一元二次方程根与系数的关系(成都市东湖中学)

,根与系数关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,推导:,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的两根之和与两根之积。,1.已知一元二次方程的两根分别为，则：,2.已知一元二次方程的两根分别为，则：,3.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为_，m=_：,4.已知一元二次方程的两根分别为-2和1，则：p=_;q=_,1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,2、设x1、x2是方程利用根与系数的关系，求下列各式的值：,返回,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1x2，那么,返回,例1.不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。,运用根与系数的关系解题,二、典型例题,例题1：已知方程x22x1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）,解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：,2.方程的两根互为倒数，求k的值。,练习1,已知关于x的方程,当m=时,此方程的两根互为相反数.,当m=时,此方程的两根互为倒数.,1,1,分析:1.,2.,注意：=b2-4ac0,4,1,14,12,题,则：,应用：一求值,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,练习2,设的两个实数根为则:的值为()A.1B.1C.D.,A,以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:,二已知两根求作新的方程,题4.点p(m,n)既在反比例函数的图象上,又在一次函数的图象上,则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):,解:由已知得,即,mn=2m+n=2,所求一元二次方程为:,题5以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y23y-5=0B、y23y-5=0C、y23y5=0D、y23y5=0,B,分析:设原方程两根为则:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,4、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,5、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,6关于x的方程X-(2m+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等，则m=_,（7）一元二次方程x+5x+k=0的两实根之差是3，则k=,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,解得k1=9,k2=-3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积.(或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.,练习:1.以2和为根的一元二次方程（二次项系数为）为：,题6已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是。,2和-1,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2y=1,或,1y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:,求得,两数为2,三已知两个数的和与积，求两数,题7如果1是方程的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,四求方程中的待定系数,题8已知方程的两个实数根是且求k的值。,解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，0当k=-2时，0k=-2,解得：k=4或k=2,题9方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,设X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2=_X1X2=_，X12+X22=；(X1-X2)2=；,基础练习,另外几种常见的求值,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_。2、设X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2=_,X1X2=_，X12+X22=(X1+X2)2-_=_(X1-X2)2=(_)2-4X1X2=_3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,（还有其他解法吗？）,1.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-7,例题2：（1）若关于x的方程2x25xn0的一个根是2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,1.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为_，m=_：,2、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。,例2.已知方程的两根为、，且，求k的值。,例题,4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.,例6方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？,解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数两根之和m10,m1,且0m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数m26m5,两根之积2m11m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10且0,时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,一正根，一负根,0X1X20,两个正根,0X1X20X1