高等数学积分学总结

高等数学中的积分学总结高等数学中的积分学总结 高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分） 、二重积分、三重 积分、曲线积分（对弧长、对坐标） 、曲面积分（对面积、对坐标）。 一、符号形式 1 ( ) b a If x dx； 2 ( , ) D If x y d； 3 ( , , )If x y z dV ； 4 ( , , ) C If x y z ds； 5 CC IF drPdxQdyRdz ； 6 ( , , )If x y z dS ； 7 IF ndSF dSPdydzQdzdxRdxdy 二、共同点 2.1 定义方法：划分微元求和取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值 三、不同点 类型 几何 背景 物理 背景 积分 区域 特殊被积 函数“1” 微元 应用点 定积分 面积 细杆的质量 区间 ba dx 质量 矩 质心 转动惯量 二重积分 体积 平面薄板的质量 平面区域 ( )S D d 三重积分 - 几何体的质量 空间区域 ( )V dV 第 I 型 曲线积分 - 弯曲杆件的质量 无向曲线 ( )L C ds 第 I 型 曲面积分 - 弯曲薄板的质量 曲面 (未定向) ( )S dS 第 II 型 曲线积分 - 变力做功 （或流量或通量） 有向曲线 - ds 功、流量、 环量、通量 第 II 型 曲面积分 - 流量（通量） 定向曲面 - dS 流量、通量 四、重要联系及公式 4.1 Newton-Leibniz 公式：( )( )( ) b a f x dxF bF a 4.2 Green 公式： 环量旋度形式： () CDD Q P xy D PdxQdyrotF kdF kd d 通量散度形式： () CDD Q P xy D PdyQdxF nddivFd d 4.3 Stokes 公式： ()()() C QQ RPRP yzzxxy PdxQdyRdzrotF ndSF ndS dydzdzdxdxdy 4.4 Gauss 公式： () Q PR xyz PdydzQdzdxRdxdyF ndSdivFdVFdV dV 五、基本计算方法 5.1 定积分 方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论： （1）对称性与奇偶性： 0 2( ),()( ) ( ) 0, ()( ) a a a f x dxfxf x f x dx fxf x （2）周期性： 0 ( )( ) a TT a f x dxf x d x （3）无界性：( ),( ),( ),( ) Abb Aaa f x dxf x dxf x dxf x dx 5.2 二重积分 2 ( , ) D If x y d，其中 D 为平面有界区域。 直 角 坐 标 系 面积微元 ddxdy 区 域 D 特点 任意 分类 X-型 Y-型 复杂 图形 略 略 略 不等 式 12 ( )( ),y xyy x axb 12 ( )( ),x yxxy cyd 分细 二次积分 2 1 ( ) ( ) ( , ) byx ayx dxf x y dy 2 1 ( ) ( ) ( , ) dxy cxy dyf x y dx 多个 X，Y 型之和 特殊方法 利用 D 的对称性和( , )f x y关于某个变量的奇偶性计算 极坐标系 cos sin xr yr （以先r 后的积 分次序为 例） 特点 被积函数中含有 22 xy项 面积微元 drdrd 区 域 D 特点 D 为圆域、环域或扇形域 分类 I 型 II 型 III 型 特征 极点在 D 内部 极点在 D 外部 极点在D边 界 不等 式 12, 0( )rr 12 12 , 0( )( )rrr 12 12 , ( )( )rrr 二次积分 2 1 ( ) 0 ( , ) r df rrdr 22 11 ( ) ( ) ( , ) r r df rrdr 5.3 三重积分 3 ( , , )If x y z dV ，其中为空间有界区域 坐标 直角( , , )x y z 柱坐标( , , )rz 球面坐标( , , ) 坐 标 关系 cos sin xr yr zz sin cos sin sin cos x y z 特 点 区 域 任意 坐标面的投影为 圆形、环形、 扇形区域 球体、半球体、 锥面与球面围成的立 体 函 数 任意 22 22 22 (, ) (, ) (, ) f xyz f xzy f yzx 被 积 函 数 含 有 222 xyz 微元 dVdxdydz dVrdrd dz 2 sindVd d d 积 分 次序 向坐标面投影或先 一后二或切条法 向坐标轴 投影或先 二后一或 切片法 向坐标面投影或先 一后二法或切条法 （zr ） （ ） 不 等 式组 12 ( , )( , ) ( , ) xy z x yzzx y x yD ( , ) z czd x yD 12 12 12 ( , )( , ) ( )( ) z rzz r rrr 12 12 12 ( , )( , ) ( )( ) 积 分 形式 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) xy zx y zx y D dxdyf x y z dz （切条法： xy zD） 222 111 ( )( , ) ( )( , ) ( , , ) rzr rz r drdrf rz dz （柱坐标） ( , , ) z d c D dzf x y z dxdy （切片法： z Dz） 222 111 ( )( , ) 2 ( )( , ) sin( , , )ddfd （球坐标） 5.4 曲线积分 类型 第 I 型 第 II 型（FPiQjRk） 形式 4 ( , , ) C If x y z ds 5 CC IF drPdxQdyRdz （功或沿着曲线方向的流量） 曲线方程 ( ),( ),( )xx tyy tzz t 或( )rr t 参数范围 t : t 微元 222 ( ( )( ( )( ( )dsx ty tz tdt 或( ) dr dt dsdtv t dt ., dyo drdxdz dtdtdtdt drt dsdtdt 积分形式 4 ( ( ), ( ), ( ) ( )If x ty t z tv t dt 5 ( )( )( )IPx tQy tRz t dt 5.5 曲面积分 类型 第 I 型 第 II 型（FPiQjRk） 形式 6 ( , , )If x y z dS 7 IF ndSF dS PdydzQdzdxRdxdy （流量或者通量） 曲面方程 : ( , , )g x y zc 是否定侧 未定侧 定侧（即选定法向量n的方向） 微元 g g p dSd g g p dSndsd ，其中n与的梯度 方向一致取“+” ，否则取“-” 其中：pi（往yoz面投影）或j（往zox面投影）或k（往xoy面投影） 积分形式 6| ( , , ) g g p D If x y zd 7| g g p D IFd 六、Green 公式 环量旋度形式： () CDD Q P xy D PdxQdyrotF kdF kd d 通量散度形式： () CDD Q P xy D PdyQdxF nddivFd d 大前提：曲线 C 分段光滑。 条件： 曲线 C 正向； 曲线 C 封闭； P、Q 在 C 及其内部具有一阶连续偏导数。 6.1 满足所有条件 直接使用 Green 公式的两种形式之一进行计算皆可，效果相同。 6.2 若仅不满足条件，则在C上满足 Green 公式的条件，在C上的技术结果 乘以（-1）即可。即有： () CDDC Q P xy D PdxQdyPdxQdyrotF kdF kd d 或 () CDDC Q P xy D PdxQdyPdyQdxF nddivFd d 6.3 若仅仅不满足条件，则可采用添加光滑曲线 1 C以便使用 Green 公式。 添加时候， 应注意： 1） 在 1 CC以及 1 CC内部应该满足 Green 公式的条件， 2） 1 C尽量简单且积分 1 C PdxQdy 容易计算。即有： 11 CC CC PdxQdyPdxQdyPdxQdy 上式等号右边的第一个积分可用 Green 公式计算。 6.4 若 P、Q 在 C 内部的仅有m 个点上不满足条件，则可采用添加封闭 光滑曲线 12 , m C CC。应注意： 1） 12 , m C CC完全包含于 C 内； 2） 12 , m C CC定向为顺时针方向； 3）每个 i C内部有且只有一个点不满足条件，1,2,im； 4）曲线积分 i C PdxQdy 容易计算，1,2,im。 则在曲线 12m CCCC及其内部满足 Green 公式的条件。于是 11mm CC CCCC PdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdy 七、Gauss 公式 () Q PR xyz PdydzQdzdxRdxdyF ndSdivFdVFdV dV 大前提：曲面分片光滑。 条件： 曲面取外法线方向； 曲面封闭； P、Q、R 在曲面及其内部具有一阶连续偏导数 7.1 满足 Gauss 公式的所有条件，则直接使用 Gauss 公式计算。 7.2 若仅有条件不满足，则可在 上使用 Gauss 公式。即 () Q PR xyz PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy F ndSdivFdVFdV dV 7.3 若仅有条件不满足，则可通过增加简单定向曲面 1 的方法，使得在 1 上 满 足Gauss公 式 的 条 件 。 添 加 的 曲 面 1 越 简 单 越 容 易 计 算 1 PdydzQdzdxRdxdy 越好。此时，有 11 PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 7.4 若 P、 Q、 R 在上有一阶连续偏导数， 但在内部只有m个点不满足条件， 即有奇点。 此时， 可以用小曲面挖掉奇点， 再用 Gauss 公式。 注意小曲面的选取， 要以在其上曲面积分易于计算为佳。 八、Stokes 公式 ()()() C QQ RPRP yzzxxy PdxQdyRdzrotF ndSF ndS dydzdzdxdxdy 使用 Stokes 公式计算时，注意曲线 C 的定向和曲面的定向应该满足右手法则。 九、统一化的积分定理 Green 公式及其三维空间的一般化形式 法向形式（通量散度形式） ： Green 公式： CD F ndsFd ； Gauss 公式：F ndSFdV 解释：Gauss 公式将平面上一个二维区域的 Green 公式的法向（流量、通量）形 式一般化到空间中一个三维区域的相应形式。在每一种情况下，F的散度F在区 域内部的积分都等于场F穿过边界面的总流量（通量） 。 切向形式（环量旋度形式） ： Green 公式： CD F drF kd Stokes 公式： CD F drF nd 解释：Stokes 公式将平面中一块区域上的 Green 公式的切向（旋度）形式一般化 成三维空间中一曲面的相应形式。每一种情况下，在曲面内部上F的旋度的法向分 量都等于F绕边界的环流量。 这里还可以进一步地讲， 所有这些结果都可以考虑为一个单一的基本定理理的不同 形式。回顾微积分学基本定理。它讲：若( )f x在 , a b上可微，则 ( )( ) b df dx a dxf bf a 若我们令在整个 , a b上( )Ff x i ，则 df dx F。 若在定义 , a b边界的单位外法向量场n为在点b是i，在点a是i，则 ( )( )( )( ) ()( )( )f bf af b i if a iiF b nF a n =F穿出区间 , a b边界的向外总流量 基本定理就可以写为： , ( )( ) a b F b nF a nFdx 于是， 微积分学基本定理、Green 公式的流量（通量）形式和 Gauss 公式都是讲 微分算子 与场F在一区域上的点乘运算的积分等于在该区域的边界上场的法向 分量的和。 Stokes 公式和 Green 公式的环量形式是讲当适当定向后， 在一个场上旋度 运算结果在法向分量的积分