2015第十五届“中环杯”七年级数学决赛B试题(pdf版)VIP

第第 1515 届中环杯决赛试题解析（七年级届中环杯决赛试题解析（七年级 B B 卷）卷） 一、填空题一、填空题（本大题共（本大题共 1010 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 6060 分）分）： 1. 计算： 32 1130.1251.5 13 16 11 1240.75 93 _. 【答案】99 【解答】 32 1130.1251.5 13 16 11 1240.75 93 2 11313 0.1253.375 13 16 113 4 94 121.75 119 161699 4 44 9 2. 方程 117221 3 311339 xxx 的解为_. 【答案】30 x 【解答】直接观察出结果 3. 有理数, ,a b c使得1 abc abc ，则 32abc abc 的最大值为_. 【答案】4 【解答】利用1 abc abc ，我们知道, ,a b c两正一负或者三负。如果, ,a b c三负，那么 32 6 abc abc ，取到最小值；如果, ,a b c两正一负，为了使得 32abc abc 最大，则 取, a b正，c负，此时 32 3214 abc abc 4. 2014201420142014 5 1512201415 1512201425 1512201435 151220144除以 25 的 余数为_. 【答案】24 【解答】令 2014 5 151220145k，则 2014201420142014 5 1512201415 1512201425 1512201435 151220144 51 5253 54kkkk 这个多项式展开后除了一次项以及常数项以外，别的都肯定是 25 的倍数了，一次 项为51 2 3 1 241 3 42 3 4250kk ，显然也是 25 的倍数，而常数项为 1 2 3 424 ，所以答案为 24 5. 如图，四边形ABCD中， 1 3 AEAD， 1 3 CFBC，其中BE与AF相交于点G，CE与DF 相交于点H，若四边形EGFH的面积为 40。则ABG与DCH的面积和为_. H G F E A B C D 【答案】40 【解答】如下左图所示， 1 1 3 13 3 BAEBAD BAEDCFABCD DCFDCB SS SSS SS 。如下右图所示， 2 21 3 233 3 CDECAD CDEABFABCDAFCEABCD ABFABC SS SSSSS SS 。至此，我们推出 BAEDCFAFCE SSS 。考虑到 BAEDCFGAEHFC AFCEEGFHGAEHFC SSSSS SSSS 阴 ，所以40 EGFH SS 阴 H G F E A B C D H G F E A B C D 6. 已知11, 11xy ，若 1 2 2 xyxy，记xy的最大值和最小值分别为M、m，则 Mm_. 【答案】3 【解答】由 1 2 2 xyxy得 11 0 22 xy ，所以 1 2 x 或 1 2 y （1）若 1 2 x ， maxmin 31 , 22 xyxy （2）若 1 2 y ， maxmin 13 , 22 xyxy 综上所述， 33 , 22 Mm ，所以3Mm 7. 能使得2256 n 为完全平方数的正整数n的值为_. 【答案】11 【解答】由于 8 225622 nn （1）当8n，通过枚举，发现不存在这样的正整数； （2）当8n时， 888 225622221 nnn ，考虑到 8 2已经是完全平方数，所以 8 21 n 也必须为完全平方数。令 828 21211 nn kkk 。考虑到8n，所以 8 2n肯定是偶数，从而推出 12 1 12 a b k ab k 。两个等式相减得 2221 ba b 。如果 1ab，则21 a b 是大于 1 的奇数，显然不可能是 2 的因数，从而推出 222 1 21 1 b a b a b ，所以 83 222211 nab n 8. 如图，在ABC中，取BC上一点M，延长MA至点D，作DE/AB与CB延长线交于 点E，作DF/AC与BC延长线交于点F，过点A作GH/BC。若凹四边形DBAC面 积为 12 平方厘米，且 2.5 2.5 BMBE CMCF ，则梯形GEFH的面积为_. H G FE M A BC D 【答案】54 【解答】如下图所示，考虑到DE/AB，所以 EBADBA SS 。容易知道AGEB为平行 四边形，所以2 AGEBEBA SS。根据题意，2.52.5 ABMABE BMBESS ，所以 22.54.54.5 AGEMAGEBABMEBAEBAEBADBA SSSSSSS 。同理，4.5 AHFMDCA SS，所以 4.54.54.54.54.5 1254 GEFHAGEMAHFMDBADCADBADCADBAC SSSSSSSS H G FEM A BC D 9. 已知 2222 1122331010 11+223310101540aaaaaaaa， 则 3333 12310 aaaa的最大值为_. 【答案】3025 【解答】由于 11 22 1010 112 224 101020 aa aa aa ，所以 2222 1122331010 222 2222 11+22331010 2420 212101540 aaaaaaaa 为了取到等号，则 1 2 10 11 22 1010 a a a ，所以 3333 12310 aaaa的最大值为 2 3333 1 1010 123103025 2 10. 一串正整数 1234 ,a a a a与另一串正整数 1234 ,b b b b满足下面的性质 （1） 1234 120aaaa； （2） 1234 120bbbb； （3） 3124 1234 aaaa bbbb ； 满足条件的两串数字 1234 ,a a a a与 1234 ,b b b b有_种不同的安排 【答案】5353 【解答】（1）我们先对 1 1 1 a b 的情况进行分析，此时相当于 22 33 44 ab ab ab ，这种的数字串 有 4 20 4845C种； （2）接下来对 1 1 1 a b 的情况进行分析，考虑到 3124 1234 aaaa bbbb ，后面的三个分数相 当于对 1 1 a b 的分子分母同时乘以一个数，比如 2468 36912 。由于 411 2045bbb，所以 1 1 a b 的分数值可以是 1 2 、 1 3 、 2 3 、 1 4 、 3 4 、 1 5 、 2 5 、 3 5 、 4 5 。 对于 1 2 来说， 1234 ,b b b b可以从 2、4、20 中取四个，有 4 10 210C种； 对于 1 3 和 2 3 来说， 1234 ,b b b b可以从 3、6、18 中取四个，有 4 6 22 1530C种； 对于 1 4 和 3 4 来说， 1234 ,b b b b可以从 4、8、20 中取四个，有 4 5 22 510C种； 对于 1 5 、 2 5 、 3 5 、 4 5 来说， 1234 ,b b b b可以从 5、10、15、20 中取四个，有 4 4 44 14C 种； 所以，对于 1 1 1 a b 的情况，一共有21030 104254种 （3）对于 1 1 1 a b 的情况，与 1 1 1 a b 的情况完全对称，前面分析过 1 3 ，那么这里就有 3 1 ，毕竟此时要求 411 2045aaa，所以也有254种 综上所述，一共有4845254 25353 二二、动手动脑、动手动脑（本大题共（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 1010 分，共分，共 4040 分）分）： 11. 如下图所示， 12 ll，90BAD，95BCD，1290 ，求：34 4 3 12 l1 A B C D l2 【答案】85 【解答】 90 175 95 BAD BD BCD ，容易证明 13 24 B D ，所以 1234175 。考虑到1290 ，所以3485 12. 已知 2 382011 31 xx M x ，则使得M为整数的自然数x有几个？ 【答案】4 【解答】容易知道 2 313 31201438201120142 19 53 33 31313131 xxxxx Mxx xxxx ，当 2 1953 31x 为整数时，M为整数，所以31|2 19 53x。考虑到312 mod3x ，可能 的情况有312,53,2 19,19 53x ，有 4 个解 13. 若 11000 11000 a b ，并且22 ab 与33 ab 都是 5 的倍数，求：这样的有序数对, a b有多少 对 【答案】250000 【解答】容易发现 41 42 43 44 22 mod5 24 mod5 0 23 mod5 21 mod5 k k k k k 、 41 42 43 44 33 mod5 34 mod5 0 32 mod5 31 mod5 k k k k k ，为了使得 5|22 5|33 ab ab ，则,41,43a bkk、42,44kk、43,41kk、44,42kk，也 就是说，无论a取哪个数，与其对应的b有10004250个，所以答案为 1000 250250000 14. n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成下面两个数中的一个： （1）这个数依次加上与它相邻的两个数后所得的和； （2）这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差； 例如： 1+2+5=85 43 2 8 5 43 2 1 1 2 5= 65 43 2 6 5 43 2 1 （1）能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由 1007 20152014 0 11 （2）能否通过若干次操作完成下图中的变换？ 请说明理由 42 22 0 1 2014 214 2 14 （3）能否通过若干次操作完成下图中的变换？ 请说明理由 9 75 3 1 5 73 2 1 【答案】（1）可以，如下图所示；（2）不能；（3）不能； 【解答】（1） 2015 1007 20142014 1007 1006 1007 10061 1006 0