，对于应力波、速度波也有 x,t= （39） Vx,t=V V （40） （四）桩的行波理论（四）桩的行波理论 1. 桩内的行波方程 前面的（37）式已经表达了一维波动方程的解，为便于分析，令 S=ux,t= f xCtgxCt （41） f xCt表示下行波，gxCt表示上行波，因此对于下行波而言，质点运动速 度V 为 V = f xCt t = f xCtC=Cf （42） 按照桩的受力特征及研究需要，现以压应力为正，下行波产生的应变为 = f xCt x = f xCt1= f （43） 下行波产生的力P 为 P = AE=AEf = AE C V （44） 若令Z= AE C ，则有 Z= P V = AE C （45） 从Z的表达式中可以看出，它的大小只与桩体本身的特性有关，反应的是行波产生的力 对行波速度的响应，依照阻抗的定义方法，可将Z定义为桩的声阻抗。 对于上行波同样有 V = gxCt t =gxCtC=Cg （46） =gxCt x =gxCt1=g （47） P= AE=AEg= AE C V =ZV （48） 从前面是（39）和（40）式可以看出，桩体任意截面处质点运动速度或力都是上行波和下 行波叠加的结果。当测出某一截面处的速度和力时（记为Vm，Pm)，容易得到 V V =Vm V V =Cf Cg =C P AE P AE = Pm Z （49） 解上面的方程容易得到 V = 1 2 Vm Pm Z V = 1 2 Vm Pm Z （50） 从而得到力的表达式 P= 1 2 PmZVm P= 1 2 PmZVm （51） 下面引入边界条件分析自由端和固定端的行波速度与力。 （1） 桩端为自由端 边界条件 Pm=P P =0 （52） 带入（50）与（51）式得到 V =V （53） P =P （54） Vm=V V =2V （55） 上述表明，应力波到达桩的自由端时，会产生幅值相同而方向相反的反射波；压力波产生 拉力反射波，而拉力波产生压力反射波；桩端质点的运动速度将增加一倍，如图 2 所示。 图 2 桩的自由端 图 3 桩的固定端 （2）桩端为固定端 边界条件 Vm=V V =0 （56） 带入式（50）和（51）得到 P =P （57） Pm=P P=2P （58） 说明当应力波到达桩固定端时，将产生与入射波相同的反射波，叠加结果将使端部的反力 增加一倍；而质点的运动速度为零，如图 3 所示。 2. 行波在变截面处的反射与透射 如图4 所示，当截面发生变化，声阻抗Z1= A1E1 C1 变为Z2= A2E2 C2 , 图 4 桩截面变化的情况 变截面处的连续条件为 P1P1=P2P2 V1V 1=V2V2 （59） 式（59）又可以写成 P1 Z1 P1 Z1 = P2 Z2 P2 Z2 （60） 经移项整理可得 P1P2=P2P1 P1 Z1 Z2 P2= Z1 Z2 P2P1 （61） 解上面联立方程可得 P1= Z2Z1 Z1Z2 P1 2Z1 Z1Z2 P2 P2= 2Z2 Z1Z2 P1 Z1Z2 Z1Z2 P2 （62） 当只有下行波通过变截面时上式变为 P1= Z2Z1 Z1Z2 P1（反射波） P2= 2Z2 Z1Z2 P1()透射波 （63） 当只有上行波通过变截面时同样可得 P1= 2Z1 Z1Z2 P2()透射波 P2= Z1Z2 Z1Z2 P2()反射波 （64） 综上所述，无论是上行波还是下行波，在通过变截面时都会分解为透射波和反射波两部分 如式（62）所示；透射波的性质（拉力波或者压力波）与入射波性质一致，符号相同，大 小 为 入 射 波 的2Z2/Z1Z2； 反 射 波 的 性 质 （ 拉 力 波 或 者 压 力 波 ） 取 决 于 （Z1Z2）的符号，大小为入射波的Z1Z2/Z1Z2倍，如式（63）和式 （64）。当入射波由阻抗较小的桩段Z1进入阻抗较大的桩段Z2时，反射波的性质 （拉力波或者压力波）不改变，与入射波性质一致，透射波的幅值比入射波的幅值大；反 之，由阻抗较大的桩段Z1进入阻抗较小的桩段Z2时，Z2Z1为负值，反射波的 性质（拉力波或者压力波）改变，与入射波的性质相反，透射波的幅值比入射波的幅值小。 3.桩侧摩阻力的考虑 假设在桩侧i处有摩阻力作用，对应的 i截面上下侧的力和速度如图 5 所示。 依据在i截面处 的连续条件和平衡条件可以得到如下关系： P1=P1P1 V1=V 1V1 （65） P2=P2P2 V2=V2V2 （66） V1=V2 （67） P1P1=P2P2Ri （68） 联系式（65）（68）解得 P1=P2 1 2 Ri P2=P1 1 2 Ri （69） 式（69）表明上行波、下行波在通过摩阻力 R（i）作用的截面时，其幅值各增加或减少 1 2 Ri；可以形象的认为，从摩阻力的作用处各产生一个向上的压力波和一个向下的 拉力波，并将它们叠加到原有的行波中，叠加的幅值大小为 1 2 Ri。 图5 桩侧摩阻力Ri的作用 （五） 单桩竖向承载力高应变动测方法（五） 单桩竖向承载力高应变动测方法 目前国内单桩竖向承载力的动测方法首选高应变法，1997 年的桩基高应变动力检测 规程 对高应变动测法的应用作了明确规定。 高应变动测法的理论基础是行波理论，在前面 对波动方程及行波理论探讨之后，下面着重对高应变动测法中 CASE 法和 CAPWAPC分析法 的原理及承载力表达式进行推到，作为工程运用的理论依据。 1.CASE 法 当桩受到锤击作用时，设在距桩顶LGxi的地方产生摩阻力Ri，在距桩顶 LG的地方安装力和速度传感器，如图 6 所示。 用锤击时，假设桩体开始时仅有下行的压力波V 0=P0/Z,该波在时间 t途经传感器 时可测得（下标“m”表示是传感器实测的值） Vm 1t=1 Z Pt 1 Z Pt Pm 1t=PtPt （70） 下行波在第一次到达传感器时计时开始，并有 Vm 10=V 0 Pm 10=P0 （71） 当波传到桩底（视桩底为自由端）时产生反射波（波由压力波变为拉力波），经 2L/C又被传感器测得，此后经2LG/C又测到经桩顶反射后返回的压力波，如果不 计传递过程中的能量损失，则每隔2LLG/C时间间隔后，传感器将重复测到上述同 样信号。此时 Pm 1t=P0P2L C P2L C 2LG C P2L C 2LG C 2L C P2L C 2LG C 2L C 2LG C P2L C 2LG C 2L C 2LG C 2L C （72） 图 6 波在桩中的传播 可以从中找到规律，写为 Pm 1t=P0 j=1 N P 2L C 2LG C j1 2L C j=1 N P 2L C 2LG C j （73） 若以时间倒序统计，上式可以改写成 Pm 1t=Pt j=1 N Pt 2L C 2LG C j1 2L C j=1 N Pt 2L C 2LG C j （74） 带入式（70）可得 V m 1=1 Z Pt j=1 N Pt 2L C 2LG C j1 2L C j=1 N t 2L C 2LG C j （75） 对于式（74）、式（75）及以后公式中的Pt及Ri ,t都约定 Pt=0 Ri ,t=0 当t0时 （76） 在考虑摩阻力时，由前面的论述可知，当行波经过时必定产生一个向上的压力波和一 个 向 下 的 拉 力 波 。 对 于 向 上 的 压 力 波Ri ,t/2来 说 ， 在 时 刻2xi/C及 2xi/C2LG/C将被传感器测到，此信号每隔2L/C2LG/C时间间隔又被传感器 测到。依照前面的分析方法，任意时刻 t，任意位置 i向上的压力波可以用如下的表达式来 描述 Pm 2=1 2 j=0 N Ri ,t2L C 2LG j2xi C 1 2 j=0 N Ri ,t2L C 2LG C j2xi C 2LG C Vm 2i ,t=1 Z (1 2 j=0 N Ri,t2L C 2LG C j2xi C 1 2 j=0 N Ri ,t2L C 2LG C j2xi C 2LG C ) （77） 由此，对存在多出摩阻力Ri ,t时， Pm 2t= i=1 M Pm 2i ,t Vm 2t= i=1 M Vm 2i,t （78） 同理，对于下行拉力波 1 2 Ri ,t，可以描述成 Pm 3=1 2 j=0 N Ri ,t 2L C 2LG j 2L C 1 2 j=0 N Ri ,t 2L C 2LG C j Vm 3i,t=1 Z 1 2 j=0 N Ri ,t 2L C 2LG C j 2L C 1 2 j=0 N Ri ,t 2L C 2LG C j （79） 对于多出存在摩阻力Ri ,t时 Pm 3= i=1 M Pm 3i ,t Vm 3= i=1 M V m 3i ,t （80） 实际情况传感器实测的力和速度值是上述三部分的叠加，即 Pmt=Pm 1tP m 2tP m 3t Vmt=V m 1tV m 2tV m 3t （81） 上述公式均是在不计能量损失的条件下推导的，在较短的时间内与实际情况相差较小， 时间越长误差越大。如在0t4L/C范围内考虑，任取时间间隔为2L/C的两个时 刻t1=t*和t2=t*2L/C，则可算得V mt * ，V mt *2L/C 及Pmt*， Pmt *2L/C ，可得上面四个值的关系 Pmt *P mt *2L C ZV mt *ZV mt *2L C = j=1 n Ri,t * j=1 n Ri ,t*2L C 2xi C （82） 上式列出了桩测摩阻力与两个时刻测得的力与速度件关系，只需测出力和速度即可求 得桩测摩阻力。当各点摩阻力是常量时，即 Ri ,t*2L C 2xi C =Ri,t *=Ri （83） 由式（82）和（83）可知锤击时作用在桩身上的总摩阻力RT为 RTt *=1 2 Pmt*Pmt* 2L C ZVmt*ZV mt *2L C （84） 由此推及普遍，在任意时刻 t，桩身上的总摩阻力可写为 RTt= 1 2 PmtPmt 2L C Z 2 V mtVmt 2L C （85） 这就是CASE法的基本公式。要特别说明的是，在公式的推导中，由于利用了行波的周期性 （周期为2L/C），才得到式（85）的简洁公式，因此使用公式时必须对2L/C判断 准确，否则会带来较大误差。 式（85）得到的是土对桩的总阻力，总阻力应等于静阻力Rst和动阻力Rdt 之和，上文所描述的单桩竖向承载力实际上值的是这里的静阻力Rst。动阻力确定一 般用阻尼法，即假设动阻力集中在桩底，且与桩底的速度成正比，有 Rdt=J V toet （86） 式中， J 为桩底阻尼系数，Vtoet为桩底处的运动速度。 当锤击开始到行波传至桩底时力波的幅值为 Ptoe=Pt1 2 i=1 m Ri ,t=Pt 1 2 RTt （87） Vtoet=2V= 2Ptoe Z = 2 Z Pt 1 2 RTt= 1 Z 2PtRTt （88） 若令 J=J /Z ，称之为CASE 阻尼系数，并由 RTt=RstRdt （89） 可得CASE法单桩竖向承载力的表达式 Rst= 1J 2 PtPt 2L C Z 1J 2 VtV t 2L C 2JPt （90） 式中 CASE 阻尼系数是需要认为选择的，实质上是一种经验修正系数，国外资料推荐的系 数值见表1. 2. CAPWAPC 法 CASE法有比较完整的理论体系，测试较简单，能实时分析，传感器能重复使用，其测 试精度与静载实验比较误差一般不超过 20%。 但CASE法的计算公式是建立在均匀杆件的基 础上的，所以要事先选定土的阻尼系数，这一系数是地区性经验数据，给其应用增加了局 限性。对于以摩阻力为主的长桩，CASE法误差较大，更不能计算桩侧摩阻力较精确的分布 规律。而 CAPWAPC是结合 CASE 方法并借助数值计算的方法，将桩抽象为离散质弹性体系， 通过差分解法，进行反复比较、 迭代，修改原先假设参数，直到使之符合收敛标准，从而求 得土阻力及其分布规律。 表 1 CASE阻尼系数建议值 土的类型取值范围建议值 砂0.050.200.05 粉砂和砂质粉土0.150.300.15 粉土0.200.450.3 粉质粘土和粘质粉土0.400.700.55 粘土0.601.101.1 CAPWAPC 法将桩离散为N个弹性杆件单元，桩的截面积和弹性模量即为单元的截 面和弹性模量，各单元的长度可以不等，但波通过单元所需时间t必须相等，一般单 元长度为1m 左右，如图 7 所示。 规定每单元的土阻力都作用在单元底部，单元的阻抗仅在 单元的界面处发生变化，波在单元内部传播时不发生畸变。 每个单元界面上的力均可分解为上行波压力和下行波压力。 为方便起见，以Pui , j、 Pdi , j分别表示上、下行波压力，其中 i 表示第 i 个单元，j 表示时间经历的段数 t= jt。如图8 所示，上行波Pui , j1经t从i单元底部传到单元顶部，成 为Pui1, j；下行波Pdi1, j1从单元顶部传到底部成为Pdi , j，且不 发生变化。于是有如下关系 Pui1, j=Pui , j1 （91） Pdi , j=Pdi1, j1 （92） 图 7 CAPWAPC法中桩单元划分示意图 图 8 CAPWAPC法各单元力波示意图 若设相邻的三个单元的声阻抗分别为Zi1、Zi和Zi1，且定义 Tui=Tdi1= Zi ZiZi1 （93） 则在t= jt时刻上行波Pui ,t经过单元 i与i+1 间变截面时，透射的上行波为 Pu1=2TuiPui, j （94） 下行波Pdi ,t在变截面处反射产生的上行波为 Pu2= Zi1Zi Zi1ZiPd i , j=T diTuiPdi , j （95） 土阻力Ri ,t产生的上行波为 Pu3=TuiRi , j （96） 由式（91）、（92）以及式（94）（96）可得，在t= jt时刻，i截面处的上行波为 Pui , j=Pu1Pu2Pu3 =Tui2Pui1, j1Pdi1, j1Ri , jT diPdi1, j1 （97） 同理，在t= jt时刻，i截面处的下行波为 Pdi , j=Pd1Pd2Pd3 =Tdi2Pdi1, j1Pui1, j1Ri, jT uiPdi1, j1 （98） 式（97）和（98）是除桩顶和桩底两个截面外的其他截面行波的递推公式，下面分别讨论 桩底和桩顶两个截面处的行波表达式。 对于桩底（将桩底视为自由端），下行的压力波经过桩底截面反射后