2015 第7章 波浪理论

第七章第七章 波浪理论波浪理论第七章第七章 波浪理论波浪理论 （ Chapter 7. Chapter 7. Water Wave TheoryWater Wave Theory） 本章内容：本章内容：本章内容：本章内容：讨论重力场中具有自由面的水波讨论重力场中具有自由面的水波（水表面波水表面波讨论重力场中具有自由面的水波讨论重力场中具有自由面的水波（水表面波水表面波 或重力波或重力波或重力波或重力波）运动运动运动运动，重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描或重力波或重力波或重力波或重力波）运动运动运动运动，重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描重点讲述线性小振幅简谐波的数学描 述述、运动特性和能量概念运动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础为研究非线性波打下基础。述述、运动特性和能量概念运动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础为研究非线性波打下基础。 采用方法采用方法采用方法采用方法-速度势方法，即根据边界条件和初始条件 求解拉普拉斯方程，求出波浪运动的速度势，进而解出 速度势方法，即根据边界条件和初始条件 求解拉普拉斯方程，求出波浪运动的速度势，进而解出 波面方程式和速度分布与压力分布，并建立波动参数之 间的关系式。 波面方程式和速度分布与压力分布，并建立波动参数之 间的关系式。 波动的物理本质：波动的物理本质：波动的物理本质：波动的物理本质： 恢复力与惯性力的动态平衡。恢复力与惯性力的动态平衡。恢复力与惯性力的动态平衡。恢复力与惯性力的动态平衡。 波浪要素和波浪分类波浪要素和波浪分类 波浪波浪 波浪运动的有关概念波浪运动的有关概念 微幅波方程微幅波方程质点轨迹和压力分布质点轨迹和压力分布 波浪波浪 微幅波方程微幅波方程、质点轨迹和压力分布质点轨迹和压力分布 波群与波群速波群与波群速 船波船波 波能传递与兴波阻力波能传递与兴波阻力 课堂提问课堂提问：“无风不起浪无风不起浪”“无风三尺浪无风三尺浪” 船舶与海洋工程中船舶与海洋工程中： 课堂提问课堂提问：无风不起浪无风不起浪无风三尺浪无风三尺浪 船舶与海洋工程中船舶与海洋工程中： 船舶摇摆和拍击，船舶稳性，兴波阻力。船舶摇摆和拍击，船舶稳性，兴波阻力。 沿岸工程中：波浪对港口、防波堤的作用。沿岸工程中：波浪对港口、防波堤的作用。 离岸工程中：钻井平台，海工建筑、海底油管等离岸工程中：钻井平台，海工建筑、海底油管等 水波起制约作用的物理因素是重力，粘性水波起制约作用的物理因素是重力，粘性 力可略而不计，因此可用理想流体的势流理论力可略而不计，因此可用理想流体的势流理论 来研究波浪运动的规律来研究波浪运动的规律来研究波浪运动的规律来研究波浪运动的规律。 波浪分类波浪分类 7.1 波浪要素和波浪分类7.1 波浪要素和波浪分类 干扰与恢复力干扰与恢复力 海域水深海域水深运动状态运动状态破碎与否破碎与否波浪形态波浪形态 深水波深水波 振荡波振荡波未破碎波未破碎波 日月运动、风日月运动、风 干扰力：干扰力：规则波规则波 随机波随机波 有限水深波有限水深波 浅水波浅水波 立波立波 推进波推进波 破碎波破碎波 破后波破后波 暴、地震、风暴、地震、风 恢复力：恢复力： 随机波随机波 （不规则波、 方向谱） （不规则波、 方向谱） 混合混合 浅水波浅水波 立波立波破后波破后波 柯氏力、重力、 表面张力 柯氏力、重力、 表面张力 混合混合 浪浪 周期： 潮汐 1224hours 周期： 潮汐 1224hours 内波内波 2 i2 i 10h10h 界限：界限： h/L 0.05-0.5h/L 0.05-0.5 微小振幅波微小振幅波线性微分方程线性微分方程 波浪理论研究方法波浪理论研究方法 内波内波 2 2m mi in n 10h10hrs 海啸 10min1hour 风暴潮 5min rs 海啸 10min1hour 风暴潮 5min 风浪风浪、涌浪涌浪 130 s 130 s 微小振幅波微小振幅波-线性微分方程线性微分方程 有限振幅波-非线性微分方程有限振幅波-非线性微分方程 风浪风浪涌浪涌浪 船行波 1.53s 表面张力波 船行波 1.53s 表面张力波 0.1s0.1s 波浪分类波浪分类 工程中常见的波工程中常见的波：工程中常见的波工程中常见的波：工程中常见的波工程中常见的波：工程中常见的波工程中常见的波： 声波声波(sound wave): 微弱压缩波微弱压缩波 激波激波(shock wave): 有限强度压缩波有限强度压缩波激波激波() 有限强度压缩波有限强度压缩波 水波水波(water wave): 水表面波（水表面波（g） 内波内波(internal wave)：密度分层密度分层 海波海波：海波海波： 内波内波(internal wave)：密度分层密度分层 毛细波毛细波(capillary wave): 表面张力表面张力(ripple) 海波海波：海波海波： 潮汐波潮汐波潮汐波潮汐波(tidal(tidalday) )：太阳和月亮引力：太阳和月亮引力：太阳和月亮引力：太阳和月亮引力 地震津波地震津波地震津波地震津波(tsunami(tsunami) )：海底摇荡海底摇荡：海底摇荡海底摇荡 5 .0 hour1min10地震津波地震津波地震津波地震津波(tsunami(tsunami) )：海底摇荡海底摇荡：海底摇荡海底摇荡 涌浪涌浪涌浪涌浪( (groundground swellswell) : : 暴风停止后的余留暴风停止后的余留暴风停止后的余留暴风停止后的余留 hour1min10 风波风波风波风波( (windwind wavewave) )：阵：阵风作用风作用：阵：阵风作用风作用 sec205 应用应用应用应用(Applications)(Applications)( pp)( pp) 波浪与结构物的相互作用波浪与结构物的相互作用波浪与结构物的相互作用波浪与结构物的相互作用 海洋工程（海洋工程（Ocean Engineering) 海上钻井平台海上钻井平台海上钻井平台海上钻井平台、海工结构物海工结构物海工结构物海工结构物、海底管线海底管线海底管线海底管线、岸堤坝和港口设计岸堤坝和港口设计；岸堤坝和港口设计岸堤坝和港口设计；海上钻井平台海上钻井平台海上钻井平台海上钻井平台、海工结构物海工结构物海工结构物海工结构物、海底管线海底管线海底管线海底管线、岸堤坝和港口设计岸堤坝和港口设计；岸堤坝和港口设计岸堤坝和港口设计； 海浪发电海浪发电。海浪发电海浪发电。 船舶工程船舶工程(Naval Architecture)船舶工程船舶工程(Naval Architecture) 兴波理论兴波理论（兴波理论兴波理论（wavewave making,making,）、兴波阻力兴波阻力（）、兴波阻力兴波阻力（wavewave resistanceresistance） 船舶摇摆船舶摇摆船舶摇摆船舶摇摆（seakeepingseakeeping）、抨击抨击抨击抨击（slammingslamming）、武器出入水武器出入水武器出入水武器出入水 船舶摇摆船舶摇摆船舶摇摆船舶摇摆（seakeepingseakeeping）、抨击抨击抨击抨击（slammingslamming）、武器出入水武器出入水武器出入水武器出入水 船舶操纵船舶操纵（船舶操纵船舶操纵（shipship manoeuveringmanoeuvering） 水利工程水利工程(Hydraulic Engineering)水利工程水利工程(Hydraulic Engineering) 水坝设计水坝设计、明渠流动明渠流动、河流动力学河流动力学（川流川流、水跃水跃）水坝设计水坝设计、明渠流动明渠流动、河流动力学河流动力学（川流川流、水跃水跃） 波浪要素波浪要素波浪要素波浪要素 空间尺度参数空间尺度参数 波高H：相邻的波峰顶和波谷底间的垂直距离； 振幅a：波浪中心值波峰顶的垂直距离； 波高H：相邻的波峰顶和波谷底间的垂直距离； 振幅a：波浪中心值波峰顶的垂直距离； 波面 ：波面至静水面的垂直位移； 波长L： 两至海底的垂直距离 波面 ：波面至静水面的垂直位移； 波长L： 两至海底的垂直距离 波浪基本参数波浪基本参数 时间尺度参数时间尺度参数 波周期T：波浪推进一个波长所需时间；波周期T：波浪推进一个波长所需时间； 波频率波频率f：f：单位时间波动次数单位时间波动次数 f=1f=1/ /T T 波浪基本参数波浪基本参数 复合参数复合参数 波频率波频率单位时间波动次数单位时间波动次数/ / 波速c：波浪传播速度 c=L/T波速c：波浪传播速度 c=L/T 波动圆频率波动圆频率=2=2/T/T波动圆频率波动圆频率： =2=2/T/T 波数k： k= 2波数k： k= 2 /L 波陡 ： =H/L /L 波陡 ： =H/L 相对水深：h/L 或 kh Ursell数： 相对水深：h/L 或 kh Ursell数： 23 /UHLh 7.2 波浪运动控制方程波浪运动控制方程 基本假定基本假定基本假定基本假定： 理想不可压流体重力场理想不可压流体重力场 运动无旋运动无旋 不计表面张力不计表面张力 微振幅波微振幅波 求解思路求解思路求解思路求解思路 HL 0),( 2 tzyx 求解思路求解思路求解思路求解思路 o z z = (x,y,t) a 2 1 () p vgz f t v o x h(x,y) () 2v gz f t t 压力场压力场压力场压力场 描述规则波浪运动的理论描述规则波浪运动的理论 微幅波理论(Airy ,1845) 微幅波理论(Airy ,1845) 有限振幅波理论有限振幅波理论有限振幅波理论有限振幅波理论 ( Stokes,1847)( Stokes,1847) 椭圆余弦波理论椭圆余弦波理论 非线性波非线性波 椭圆余弦波理论椭圆余弦波理论 孤立波孤立波 非线性波非线性波 0 2 波浪控制方程波浪控制方程 一、波浪运动的描述方法和控制方程一、波浪运动的描述方法和控制方程 波浪传播现象波浪传播现象：衰减很小的启发衰减很小的启发 0 2、控制方程2、控制方程 波浪传播现象波浪传播现象：衰减很小的启发衰减很小的启发 基本假定：基本假定： 流体是均质和不可压的，密度为常数 流体是无粘性的理想流体 流体是均质和不可压的，密度为常数 流体是无粘性的理想流体 水流运动是无旋的水流运动是无旋的 水流运动是无旋的水流运动是无旋的 自由水面的压力是均匀的且为常数 自由水面的压力是均匀的且为常数 流体上的质量力仅为重力流体上的质量力仅为重力表面力和科氏力可忽略表面力和科氏力可忽略 流体上的质量力仅为重力流体上的质量力仅为重力，表面力和科氏力可忽略表面力和科氏力可忽略 海底水平不透水 海底水平不透水 波浪属于平面运动波浪属于平面运动即在即在xz平面内作二维运动平面内作二维运动 波浪属于平面运动波浪属于平面运动，即在即在xz平面内作二维运动平面内作二维运动 08:51:06 7.3 微幅波理论 小振幅波，小振幅波，H/L为小量为小量 波动问题线性化波动问题线性化 假设波动的振幅假设波动的振幅a远a远小于波长小于波长L L或水深或水深h，h，微幅波微幅波理论。理论。假设波动的振幅假设波动的振幅小于波长小于波长 或水深或水深微幅波微幅波 首先由艾利1845年提出，首先由艾利1845年提出，艾利波理论。艾利波理论。 非线性项与线性项之比是小量非线性项与线性项之比是小量，可略去可略去，线性波理论线性波理论。非线性项与线性项之比是小量非线性项与线性项之比是小量，可略去可略去，线性波理论线性波理论。 08:51:06 正正x方向以波速方向以波速c向前传播的二维运动的自由振荡推进向前传播的二维运动的自由振荡推进正正x方向以波速方向以波速c向前传播的二维运动的自由振荡推进向前传播的二维运动的自由振荡推进 波，波，x轴位于静水面上，轴位于静水面上，z轴竖直向上为正。波浪在轴竖直向上为正。波浪在xz平平 面内运动面内运动。面内运动面内运动。 08:51:06 7.3.1 微振幅波的基本方程和边界条件微振幅波的基本方程和边界条件 1速度势要满足的基本方程速度势要满足的基本方程1、速度势要满足的基本方程速度势要满足的基本方程： 0 22 2、边界条件边界条件： 0 22 zx 2、边界条件边界条件： 1）底部边界条件：）底部边界条件： 2）自由表面上自由表面上（）相对压力相对压力0 处在，hz zn vn 0 z 2）自由表面上自由表面上（），相对压力相对压力p=0。 (a)动力学边界条件动力学边界条件 z 由拉格朗日积分公式由拉格朗日积分公式 0 2 1 2 gz p v t 为速度的二次方程，为了线性化，假设流体质点运为速度的二次方程，为了线性化，假设流体质点运 动速度的模的平方趋于零动速度的模的平方趋于零即条件即条件微振幅波微振幅波动速度的模的平方趋于零动速度的模的平方趋于零，即条件即条件微振幅波微振幅波。 所以，上述拉格朗日公式变成所以，上述拉格朗日公式变成 z tg 1 近似让这个边界条件在近似让这个边界条件在z=0的水平面上满足，即：的水平面上满足，即： 综上所述可总结如下综上所述可总结如下 综上所述可总结如下综上所述可总结如下： 0 1 z tg （b）运动学边界条件运动学边界条件（b）运动学边界条件运动学边界条件： 自由表面上任一点自由表面上任一点z方向速度分量为方向速度分量为 ),(txz dt dx xtdt d vz 因为微振幅波的坡度也是小量，即，所以有因为微振幅波的坡度也是小量，即，所以有 0 x 2 11 。即。即 t vz 2 11 tgtgtz vz 微幅波理论 2 控制方程控制方程 边界条件边界条件 0 2 d 边界条件边界条件 0 -zd z 2 2 2 0 0gz tz 1 0 tz z 0 ()() z gt x z tx ct z ( , , )( -, )x z tx ct z （7-1） 微振幅波动方程的求解用分离变量法微振幅波动方程的求解用分离变量法另另 7.3.2 波速、波长、周期波速、波长、周期 微振幅波动方程的求解用分离变量法微振幅波动方程的求解用分离变量法，另另 )sin()(tkxzf 带入拉普拉斯方程带入拉普拉斯方程，有有 )()(f 带入拉普拉斯方程带入拉普拉斯方程，有有 0 2 2 2 fk dz fd kzkz BeAezf )( 通解为通解为 )sin(tkxBeAe kzkz 所以所以 )sin(tkxBeAek z khkh kzkz 0)sin(tkxBeAek z khkh hz 最后一式为零，必须第一个括弧为零，即最后一式为零，必须第一个括弧为零，即 令令则则所以所以 khkh BeAe A khkh AA 令令，则则，所以所以 khkh BeAe A 2 khkh e A Be A A 2 , 2 A (a) )sin()(cosh )sin( 2 )()( tkxhzkA tkxee A hzkhzk 由由（7 1）式的第三式可得波面方程为式的第三式可得波面方程为 )sin()(cosh tkxhzkA 由由（7-1）式的第三式可得波面方程为式的第三式可得波面方程为 (b) cos)(cosh 11 0 0 tkxhzkA gtg z z (b) )cos(cosh tkxkh g A 令，则令，则(a)、(b)两式可写两式可写为波振幅）（akh A a cosh ( )( ) 成：成： g )i ()(hkhk ag （7-2、3） )( )sin()(cosh cosh k tkxhzk kh ag )cos(tkxa 因是微振幅波因是微振幅波在在z=0的水平面上满足自由表面运动学边界条件的水平面上满足自由表面运动学边界条件因是微振幅波因是微振幅波，在在z=0的水平面上满足自由表面运动学边界条件的水平面上满足自由表面运动学边界条件 （7 4） 2 2 1 tgz （7-4） 将（将（7-2）式代入有）式代入有 tgz （7-5、6） )i ( )(cosh1 )sin()(sinh cosh 2 tk hzk tkxhzk kh agk z )sin( cosh )( 2 tkx kh a tg 将式（将式（7-5、6）代回式（）代回式（7-4）得色散方程：）得色散方程： （7-7） 另外另外（7 8） khgk tanh 2 kC L C 2 / 2 另外另外（7-8） 将将（7 8）代入代入（7 7）得得 kC kkT C / 将将（7-8）代入代入（7-7），得得 （7 9） h L gL kh k g C 2 tanh 2 tanh 2 （7-9） 将将C=L/T代入式（代入式（7-23），可得），可得 （7 10） Lk2 T2 2 （7-10） h L gT T 2 tanh 2 2 不同周期（波长）的波在传播过程中由于波速不同将逐 渐分散开来，这种现象称为波浪的弥散现象，因此上述方 不同周期（波长）的波在传播过程中由于波速不同将逐 渐分散开来，这种现象称为波浪的弥散现象，因此上述方 程被称为波浪弥散程被称为波浪弥散（色散色散）方程方程程被称为波浪弥散程被称为波浪弥散（色散色散）方程方程。 z z =(x,y,t) a 水波按水深进行分类水波按水深进行分类 o x h(x,y) 波的类型水深h的近似波速公式h L 2 tanh 深水波1 L gLgT C h L 2 深水波1 22 gg C gL2 2 中等水深波 kh g h L gL C tan 2 tanh 2 220 L h L L h2 tanh 浅水波 20 0 L h L h kh 2 ghC 20 7.3.3 流体质点的轨迹运动流体质点的轨迹运动 tkxhzk kh ag )sin()(cosh cosh )(coshhzka khgk tanh 2 )sin( sinh )(cosh tkx kh hzk k a dxhzk)(cosh 流体质点作简谐运动流体质点作简谐运动（不传播不传播） dzhzk dt dx tkx kh hzk a x vx )(sinh )cos( sinh )(cosh 流体质点作简谐运动流体质点作简谐运动（不传播不传播） 质点速度随深度以指数递减。质点速度随深度以指数递减。 dt dz tkx kh hzk a z vz)sin( sinh )(sinh z x =L/2 波传播方 向 )0( z z 波传播方 向 x x=LO )0( z x O )sin( sinh )(cosh 0 0 0 0 tkx kh hzk adtvxx t x )cos( sinh )(sinh sinh 0 0 0 0 tkx kh hzk adtvzz kh t z 为长半轴 )(cosh 0 hzka sinh 0 kh 为短半轴 为半轴 i h )(sinh sinh 0 kh hzka kh 1 2 2 0 2 2 0 zzxx ),( 00 zx 椭圆中心椭圆中心 sinhkh 1）当当h给定给定，z0（平均水平面以下为负平均水平面以下为负）减小时减小时，、都减小都减小，即即 1、有限深1、有限深 1）当当h给定给定，z0（平均水平面以下为负平均水平面以下为负）减小时减小时，、都减小都减小，即即 椭圆越小越扁。椭圆越小越扁。 2）当）当 z0=-h时，时， =0，水质点沿底部作水平往复运动。，水质点沿底部作水平往复运动。 2 2、浅水波浅水波 L h 2 2、浅水波浅水波 长轴一定,短轴线性减小长轴一定,短轴线性减小 20 h kh a cosh ()1 sinh ()() k zh k zhk zh h hza kh )( ()() sinhkhkh z=L/2/ 浅水波浅水波 有限深水波 深水波 有限深水波 深水波 1h 11 202 h L 1 2 h L 20L 202L 2L 3、深水波深水波 0 , 2 kh eh L 0 , 2 kh eh L kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a )( h L kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a )( h L kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a )( h L kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a ) 2 ( h kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a ) 2 ( h kz khkh khkzkhkz ae ee eeee a ) 2 ( h 1）深水波中流体质点沿圆周轨迹运动，半径为）深水波中流体质点沿圆周轨迹运动，半径为 ）随水深增加随水深增加（ 减小减小）轨迹圆半径减小轨迹圆半径减小 ee kz er a eeee 2）随水深增加随水深增加（z减小减小），轨迹圆半径减小轨迹圆半径减小。 z=L/2 浅水波浅水波 有限深水波 深水波 有限深水波 深水波 1h11h 1h 1 20 h L 11 202 h L 1 2 h L 无限深水波无限深水波无限深水波无限深水波(deep water wave )(deep water wave )：浅水波浅水波浅水波浅水波（shallow water waveshallow water wave ）：）：）：）： h e sin() kz ag kxt 1,1 ha Lh 无限深水波无限深水波无限深水波无限深水波(deep water wave )(deep water wave )：浅水波浅水波浅水波浅水波（shallow water wave shallow water wave ）：）：）：）： 非非 2 2g gk L ggL 2 0 h kh L 22 gk h cgh 色散色散波波 色色 海洋中的潮汐波与河流中的海洋中的潮汐波与河流中的 水跃水跃（水库泻水水库泻水）均属于长波均属于长波， 1.25 2 22 0 8 ggL cL k L TL 波波 散波散波 水跃水跃（水库泻水水库泻水）均属于长波均属于长波， 这时流体质点运动的垂向速度与 水平速度相比是个小量。 这时流体质点运动的垂向速度与 水平速度相比是个小量。 0.8TL g 波越长，则跑得越快，周期越长波越长，则跑得越快，周期越长 深水波传播速度与波长、周期的变化关系：深水波传播速度与波长、周期的变化关系： 这组数据表明： 波长增加，周期增加，传播速度增加。波长增加，周期增加，传播速度增加。 在风的海域在风的海域其它海区的波浪传播到风海域其它海区的波浪传播到风海域在在无无风的海域风的海域，其它海区的波浪传播到其它海区的波浪传播到无无风海域风海域 形成涌浪，这就是形成涌浪，这就是无风三尺浪无风三尺浪的原因。的原因。 29 31 p 7.3.4 波压强分布波压强分布 gz t p hk)(h 拉格朗日积分公式拉格朗日积分公式2 / 2 v忽略忽略 ag gztkxa kh hzkgp )cos( cosh )(cosh )cos( )sin()(cosh cosh tkxa tkxhzk kh ag z kh hzk p cosh )(cosh hzk k )(cosh )cos(tkxa 压力反应系数压力反应系数 khcosh kh kp cosh 压力反应系数压力反应系数 p p p kz 式中第二项是静水压力；第一 项是因流体质点做运动存在垂 式中第二项是静水压力；第一 项是因流体质点做运动存在垂 直方向的加速度和因之而引起直方向的加速度和因之而引起直方向的加速度和因之而引起直方向的加速度和因之而引起 的惯性力而产生的修正值，可 正可负，是相位而定。 的惯性力而产生的修正值，可 正可负，是相位而定。 p p p kz 压力分析压力分析 1）z=0时，压力分布于静水压力分布规律相符时，压力分布于静水压力分布规律相符 2）z= h时时（对应海底对应海底） p k p , 1 h p k p , 1 1cosh khkh ee kh 2）z=-h时时（对应海底对应海底） khkh p cosh , cosh 1 2 coshkh 当当0时（波峰下），底部压力小于静压力。时（波峰下），底部压力小于静压力。 coshkh cosh hh kh 34 ccc d d d 1 a) d 11 b) d 1 c) d a) 20 L b) 202 L c) 2 L 1 p K cosh () cosh p k zd K kd kz p Ke 35 行进波净波压力分布示意图行进波净波压力分布示意图 应用应用应用应用 d p gK p gK 压力式波浪仪压力式波浪仪压力式波浪仪压力式波浪仪 36 例题：例题：在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期T在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期T 8 s8 s，最大压力最大压力80000 N/m280000 N/m2（包括静水压力包括静水压力，但不包括大气压但不包括大气压8 8 s s，最大压力最大压力8000080000 N/m2N/m2（包括静水压力包括静水压力，但不包括大气压但不包括大气压 力），最小压力70000N/m2，问当地水深、波高是多少?力），最小压力70000N/m2，问当地水深、波高是多少? ch k zdH cos 2 z ch k zd H pgzgzgkxt tch kd 在海底在海底Zd(1/)dhkd在海底在海底Z=-d (1/) h pgdgchkd , 2/H max (/2)(1/) h ppgdg Hchkd 波峰通过时波峰通过时， （1） , 2/H 波峰通过时波峰通过时， , 2/H min (/2)(1/) h ppgdg Hchkd 波谷通过时，波谷通过时， （2） （1）式）式+（2）式：可得水深：）式：可得水深： maxmin 7.653 2 pp d g (m) 37 g （1）式）式-（2）式，可得）式，可得： maxmin (1/) pp H gchkd (3) 由由 2 2gTd Lth 迭代求解得迭代求解得L=63 70(m) K=0 0986 由由 2 Lth L 迭代求解得迭代求解得L=63.70(m),K=0.0986, 代入（代入（3）式，得波高）式，得波高H=1.325 (m) 38 7.3.5 波能量波能量 （一一）波浪的势能波浪的势能 mgh （一一）波浪的势能波浪的势能 dx mgh aa p dE ()a dx g 2 a 2 a adx g 2222 () 22 aa gdxgdx 2 22 (2) LLL pp ga EdEaadxgdx 22 000 () 22 pp daadxgdx 39 （一） 波浪的势能（一） 波浪的势能 2 00 1 2 LL p Ega dxgdx 222 00 1 cos()cos () 2 LL gakxt dxgakxt dx 22 00 111 cos()cos2() 222 LL gakxt dxgakxtdx 222 000 111 cos()cos2() 422 LLL gakxt dxgadxgakxt dx 0 0 LgHLgaE 22 11 0 0 LgHLgaE p 164 40 （二） 波浪的动能（二） 波浪的动能 1 dx 22 1 2 kxz dEdxdz uu 2 1 mv 微幅波近似微幅波近似 11 2 00 2222 00 11 22 LL kxzkxz d Euu dxdzEuu dxdz 111 LgHLgadxdzgkeaE L kz k 2 0 2 0 22 16 1 4 1 2 1 0 cos()cos() kzkz x gakH uekxtekxt T 41 0 sin()sin() kzkz z gakH uekxtekxt T （三三）总能量总能量（三三）总能量总能量 2 1 EEgH L 1 16 pk EEgH L LgHEEE kp 2 8 1 8 42 7 7- -4 4 波群与群速度波群与群速度7 7- -4 4 波群与群速度波群与群速度（wave group & group velocity)wave group & group velocity) 10 20 cos() cos( ) Akxt Ak xt 20 120 cos()cos( ) Akxtk xt kkkk kk 0 2coscos 2222 kkkk Axtxt ,kk 0 2A coscos() 22 kk xtkxt 22 7 7- -4 4 波群与群速度波群与群速度7 7- -4 4 波群与群速度波群与群速度（wave group & group velocity)wave group & group velocity) kk 0 2A coscos() 22 kk xtkxt 1、正弦前进波负责调制合成波的波长与周期。 合成波的波长为，周期为，波速为 、正弦前进波负责调制合成波的波长与周期。 合成波的波长为，周期为，波速为 sin()kxt k/22/ /Ck 2、余弦前进波负责调制合成波列的振幅，、余弦前进波负责调制合成波列的振幅， 其波长为其波长为周期为周期为传播速度传播速度 cos 22 kk xt ) /(4kk4/() 其波长为其波长为，周期为周期为，传播速度传播速度 为。为。 ) /(4kk 4/() ()/()/ g Ckkddk 3、由于，所以振幅调谐波具有较合成波列大得多、由于，所以振幅调谐波具有较合成波列大得多 的波长周期的波长周期振幅谐波的传播速度振幅谐波的传播速度与合成波列的传与合成波列的传 ,kk 的波长的波长和和周期周期。振幅振幅调调谐波的传播速度谐波的传播速度与合成波列的传与合成波列的传 播速度是不相同的。播速度是不相同的。 /ddk / k 振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。 合成波列称为合成波列称为波群波群（wave group) 包络线将合成波分成一个个波群。包络线将合成波分成一个个波群。 2 合成波列称为合成波列称为波群波群（gp) 2 群波的长度为：群波的长度为： 2 k 2 k 振幅调制波的传播速度正好是这一群群波的前进速度，成为振幅调制波的传播速度正好是这一群群波的前进速度，成为 群速度群速度合成波列有两个速度合成波列有两个速度相速度相速度C和和群速度群速度 C 群速度群速度。合成波列有两个速度合成波列有两个速度：相速度相速度C和和群速度群速度。 g C 合成波列以相对速度合成波列以相对速度(C-Cg)进入振幅调制波的节点进入振幅调制波的节点, 振幅振幅合成波列以相对速度合成波列以相对速度(C Cg)进入振幅调制波的节点进入振幅调制波的节点, 振幅振幅 从零逐渐加大到从零逐渐加大到2a,又逐渐减小到零。又逐渐减小到零。 k cg 2 cos2 tkx a z c 振幅调制波以群速度Cg传播 k 2 k 2 x 对色散方程求导对色散方程求导 2 2tanh cosh gkh dgkhdk kh 2 tanhgkkh tanh g Ckh cosh kh Ck g d C dk 2 1 2sinh 2 Ckh kh 2 tanh 2cosh ggkh kh kh 2 tanh1 2sinh 2 gkh kh kh () 202 LL h 波群的波长波群的波长、周期和波速周期和波速: ) /(4kk 4/() 对于一个以波群速对于一个以波群速前进的观察者来说前进的观察者来说能观察到在包络线内各有一组波浪能观察到在包络线内各有一组波浪 波群的波长波群的波长、周期和波速周期和波速 4/() 2 /1 2sinh 2 g Ckh Cddk kh c 对于一个以波群速对于一个以波群速前进的观察者来说前进的观察者来说，能观察到在包络线内各有一组波浪能观察到在包络线内各有一组波浪， 以相对速度前进，而且振幅是在不断变化， 包络线波内部的波形都相同，因此波浪能量传播的速度将等于波群速。 ， 以相对速度前进，而且振幅是在不断变化， 包络线波内部的波形都相同，因此波浪能量传播的速度将等于波群速。 g c g cc 1 22 g gc c k 无限深水波：无限深水波： 2 gk tkx g cghc 浅水波：浅水波：kgh k cg 2 cos2 tkx a z c 从深水波到浅水波，波群速从小于单 个波速到等于单个波速。可以想象对 从深水波到浅水波，波群速从小于单 个波速到等于单个波速。可以想象对 于深水波于深水波，个别波从波群尾部进入波个别波从波群尾部进入波 k 2 k 2 x 于深水波于深水波，个别波从波群尾部进入波个别波从波群尾部进入波 群，随之振幅变大又再变小，最后穿 出该波群到另一波群中。 群，随之振幅变大又再变小，最后穿 出该波群到另一波群中。 kk 7-5 Kelvin波系7-5 Kelvin波系船波船波 当水上物体（例如：船只）或水下物体（例如：当水上物体（例如：船只）或水下物体（例如： 潜艇）运动时，在水面上会出现型水波，这种波通 常称为船行波 潜艇）运动时，在水面上会出现型水波，这种波通 常称为船行波 船波船波运动压力点源的兴波，不同方运动压力点源的兴波，不同方 向波叠加向波叠加 KelvinKelvin计算了以等速计算了以等速计算了以等速计算了以等速U U前进的压力点的兴波情况，前进的压力点的兴波情况，前进的压力点的兴波情况，前进的压力点的兴波情况， 横波横波 1928 压力点兴波图形压力点兴波图形压力点兴波图形压力点兴波图形波峰略弯曲的波峰略弯曲的波峰略弯曲的波峰略弯曲的横波系横波系、散波系散波系横波系横波系、散波系散波系。 散波散波 54.44 U O 横波波长横波波长： U 2 2 横波波长横波波长： 船波限于顶角为的扇形区船波限于顶角为的扇形区 域内域内（K l i 角角）。 g 82192 0 0 域内域内（Kelvin角角）。 8219 0 7-5 Kelvin波系波系船波船波 U 2）当艘船舶在水中航行时当艘船舶在水中航行时船船2）当当一一艘船舶在水中航行时艘船舶在水中航行时，船船 首及船尾处分别形成首及船尾处分别形成前驻点前驻点和和 后驻点后驻点即首尾各有即首尾各有一一个个后驻点后驻点。即首尾各有个即首尾各有个 Kelvin波系，如图所示。两波波系，如图所示。两波 系系互互相干扰相干扰，形成了形成了整整个船所个船所系相干扰系相干扰形成了个船所形成了个船所 受阻力，如图所示。设计船舶 时，应使在设计船速时船舶处 受阻力，如图所示。设计船舶 时，应使在设计船速时船舶处 于兴波阻力系数于兴波阻力系数“谷点谷点”的位的位于兴波阻力系数于兴波阻力系数“谷点谷点”的位的位 置，达到兴波的有利干扰。置，达到兴波的有利干扰。 7 7- -6 6 波能的转移及兴波阻力波能的转移及兴波阻力7 7- -6 6 波能的转移及兴波阻力波能的转移及兴波阻力 前进波的能量前进波的能量 22 11 pk EEgH Lga L 22 11 164 pk gg z 22 11 82 pk EEEgH Lga L o x B C A B D E h D E 波能传递波能传递波能传递波能传递 z C A 单位时间波转移能量压力对流体作的功。 一个周期内压力所作的功： 单位时间波转移能量压力对流体作的功。 一个周期内压力所作的功：dtpvdzW x h T 0 0 o x B C A h p u x h 0 )( )(cosh )i ( )(cosh k hzkkag k hzkag D E p )cos( cosh )(cos )sin( cosh )(cos tkx kh g x vtkx kh g x gzp )cos( h )(cosh tkx kh hzk ag t 00 2 0 12 ()(1) 22h2 TT x ckh Wdz pv dtdzpgzdtga T tkh t gp coshkht 00 22sh2 hh txkh 2 0 12 (1) Wckh Wga单位时间内的平均功单位时间内的平均功： 0 E cEc 0 (1) 22sh2 Wga Tkh c 单位时间内的平均功单位时间内的平均功： 能量转移的速度等于波的群速度。能量转移的速度等于波的群速度。 无限水深进行波无限水深进行波：，能量转移速度为波速的一半能量转移速度为波速的一半。 0gg cEc T 2 c cg 无限水深进行波无限水深进行波：，能量转移速度为波速的一半能量转移速度为波速的一半。 水波运动是流体动能与势能之间的平水波运动是流体动能与势能之间的平 衡