第2章ppt修改后第12章ppt修改后王丕东2-6

2.6.1矩阵的秩的概念,2.6矩阵的秩,矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念,它反映了矩阵的一个数字特征,在以后讨论矩阵标准形的唯一性、线性方程组的解以及二次型的标准形等问题中将起重要作用.,定义2.6.1在矩阵A中,任取k行,k列(1kmin(m,n),由这些行列交叉处的k2个元素按原来的顺序构成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式.,例如对34阶矩阵,，,，,显然，在mn矩阵A中,共有k阶子式,取第一,三行与第二,四两列,就得到A的一个二阶子式,个.,，,，,定义2.6.2若在mn矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式(若存在的话)都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R(A)=r.,零矩阵的秩规定为零.,由行列式按行(或列)展开定理,如果矩阵A的所有的r+1阶子式都为零,那么A的所有高于r+1阶的子式(若存在的话)也必然为零.因此R(A)是A中不为零的子式的最高阶数.,，,，,由定义2.6.2可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R(A)r,若所有的r+1阶子式都为零,则R(A)r.,对于矩阵A=(aij)mn,显然有,设A为n阶方阵,当R(A)=n时,|A|0,则A是可逆的;反之,当A可逆时,|A|0,从而R(A)=n.于是有,定理2.6.1n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵.,，,，,对于n阶方阵A,若R(A)=n,则称A为满秩矩阵,若R(A)n,则称A为降秩矩阵.,由定理2.6.1,矩阵A可逆,非奇异,满秩是三个相互等价的概念.,例2.6.1求矩阵,的秩.,，,，,解A的左上角的二阶子式,因此R(A)2.,A的三阶子式共有4个,且,，,所以R(A)=2.,由矩阵秩的定义，显然阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数.,，,，,2.6.2用初等变换求矩阵的秩,当矩阵的阶数较高时，用定义求它的秩，一般情况下计算量较大.但一些特殊类型的矩阵，例如阶梯形矩阵，它的秩就很容易确定，正好等于它的非零行的行数.我们知道，任意一个矩阵总可以经过有限次初等变换化成阶梯形或标准形.那么，若初等变换不改变矩阵的秩,就可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形求出它的秩.,定理2.6.2初等变换不改变矩阵的秩.,，,，,证显然第一种和第二种初等变换都不改变矩阵的秩,我们仅就第三种初等变换来证明.,设A=(aij)mn,将矩阵A的第j行的k倍加到第i行上,得到矩阵B,，,，,设R(A)=r,要证R(B)=R(A).我们先证明R(B)R(A).,若B中没有阶数大于r的子式,显然R(B)R(A).,若B中有r+1阶子式D时,有以下三种可能：,(1)D中不含第i行元素,这时D就是矩阵A的一个r+1阶子式,从而D=0.,(2)D中同时含有i、j两行元素,即,，,，,，,，,第一个行列式为A中的r+1阶子式,所以等于零,第二个行列式有两行相同,所以也等于零,于是D=0.,（3）D中含第i行元素,但不含第j行元素,即,第一个行列式为A中的r+1阶子式,而第二个行列式则是由A中的某个含有第j行元素的r+1阶子式经过行对换后得到,所以它们都等于零,于是D=0.,由于B中所有高于r+1阶的子式均可由它的r+1阶子式表出,而它的所有r+1阶子式都等于零,这就证明了,同理,对B做第三种初等行变换得到A,也有,故,至于对A做第三种初等列变换的情形,证明方法与行的情形类似,这里从略.证毕.,例2.6.2求矩阵,的秩.,解由于,所以,由于矩阵经过初等变换不改变它的秩,因此,若两个矩阵等价,它们的秩相等;反之,若两个同型矩阵的秩相等,它们必有相同的等价标准形,由矩阵等价的对称性、传递性以及定理2.6.2,它们是互为等价的.于是,我们有,推论1两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是R(A)=R(B).,推论2设A为mn矩阵,P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵,则,证因为P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵,由定理2.5.4的推论3,它们分别可表示为有限个m阶和n阶初等矩阵的乘积,不妨设,则,这说明矩阵PA,AQ,PAQ分别是由矩阵A经过有限次初等行变换,有限次初等列变换以及有限次初等行变换和列变换得到的.由于初等变换不改变矩阵的秩,所以,定理2.5.2告诉我们,任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形,由矩阵等价的对称性和传递性以及定理2.6.2的推论1,它的标准形是唯一的,并且R(A)=r.,例2.6.3设,其中A为mn,矩阵,B为pq矩阵,且R(A)=r,R(B)=s,求R(G).,解若A,B均为标准形,显然R(G)=R(A)+R(B)=r+s.,在一般情形下,由定理2.5.4推论2,存在m阶可逆矩阵P1,n阶可逆矩阵Q1,p阶可逆矩阵P2,q阶可逆矩阵Q2,使得,对分块矩阵G作初等变换,由定理2.6.2,R(G)=r+s.,例2.6.4设A,B均为mn矩阵,证明R(A+B)R(A)+R(B).,证构造分块矩阵,并对其作初等变换,由例2.6.3及,注意到,所以,例2.6.5设A,B分别为mn和ns矩阵,证明(1)R(AB)minR(A),R(B);(2)R(A)+R(B)-nR(AB).证（1）设R(A)=r,那么，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得,于是,所以,证(2)构造分块矩阵,对其作初等变换,由