1993年全国高考数学试题

一九九三年全国高考数学试题理科试题一选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 （ C ） （A） （B） （C） （D）2（2）函数的最小正周期是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是（A）450 （B）600 （C）900 （D）1200 （ C ）（4）当时，的值等于 （ D ）（A）1 （B）-1 （C）i （D）-i（5）直线bx+ay=ab(a0,b0，首项则_答：三解答题：本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。（25）（本小题满分8分）解不等式解：原不等式等价于所以原不等式的解集为（26）（本小题满分8分）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作L。（）判定直线A1C1和L的位置关系，并加以证明;（）若A1A=1，AB=4，BC=3，ABC=900，求顶点A1到直线L的距离。解：（）LA1C1证明如下：根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。 A1 C1 B1 A D E L C B由题设知直线A1C1=平面A1B1C1平面A1BC1，直线L=平面A1B1C1平面A1BC1，根据两平面平行的性质定理有LA1C1（）过点A1作A1EL于E，则A1E的长为点A1到L的距离。连接AE，由直棱柱的定义知A1A平面ABC直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。又L在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AEL由棱柱的定义知A1C1AC，又LA1C1，LAC作BDAC于D，则BD是RtABC斜边AC上的高，且BD=AE，从而在RtA1AE中，A1A=1，A1AE=900，故点A1到直线L的距离为（27）（本小题满分10分）在面积为1的PMN中，.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。 Y P M O N X 解：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴设所求的椭圆方程为分别记M、N、P点的坐标为（-c,0),(c,0)和(x0,y0)tg=tg(-N）=2由题设知解得在PMN中，MN=2c MN上的高为SPMN=故所求椭圆方程为（28）（本小题满分12分）设复数求。解：（29）（本小题满分10分）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、.证明：（）如果|2,|2,那么2|a|4+b且|b|4;（）如果2|a|4+b且|b|4,那么|2,|0,bc0（B）ab0,bc0（C）ab0 (D)ab0,bc0（ii)对而从（）知故（2）等价于.故对时有0.（25）（本小题满分10分）已知数列Sn为其前n项和，计算得观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。解：证明如下：（1）当n=1时，等式成立。（2）设n=k时等式成立，即由此可知，当n=k+1时等式也成立根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。（26）（本小题满分12分）已知：平面同垂直于平面，又同平行于直线。求证：（）; b Q A M B N P C（）.证：（）设在内任取一点P并于内作直线PMAB，PNAC同理又（）于上任取一点Q，过b与Q作一平面交于直线，交于直线.同理都是的交线，即都重合于（27）（本小题满分12分）在面积为1的PMN中，.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。 Y P M O N X 解：建立直角坐标系如图：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴设所求的椭圆方程为分别记M、N、P点的坐标为（-c,0),(c,0)和(x0,y0)tg=tg(-N）=2由题设知解得在PMN中，MN=2c MN上的高为SPMN=故所求椭圆方程为（28）（本小题满分12分）设复数求。解：新科目组“32”（文科）第卷（选择题共68分）一选择题：本题共17个小题;每小题4分，共68分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是 （ A ）（A） （B） （C） （D）（2）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为 （ C ）（A） （B） （D） （D）2（3）和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 （ B ）（A）3x+4y-5=0（B）3x+4y+5=0（C）-3x+4y-5=0（D）-3x+4y+5=0（4）的值为 （ B ）（A）-2 （B）0 （C）2 （D）4（5）在-1，1上是 （ A ）（A）增函数且是奇函数 （B）增函数且是偶函数（C）减函数且是奇函数 （D）减函数且是偶函数（6）的值为 （ D ）（A） （B） （C） （D）（7）集合，则（ C ）（A）M=N （B）MN （C）MN （D）MN=（8）的值是 （ A ）（A） （B） （C） （D）（9）圆上的点到直线的距离的最小值是（A）6 （B）4 （C）5 （D）1 （ B ）（10）若是任意实数，且，则 （ D ）（A） （B） （C） （D）（11）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为 （ C ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线（12）圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值是（A） （B） （C） （D） （ A ）（13）展开式中的系数为 （ D ）（A）-40 （B）10 （C）40 （D）45（14）直角梯形一个内角为450，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为，则旋转体的体积为 （ D ）（A） （B） （C） （D）（15）已知为各项都大于零的等比数列，公比，则 （ A ）（A） （B）（C）（D）的大小关系不能由已知条件确定（16）设有如下三个命题：甲：相交两直线都在平面内，并且都不在平面内。乙：之中至少有一条与相交。丙：与相交。当甲成立时 （ C ）（A）乙是丙的充分不必要的条件（B）乙是丙的必要而不充分的条件（C）乙是丙充分且必要的条件（D）乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件（17）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 （ B ）（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种第卷（非选择题共82分）二填空题：本大题共6小题;每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。（18）设，则_.答：（19）若双曲线没有公共点，则实数k的取值范围为_.答：（20）从1，2，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_种取法（用数字作答）.答：100（21）设，则=_答：1（22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为_元.答：1760（23）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将DAE和CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合，记A和B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_度。 D C D C P A B E E 答：30三解答题：本大题共5小题;共58分.解答应写出文字说明、演算步骤。（24）（本小题满分10分）求的值。解：（25）（本小题满分12分）已知（）求的定义域;（）判断的奇偶性并予以证明;（）求使0的x取值范围.解：（）由对数函数的定义域知如果如果故的定义域为（-1，1）（）为奇函数（）（i)对而从（）知故（1）等价于又等价于故对时有0（ii)对而从（）知故（2）等价于.故对时有0.（26）（本小题满分12分）已知数列Sn为其前n项和，计算得观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。解：证明如下：（1）当n=1时，等式成立。（2）设n=k时等式成立，即由此可知，当n=k+1时等式也成立根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。（27）（本小题满分12分）已知：平面同垂直于平面，又同平行于直线。求证：（）;（）.证：（）设在内任取一点P并于内作直线PMAB，PNAC b Q A M B N P C同理又（）于上任取一点Q，过b与Q作一平面交于直线，交于直线.同理都是的交线，即都重合于（28）（本小题满分1