15.1贝塞尔函数--武汉大学数学物理方法

Wuhan University 武汉大学物理科学与技术学院 Methods in Mathematical Physics 第十五章 贝塞尔函数 Bessel Function Wuhan University 由第二篇第八章分离变量法有: ( ) ( ) =)(zZRu令 0=u 0=+uu ( )nBnAn nnn sincos0 2 +=+ ( )?0)( 2222 =+ RRnkRR )()(0 2 21 kedeczZZZ zkzk =+=+ ?)(0)()()()( 222 =+ xyxynxxyxxyx 0),()(, 2 =kxyRkx 问题的引入： Wuhan University 中心：柱坐标系中的特殊函数问题 目的：1.掌握Bessel方程的级数解，及常微 分方程正则奇点邻域的级数解法。 2.掌握Bessel函数的性质。 3.在柱坐标中u=0的解u=? 第十五章 贝塞尔函数 Bessel Function Wuhan University 15.1 Bessel函数 第十五章 贝塞尔函数 Bessel Function Wuhan University 附：二阶线性常微分方程的级数解法2附：二阶线性常微分方程的级数解法2 ( )( )( )( ) ( )( )*0=+ zWzqzWzpzW ( )( ) ( )( ) 是方程的正则奇点。称 不高于二阶的极点，则不高于一阶的极点、是且 之一或均不解析，和点其系数是它的奇点，即在若 0 0 00 z zqzpz zqzpzz 方程至少有形式为内的邻域在正则奇点,0 00 Rzzzz=设 ?)() 1 (0)()()()( 222 =+ xyxyxxyxxyx 15.1 Bessel函数 ， = + += 0 1 )( k k k xkcy = + += 0 2 ) 1)( k k k xkkcy Wuhan University 一、 Bessel方程的级数解 ?)() 1 (0)()()()( 222 =+ xyxyxxyxxyx = = + = 00 1 1 3 kk k k k k xcxcy 、令 = = + =+ 00 222 0)() 1 ( kk k k k k xcxck )0(0)( : 00 22 =ccx设 00) 1(: 11 221 =+ + ccx =+ + 0)(: 2 22 kk k cckx )3( )2( 2 kk c c k k + = , ) 1(22 0 2 + = c c0 )23(3 1 3 = + = c c , ) 1)(2(22 ) 1( 4 0 2 4 + = c c 0 5 =c 系数递推公式： 15.1 Bessel函数 Wuhan University 一、 Bessel方程的级数解 ?)() 1 (0)()()()( 222 =+ xyxyxxyxxyx = = + = 00 1 1 3 kk k k k k xcxcy 、令 , ) 1() 1)( !2 ) 1( 2 0 2 + = Lnnn c c n n n 0 12 = +n c ) 1(!2 ) 1() 1( 2 0 2 + + = nn c c n n n = + + + = 0 2 2 0 1 ) 1(!2 ) 1() 1( )( n n n n x nn c xy 类似可得、取,4 2 = = + + = 0 2 2 0 2 ) 1(!2 ) 1() 1( )( n n n n x nn c xy 15.1 Bessel函数 Wuhan University 15.1 Bessel函数二、解的敛散性 1、解的奇点少于或等于方程的奇点。 2、贝塞尔方程的奇点为：0， 中收敛。均在、 xxyxy0)(),(3 21 ( )( )( )( ) ( )( )*0=+ zWzqzWzpzW ) 1 (0)()()()( 222 =+ xyxxyxxyx t x 1 =令 ) 1 (0)() 1 ()()( 2 2 2 =+ ty t ty ttyt 时发散。当而中收敛在0)(,)( 21 = 0 1 0,)(xdtetx tx )()()1(xJxJ nn n = Wuhan University 15.1 Bessel函数 四、本征值问题 =+ =+ = )8(0)()( )7(0)()()()( 2222 a RR RnkRR = =+ )10(0)( )9(0)()()()( 1 2222 aR RnkRR 、 = =+ = )10(0 )9(0)( 222 kax y ynxyxyx 即： 是一振荡函数。)() 1 (xJ n L+= = = 4 2 0 22 2 0 ) 2 ( ) ! 2( 1 ) 2 (1) 2 ( ) !( ) 1( )( xxx k xJ k k k L+= + = = +3 0 12 1 ) 2 ( ! 2 ! 1 1 2 ) 2 ( )!1( ! ) 1( )( xxx kk xJ k k k Wuhan University 15.1 Bessel函数 四、本征值问题 是一振荡函数。)() 1 (xJ n L+= = = 4 2 0 22 2 0 ) 2 ( ) ! 2( 1 ) 2 (1) 2 ( ) !( ) 1( )( xxx k xJ k k k L+= + = = +3 0 12 1 ) 2 ( ! 2 ! 1 1 2 ) 2 ( )!1( ! ) 1( )( xxx kk xJ k k k Wuhan University 15.1 Bessel函数 四、本征值问题 是一振荡函数。)() 1 (xJ n L+= = = 4 2 0 22 2 0 ) 2 ( ) ! 2( 1 ) 2 (1) 2 ( ) !( ) 1( )( xxx k xJ k k k L+= + = = +3 0 12 1 ) 2 ( ! 2 ! 1 1 2 ) 2 ( )!1( ! ) 1( )( xxx kk xJ k k k Wuhan University = =+ )10(0)( )9(, 0)()()()( 1 2222 aR aRnkRR 、 轴有无穷个交点。与xxJ n )()2( n m n mn xmxJ=), 2 , 1(0)(L 称为第个零点。)(xJn m 四、本征值问题 = =+ = )10(0 )9(0)( 222 kax y ynxyxyx 即： , 4 . 2 0 1 x ; 5 . 5 0 2 x , 0 1 1 =x , 8 . 3 1 2 x 15.1 Bessel函数 Wuhan University = =+ )10(0)( )9(, 0)()()()( 1 2222 aR aRnkRR 、 的或本征值问题)10()9()10)(9()3( 四、本征值问题 本征值： L, 2 , 1,=m a x k n m n m 本征函数： L, 2 , 1),()(=m a x Jky n m nm = =+ = )10(0 )9(0)( 222 kax y ynxyxyx 即： 15.1 Bessel函数 Wuhan University 四、本征值问题 = =+ )12(0)( )11(, 0)()()()( 2 2222 aR aRnkRR 、 n m n mn xmxJ ), 2 , 1(0) (=L 称为第个零点。)(xJn m 本征值： L, 2 , 1, =m a x k n m n m 本征函数： L, 2 , 1), ()(=m a x JkR n m nm 15.1 Bessel函数 Wuhan University 五、小结 ) 1 (0)()()()(1 222 =+ xyxxyxxyx、 )4() 2 ( ) 1(! ) 1( )()( 0 2 1 = + + = k k k x kk xJxy )5() 2 ( ) 1(! ) 1( )()( 0 2 2 = + = k k k x kk xJxy )()()(xJdxJcxyc += )6()() 1()(:xJxJn n n n = 时当 :时当n 15.1 Bessel函数 Wuhan University 五、小结 = =+ )10(0)( )9(0)()()()( 2 2222 aR RnkRR 、 本征值： 本征函数： L, 2 , 1),()(=m a x JkR n m nm L, 2 , 1,=m a x k n m n m 称为第个零点。)(xJn m n m n mn xmxJ=), 2 , 1(0)(L L),(),(),(:)( 321 n n n n n n n mn kJkJkJkJ n阶贝塞尔函数系 15.1 Bessel函数 Wuhan University ( )( )( )( ) ( )( )*0=+ zWzqzWzpzW 方程至少有形式为内的邻域在正则奇点,0 00 Rzzzz 对于： 五、小结 ( )()() = = 0 001 1 k k k zz