高数大一上第一章习题

第一章 习 题 课 函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限 一一一一 基本要求基本要求基本要求基本要求 (一一一一)函数函数函数函数 1.理解函数的概念理解函数的概念理解函数的概念理解函数的概念,明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个 要素要素要素要素(对应关系和定义域对应关系和定义域对应关系和定义域对应关系和定义域),会求定义域会求定义域会求定义域会求定义域. 2.了解函数性质了解函数性质了解函数性质了解函数性质(有界性有界性有界性有界性,单调性单调性单调性单调性,奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性,周周周周 期性期性期性期性).期性期性期性期性). 3.理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数及分段函数的概念,了解反了解反了解反了解反 函数和隐函数概念函数和隐函数概念函数和隐函数概念函数和隐函数概念,并会将复合函数拆成并会将复合函数拆成并会将复合函数拆成并会将复合函数拆成 基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数. 4.掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形. (二二二二)极限极限极限极限 1.理解极限的概念理解极限的概念理解极限的概念理解极限的概念,明确变量的极限是描述明确变量的极限是描述明确变量的极限是描述明确变量的极限是描述 变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的. 2.了解极限的性质了解极限的性质了解极限的性质了解极限的性质(唯一性唯一性唯一性唯一性,有界性和保号性有界性和保号性有界性和保号性有界性和保号性) 及极限存在的两个准则及极限存在的两个准则及极限存在的两个准则及极限存在的两个准则(夹逼夹逼夹逼夹逼、单调有界单调有界单调有界单调有界). 3.掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的四则运算法则和两个重要极 限限限限,并会利用它们求极限并会利用它们求极限并会利用它们求极限并会利用它们求极限. 4.了解无穷小与无穷大的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质,会用会用会用会用 等价无穷小求极限等价无穷小求极限等价无穷小求极限等价无穷小求极限. (三三三三)连续连续连续连续 1.理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念, 明确连续定义的三个要素明确连续定义的三个要素明确连续定义的三个要素明确连续定义的三个要素. 2.了解间断点的概念了解间断点的概念了解间断点的概念了解间断点的概念,会判断间断点的类型会判断间断点的类型会判断间断点的类型会判断间断点的类型. 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的最大值和最小值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理, 并会一些简单的应用并会一些简单的应用并会一些简单的应用并会一些简单的应用. 1.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则(有时需要先对函数作有时需要先对函数作有时需要先对函数作有时需要先对函数作 变量代换变量代换变量代换变量代换,恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形,如通分或有理化等如通分或有理化等如通分或有理化等如通分或有理化等); 2.利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限 （一一一一）求极限的方法求极限的方法求极限的方法求极限的方法: 二二二二要点提示要点提示要点提示要点提示 2.利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限: 3.利用极限存在的两利用极限存在的两利用极限存在的两利用极限存在的两个准则个准则个准则个准则(夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则,单调有单调有单调有单调有 界准则界准则界准则界准则); e xx x x xx = = = =+ + + += = = = ) 1 1(lim, 1 sin lim 0 4.利用无穷小的性质利用无穷小的性质利用无穷小的性质利用无穷小的性质 (1)无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系; (2)无穷小与有界量的乘积仍是无穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小; (3)等价无穷小代换等价无穷小代换等价无穷小代换等价无穷小代换; 常用的等价无穷小常用的等价无穷小常用的等价无穷小常用的等价无穷小: 当当当当时时时时, 0x 1 2 sin, arcsin, tan, arctan, ln(1) , 1, 1 1cos,(1)1 2 n x xxxxxx xxxxex x xxx n + + 5.利用函数的连续性利用函数的连续性利用函数的连续性利用函数的连续性: 6.对于分段函数对于分段函数对于分段函数对于分段函数,在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来 ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) ) = = = = xfxf xxxx 00 limlim 确定极限是否存在确定极限是否存在确定极限是否存在确定极限是否存在. （二二二二）连续性的等价定义连续性的等价定义连续性的等价定义连续性的等价定义 函数函数函数函数在在在在处连续处连续处连续处连续: ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) );lim2 ;0lim. 1 0 = = = = = = = = xfxf y x ( ( ( ( ) ) ) ) 0 xxf 形式形式形式形式: 当当当当时时时时 恒有恒有恒有恒有 ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) ). , 0, 0. 3 ;lim. 2 0 0 0 0 = = = = xfxf xx xfxf xx （三三三三）间断点及其分类间断点及其分类间断点及其分类间断点及其分类 满足以下三条之一满足以下三条之一满足以下三条之一满足以下三条之一为为为为的间断点的间断点的间断点的间断点: （1）在在在在处没有定义处没有定义处没有定义处没有定义; （2）不存在不存在不存在不存在; ( ( ( ( ) ) ) )xf xx 0 lim ( ( ( ( ) ) ) )xfx0 0 x 按照在间断点处有无左右极限来分类按照在间断点处有无左右极限来分类按照在间断点处有无左右极限来分类按照在间断点处有无左右极限来分类: 第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点; 第二类包括无穷和振荡间断点等第二类包括无穷和振荡间断点等第二类包括无穷和振荡间断点等第二类包括无穷和振荡间断点等. ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) ) 0 0 3lim. xx fxfx xx 0 三 问题与思考 答:不正确.例如 而发散. 数列与的敛散性的关系如下 1.limlim, nn nn xaxa = = = = = = =是否正确是否正确是否正确是否正确？ ()() nn n 1, 11lim= 数列与的敛散性的关系如下: (1)若则 (2)若恒正或恒负,则与同敛散. (3)若则(以后常用). nn xx nn xx 0lim0lim= n n n n xx .limlimaxax n n n n = n x 答:不对. 在用商的极限法则时,分母的极限不能为零, 故当时,结论正确. 当时 可能存在(未必是1 ),也可能不存 1 1 lim lim,lim1 lim n nn n nn nn n x x xa xx + + + + + =2.2.2.2.若则若则若则若则，对吗对吗对吗对吗？ 0 0a 当时,可能存在(未必是1 ),也可能不存 在.例如 但不存在. 0=a ()() , 0 11 lim, 11 = + + = nn x n n n n () ()n n n n n n n n x x 11 11 . 1 limlim 1 1 + + + = + + 又如 . 1 1 limlim, 0 1 lim, 1 1 = + = = + n n x x nn x n n n nn n 3.无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系? 答:无穷大量是指在自变量的某一变化过程 中,对应的函数值的一种变化趋势,即当自变 量变化到某一阶段后,绝对值无限增大.而无 界函数是以否定有界函数来定义的,只要求 有一个自变量使满足即可( )0f有一个自变量使满足即可.( )0 1 Kxf ( )( ) 0 xxxf是当时的无穷大,则无界. 反之不然. ( )xf 例如在无界, 而当时, 不是无穷大. 取 故无界. 若取 ( )()+=,cosxxxf ( )xfx+ () ( ).22cos2 , 2 ,2, 0 1 1 Mkkkxf M kNkkxM = += 2Nkk+ 故无界. 若取 当时, 不是无穷大. ( ),0 2 2cos 2 2 , 2 2 Mkkxf Nkkx = + += += ( )xxf ( ) lim(),lim ( )0, ( ) lim( )0. f x a ag x g x f x = = = = = = = = = 4.4.4.4.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中，若若若若 且且且且 则对吗则对吗则对吗则对吗？ 答:对. 利用极限的四则运算法则 结论正确利用极限的四则运算法则,结论正确. 该结论经常用于求待定系数. 0 lim1,. + = x x ea a x 例如求 的值 0 lim()0,1. += x x eaa由条件故 lim( ) ( )(),lim ( ), lim( )0. f x g xa ag x f x = = = = = = = = = = = = 类似的结论还有类似的结论还有类似的结论还有类似的结论还有 且且且且 则则则则 21 221 1 1. 1 lim n n n aaa bbb + + ? ? 求求求求，| 1,| 1ab + ? ? 请注意利用求有理分式函数的极限公式 () () () 116 17 236 (1)lim 21 + + x xx x 6 17 3729 2131072 = 2 lim()1= x axb(2) 若lim()1 1 + n axb x (2) 若 求a,b的值。 6 4.limtan3sin() 6 x xx 5.lim x x xc xc + 4., 66 tx xt =解令 6 x 当时，0t ，则 00 31 sin1 limcot3 sinlimcos3 sin3 33 tt tt ttt tt =原式 2 2 22 2 22 cx x ccxx c x c c x cc cc 解 原式 . 22 2 22 1.=lim 1lim1= c x cc c xx cc e x cx c +=+ 5.解 原式 2 () (1)lim(1) 2.=lim (1) lim(1) x c x c c x c xc x c x c x cc e xx e c ec x x + = 解 原式 sin lim1= ? ? ? 1 lim(1)e+= ? ? 使用重要极限时使用重要极限时使用重要极限时使用重要极限时，请注意结构的一致性请注意结构的一致性请注意结构的一致性请注意结构的一致性，即即即即 （为无穷小)； （为无穷大) ? 1 lim(1)e += ) （为无穷小). 或 0 11 6.lim( sinsin ) + x xx xx 4 arctan x 22 0 arctan 2 7.lim sin x xx 00 11 6.lim sinlimsin0 11 xx xx xx =+=+ =解原式 其中第二个极限是第一个重要极限，而第一个极限利用 无穷小的性质，无穷小量乘以有界函数仍是无穷小. 解当时 22 44 xx 时, 7.0 x 解当时， 22 sin xx，arctan 22 xx 44 2222 00 arctan 1 22 limlim sin2 xx xx xxx x = 注注注注：利用利用利用利用“无穷小乘以有界量仍是无穷小量无穷小乘以有界量仍是无穷小量无穷小乘以有界量仍是无穷小量无穷小乘以有界量仍是无穷小量”求极限求极限求极限求极限 是常用的方法是常用的方法是常用的方法是常用的方法, 利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法利用等价无穷小代换求极限也是常用的方法, 注意掌握一些等价无穷小公式注意掌握一些等价无穷小公式注意掌握一些等价无穷小公式注意掌握一些等价无穷小公式。 0 22 8 ln()sin .lim cos x xx x + ln20 ln2 1 + =解原式 注注注注：利用利用利用利用“初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性”求极限求极限求极限求极限lim( )f x注注注注：利用利用利用利用初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性求极限求极限求极限求极限 注意注意注意注意x0必须是定义区间内的点才适用必须是定义区间内的点才适用必须是定义区间内的点才适用必须是定义区间内的点才适用. .0 lim( ) xx f x 求极限的思维过程求极限的思维过程求极限的思维过程求极限的思维过程: : : : 2.代入法代入法代入法代入法 1.幂指函数幂指函数幂指函数幂指函数 (1(1(1(1 未未未未定定定定式式式式) ) ) ) 第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限 1 0 lim(1 ). e +=+=+=+