2007年江苏高考数学试题

第 1 页 共 16 页 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（江苏卷） （江苏卷） 参考公式参考公式： ： n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：( )(1) kkn k nn P kC pp = 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰 有一项有一项 是符合题目要求的。 是符合题目要求的。 1下列函数中，周期为 2 的是（ ） Asin 2 x y = Bsin2yx= Ccos 4 x y = Dcos4yx= 2已知全集UZ=， 2 1,0,1,2, |ABx xx= =，则 U AC B为（ ） A 1,2 B 1,0 C0,1 D1,2 3在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为 20 xy=，则它的离心率为（） A5 B 5 2 C3 D2 4已知两条直线,m n，两个平面, ，给出下面四个命题：（） / ,mn mn /,/mnmn / ,/mn mn /,/ ,mn mn 其中正确命题的序号是 A B C D 5函数( )sin3cos (,0)f xxx x= 的单调递增区间是（） A 5 , 6 B 5 , 66 C,0 3 D,0 6 6 设函数( )f x定义在实数集上， 它的图像关于直线1x =对称， 且当1x 时，( )31 x f x =， 则有（） A 132 ( )( )( ) 323 fff B 231 ( )( )( ) 323 fff 第 2 页 共 16 页 C 213 ( )( )( ) 332 fff D 321 ( )( )( ) 233 fff 7若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2)xaa xaxa x=+，则 2 a的值为（） A3 B6 C9 D12 8设 2 ( )lg() 1 f xa x =+ 是奇函数，则使( )0f x ，对于任意实数x都有 ( )0f x ，则 (1) (0) f f 的最小值为（） A3 B 5 2 C2 D 3 2 10在平面直角坐标系xOy，已知平面区域( , )|1,Ax yxy=+且0,0xy，则平面 区域(,)|( , )Bxy xyx yA=+的面积为（） A2 B1 C 1 2 D 1 4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 。 。 11若 13 cos(),cos() 55 +=，则tantan= . 12某校开设 9 门课程供学生选修，其中, ,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修 4 门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 13已知函数 3 ( )128f xxx=+在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则 Mm= . 14正三棱锥PABC高为 2，侧棱与底面所成角为45?，则点A到侧面PBC的距离是 . 15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点( 4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆 22 1 2516 xy +=上，则 sinsin sin AC B + = . 16某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t= 第 3 页 共 16 页 时，点A与钟面上标12的点B重合，将,A B两点的距离()d cm表示成( )t s的函数，则d= 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后 面第 2 位） （1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分） （2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分） （3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4 分） 第 4 页 共 16 页 18（本小题满分 12 分）如图，已知 1111 ABCDABC D是 棱长为 3 的正方体，点E在 1 AA上，点F在 1 CC上，且 1 1AEFC=， （1）求证： 1 , ,E B F D四点共面；（4 分） （2）若点G在BC上， 2 3 BG =，点M在 1 BB上， GMBF，垂足为H，求证：EM面 11 BCC B；（4 分） （3）用表示截面 1 EBFD和面 11 BCC B所成锐二面角大小，求tan。（4 分） 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 第 5 页 共 16 页 19、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中， 过y轴正方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx= 相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB 和直线: l yc= 交于,P Q， （1）若2OA OB= ? ? ? ? ，求c的值；（5 分） （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切 线；（5 分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分） B A x y O C Q l P 第 6 页 共 16 页 20（本小题满分 16 分）已知 n a是等差数列， n b是公比为q的等比数列， 11221 ,ab aba=，记 n S为数列 n b的前n项和， （1）若( , km bam k=是大于2的正整数)，求证： 11 (1) k Sma =；（4 分） （2）若 3 ( i ba i=是某一正整数)，求证：q是整数，且数列 n b中每一项都是数列 n a中 的项；（8 分） （3） 是否存在这样的正数q， 使等比数列 n b中有三项成等差数列？若存在， 写出一个q的 值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分） 第 7 页 共 16 页 21（本小题满分 16 分）已知, , ,a b c d是不全为0的实数，函数 2 ( )f xbxcxd=+， 32 ( )g xaxbxcxd=+， 方 程( )0f x=有 实 根 ， 且( )0f x=的 实 数 根 都 是 ( ( )0g f x=的根，反之，( ( )0g f x=的实数根都是( )0f x=的根， （1）求d的值；（3 分） （2）若0a =，求c的取值范围；（6 分） （3）若1,(1)0af=，求c的取值范围。（7 分） 第 8 页 共 16 页 参考答案 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有 一项 是符合题目要求的。 1下列函数中，周期为 2 的是（D） Asin 2 x y= Bsin2yx= Ccos 4 x y= Dcos4yx= 解析：利用公式 2 =T 即可得到答案 D。 2已知全集UZ=， 2 1,0,1,2, |ABx xx= =，则 U AC B为（A） A 1,2 B 1,0 C0,1 D1,2 解析：求 B=1 , 0 可求 U AC B= 1,2 选 A 3在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为 20 xy=，则它的离心率为（A） A5 B 5 2 C3 D2 解析：由ab b a 2 2 1 =得 abac5 22 =+= ，5= a c e 选 A 4已知两条直线,m n，两个平面, ，给出下面四个命题：（C） / ,mn mn /,/mnmn / ,/mn mn /,/ ,mn mn 其中正确命题的序号是 A B C D 解析： 用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断 正确， 中 m,n 可以平行或异面 中 n 可以在内 选 C 5函数( )sin3cos (,0)f xxx x= 的单调递增区间是（D） A 5 , 6 B 5 , 66 C,0 3 D,0 6 解析：) 3 sin(2)( =xxf 因 3 , 3 4 3 x 故 3 , 2 1 3 x 第 9 页 共 16 页 得0, 6 1 x 选 D 6 设函数( )f x定义在实数集上， 它的图像关于直线1x =对称， 且当1x 时，( )31 x f x =， 则有（B） A 132 ( )( )( ) 323 fff B 231 ( )( )( ) 323 fff C 213 ( )( )( ) 332 fff D 321 ( )( )( ) 233 fff 解析：利用对称性，三点到直线1x =距离越远越大 7若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2)xaa xaxa x=+，则 2 a的值为（B） A3 B6 C9 D12 解析： 33 )2(2+=xx 62 2 32 = Ca 选 B 8设 2 ( )lg() 1 f xa x =+ 是奇函数，则使( )0f x 的x的取值范围是（A） A( 1,0) B(0,1) C(,0) D(,0)(1,)+ 解析：由10)0(=af得 0 1 1 lg)( + = x x xf得 + 1 1 1 0 1 1 x x x x 01=+=bbaxxf对 于 任 意 实 数x都 有( )0f x得 04b 04b 0 22 cacaca 2111 2 1 )0( ) 1 ( =+ + = + = b ac b ca b cba f f 当取 a=c 时取等号。 选 C 10在平面直角坐标系xOy，已知平面区域( , )|1,Ax yxy=+且0,0xy，则平面 第 10 页 共 16 页 区域(,)|( , )Bxy xyx yA=+的面积为（B） A2 B1 C 1 2 D 1 4 解析： 令 + = += 0 0 1 vu vu u yxv yxu 作出区域是等腰直角三角形， 可求出面积112 2 1 =s 选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 。 11若 13 cos(),cos() 55 +=，.则tantan= 1/2 . 解析： 5 1 sinsincoscos)cos(=+ 5 3 sinsincoscos)cos(=+= 求出 = = 5 1 sinsin 5 2 coscos 2 1 coscos sinsin tantan= 12某校开设 9 门课程供学生选修，其中, ,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答） 解析：按照选一门或一门都不选分类：75 4 6 0 3 3 6 1 3 =+CCCC 13已知函数 3 ( )128f xxx=+在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则 Mm= 32 . 解析：)4(3123)( 22 =xxxf 递减，递增在，在223223)(xf 8)2(,24)2(=fNfM 得 Mm= 32 14正三棱锥PABC高为 2，侧棱与底面所成角为45?，则点A到侧面PBC的距离是 第 11 页 共 16 页 6 5 5 . 解析：设 P 在 底面 ABC 上的射影为 O，则 PO=2，且 O 是三角形 ABC 的中心，设底面边长为 a,则322 2 3 3 2 =aa 设侧棱为 b 则22=b 斜高5=h 。由面积法求 A到侧面PBC的距离 5 56 5 232 2 3 = =h 15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点( 4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆 1 925 22 =+ yx 上，则 sinsin sin AC B + = 5/4 . 解析：利用椭圆定义和正弦定理 得 1052=+ca b=2*4=8 sinsin sin AC B + = 4 5 8 10 = + b ca 16某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t= 时，点A与钟面上标12的点B重合，将,A B两点的距离()d cm表示成( )t s的函数，则d = 10sin 60 t ，其中0,60t。 解析： 30 2 60 tt AOB = 60 sin10 2 sin52 tAOB d = = 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后 面第 2 位） （1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分） （2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分） （3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4 分） 第 12 页 共 16 页 解：（1） 23 2 5 44161 1100.05 5525125 pC = （2） 4 1 5 44 1110.00640.99 55 PC = = （3） 3 1 4 444 10.02 555 PC = 18（本小题满分 12 分）如图，已知 1111 ABCDABC D是 棱长为 3 的正方体，点E在 1 AA上，点F在 1 CC上，且 1 1AEFC=， （1）求证： 1 , ,E B F D四点共面；（4 分） （2）若点G在BC上， 2 3 BG =，点M在 1 BB上， GMBF，垂足为H，求证：EM 面 11 BCC B；（4 分） （3）用表示截面 1 EBFD和面 11 BCC B所成锐二面角大小，求tan。（4 分） 解：（1）证明：在 DD1上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN，EN，显然四边形 CFD1N 是平行四边 形，所以 D1F/CN，同理四边形 DNEA 是平行四边形，所以 EN/AD，且 EN=AD，又 BC/AD，且 AD=BC，所以 EN/BC，EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以 CN/BE，所以 D1F/BE，所以 1 , ,E B F D四点共面。 （2）因为GMBF所以BCFMBG，所以 MBBG BCCF =，即 2 3 32 MB =，所以 MB=1， 因为 AE=1，所以四边形 ABME 是矩形，所以 EMBB1又平面 ABB1A1平面 BCC1B1 ，且 EM 在平面 ABB1A1内，所以EM 面 11 BCC B （3）EM 面 11 BCC B，所以EM BF，EM MH，GMBF，所以MHE 就是截面 1 EBFD和面 11 BCC B所成锐二面角的平面角，EMH=90，所以tan ME MH =，ME=AB=3， BCFMHB，所以 3：MH=BF：1，BF= 22 2313+=，所以 MH= 3 13 ，所以 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 第 13 页 共 16 页 tan ME MH =13 19、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中， 过y轴正方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx= 相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB 和直线: l yc= 交于,P Q， （1）若2OA OB= ? ? ? ? ，求c的值；（5 分） （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切 线；（5 分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分） 解：（1）设过 C 点的直线为ykxc=+，所以() 2 0 xkxc c=+，即 2 0 xkxc=，设 A()() 1122 ,x yB xy，OA ? ? =() 11 ,x y，() 22 ,OBxy= ? ? ，因为2OA OB= ? ? ? ? ，所以 1212 2x xy y+=，即()() 1212 2x xkxckxc+=，() 22 121212 2x xk x xkc xxc+= 所以 22 2ck ckc kc +=i，即 2 20,cc=所以()21cc= 舍去 （ 2 ） 设 过Q的 切 线 为() 111 yykxx=， / 2yx=， 所 以 11 2kx=， 即 22 11111 222yx xxyx xx=+=， 它 与yc= 的 交 点 为M 1 1 , 22 xc c x ， 又 2 1212 , 2222 xxyyk k Pc + =+ ，所以 Q, 2 k c ，因为 12 x xc= ,所以 2 1 c x x =， 所以 M 12 , 222 xxk cc += ,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。 （3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q, 2 k c ，因为 PQx轴，所以, 2 P k Py 因为 12 22 xxk+ =，所以 P 为 AB 的中点。 20（本小题满分 16 分）已知 n a是等差数列， n b是公比为q的等比数列， B A x y O C Q l P 第 14 页 共 16 页 11221 ,ab aba=，记 n S为数列 n b的前n项和， （1）若( , km bam k=是大于2的正整数)，求证： 11 (1) k Sma =；（4 分） （2）若 3 ( i ba i=是某一正整数)，求证：q是整数，且数列 n b中每一项都是数列 n a中 的项；（8 分） （3） 是否存在这样的正数q， 使等比数列 n b中有三项成等差数列？若存在， 写出一个q的 值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分） 解：设 n a的公差为d，由 11221 ,ab aba=，知0,1dq，() 1 1daq=（ 1 0a ） （1）因为 km ba=，所以()() 1 111 11 k a qamaq =+， ()()() 1 11121 k qmqmmq = +=+， 所以 ()()() () 1 11 11 111 1 1 k k aqammq Sma qq = （2）()() 2 3111 ,11 i ba qaaiaq=+，由 3i ba=， 所以()()()() 22 111 ,120,qiqqiqi= +=解得，1q =或2qi= ， 但1q ， 所以2qi= ，因为i是正整数，所以2i 是整数，即q是整数，设数列 n b中任意一项 为 () 1 1 n n ba qnN + =，设数列 n a中的某一项 m a( ) mN + =()() 11 11amaq+ 现在只要证明存在正整数m，使得 nm ba=，即在方程()() 1 111 11 n a qamaq =+中m 有正整数解即可，()() 1 122 1 111 ,11 1 n nn q qmqmqqq q = + = + ?，所以 22 2 n mqqq =+?，若1i =，则1q = ，那么 2111,222nn bba bba =，当3i 时，因为 1122 ,ab ab=，只要考虑3n 的情况，因为 3i ba=，所以3i ，因此q是正 整数，所以m是正整数，因此数列 n b中任意一项为 () 1 1 n n ba qnN + =与数列 n a的第 22 2 n qqq +?项相等，从而结论成立。 （3）设数列 n b中有三项 () , , mnp bb bmnp m n pN + 成等差数列，则有 第 15 页 共 16 页 2 111 111 , nmp a qa qa q =+设(),nmx pnyx yN + =，所以 2 1 y x q q =+，令 1,2xy=， 则 3 210,qq+ =()( ) 2 110qqq+=， 因为1q ， 所以 2 10qq+ =， 所 以() 51 2 q =舍去负值， 即 存 在 51 2 q =使