2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛试题及答案

高二数学竞赛试题参考答案高二数学竞赛试题参考答案 1D2D3B4B5.B6.C7A8A9A10B11D12. C 13.1,61415 37 5 161618000 17解：解：(1)(1) 因为因为 sinsin tan coscos AB C AB ，即，即 sinsinsin coscoscos CAB CAB ， 所以所以sincossincoscossincossinCACBCACB， 即即sincoscossincossinsincosCACACBCB， 得得sin()sin()CABC. .2.2 分分 所以所以CABC, ,或或()CABC( (不成立不成立).). 即即2CAB, , 得得 3 C ，所以，所以. . 2 3 BA . 4 4 分分 又因为又因为 1 sin()cos 2 BAC，则，则 6 BA ，或，或 5 6 BA （舍去）（舍去） 得得 5 , 412 AB . 6 6 分分 (2)(2) 162 sin33 28 ABC SacBac ， 又又 sinsin ac AC , , 即即 23 22 ac ，. 8 8 分分 得得2 2,2 3.ac. 1010 分分 （1 1）由已知由已知 6 B ， 22 20aabb结合正弦定理得：结合正弦定理得： 2 2sinsin10AA ，于是，于是sin1A或或 1 sin 2 A （舍（舍） 因为因为0A，所以，所以 2 A ， 3 C （2 2）由题意及由题意及余弦定理余弦定理可知可知 22 196abab， 由由（1 1） 22 20aabb得得20abab即即2ab， 联立解得联立解得2 7b ，4 7a 所以，所以， 1 sin14 3 2 ABC SabC . . 18 （1 1）. . ，是以是以为首项，为首项，2 2 为公比的等比数列为公比的等比数列. . ，即，即. . 6 6 分分 （2 2）证明：证明： 1 1 2121211 212 21 12(21)2 kkk n kkk n a a ， . . 1212 分分 19（1 1）根据频率分布直方图可得根据频率分布直方图可得0.01 0.020.040.0751x ，解得，解得0.06x . .2.2 分分 （2 2）用分层抽样的方法用分层抽样的方法，从从 100100 名志愿者中选取名志愿者中选取 1010 名名，则其中年龄则其中年龄“低于低于 3535 岁岁”的人有的人有 6 6 名名，“年龄不低年龄不低于于 3535 岁岁”的人有的人有 4 4 名，名，. 4 4 分分 故故X的可能取值为的可能取值为 0,1,2,30,1,2,3 3 4 3 10 1 0 30 C P X C ， 12 64 3 10 3 1 10 C C P X C ， 21 64 3 10 1 2 2 C C P X C ， 3 6 3 10 1 3 6 C P X C 故故X的的 分布列为分布列为 Y0 01 12 23 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 . 1010 分分 1311 01231.8 301026 E Y .12.12 分分 20.20.证明证明： （1 1）如图，连接）如图，连接 OEOE BE 平分平分ABC， CBE=OBE， OB=OE， OBE=OEB， OEB=CBE， OEBC， AEO=C=90， AC 是是O 的切线；的切线；.3.3 分分 （2 2）如图，连结）如图，连结 DEDE CBE=OBE，ECBC 于于 C，EHAB 于于 H， EC=EH CDE+BDE=180，HFE+BDE=180， CDE=HFE 在在CDE 与与HFE 中，中， 0 90 CDEHFE CEHF ECEH ， CDEHFE（AAS） ， CD=HF .7.7 分分 （3 3）由（）由（2 2）得，）得，CD=HFCD=HF又又 CD=1CD=1 HF1 在在 Rt HFE 中，中，EF= 22 3110 EFBE BEF=90 EHF=BEF=90 EFH=BFE EHF BEF EFHF BFEF ，即，即 101 10BF BF=10 1 5 2 OEBF,5 14OH , 在在 Rt OHE 中，中， 4 cos 5 EOA, 在在 Rt EOA 中，中， 4 cos 5 OE EOA OA , 54 5OA 25 4 OA 255 5 44 AF .12.12 分分 2121 （1 1）解解：由由，得得，即即 a2=4b2，椭圆椭圆 C 的方程可化为的方程可化为 x2+ +4y2=4b2又椭又椭圆圆 C 过点过点 P （2， 1） ， 4+ +4=4b2， 得得 b2=2， 则 则 a2=8 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为 ；. 4 4 分分 （2 2）证明：由题意，直线证明：由题意，直线 PA 斜率存在，设直线斜率存在，设直线 PA 的方程为的方程为 y+ +1=k（x2） ， 联立联立，得（，得（1+ +4k2）x28（2k2+ +k）x+ +16k2+ +16k4=0 ，即即直线直线 PQ 平分平分APB，即直线即直线 PA 与直线与直线 PB 的斜率互为的斜率互为 相 反 数 ， 设 直 线相 反 数 ， 设 直 线PB的 方 程 为的 方 程 为y+1= k （ x 2 ） ， 同 理 求 得， 同 理 求 得 . 8 8 分分 又又，y1y2=k（x1+ +x2）4k 即即=，. 1010 分分 直线直线 AB 的斜率为的斜率为.12.12 分分 22.22.（1 1）由由 2 ( ) nx fx x ， 2 (2) 4 n f ，由于函数，由于函数( )f x在在(2,(2)f处的切线与直线处的切线与直线0 xy平行，平行， 故故 2 1 4 n ，解得，解得6n . 2 2 分分 （2 2） 2 ( )(0) nx fxx x ，由，由 ( ) 0fx 时，时，xn； ( ) 0fx 时，时，xn， 所以所以当当1n时，时，( )f x在在1,)上单调递减，上单调递减， 故故( )f x在在1,)上的最大值为上的最大值为(1)fmn； 当当1n ，( )f x在在1, )n上单调递增，在上单调递增，在( ,)n 上单调递减，上单调递减， 故故( )f x在在1,)上的最大值为上的最大值为( )1 lnf nmn ； 综上综上当当1n时，时，( )f x在在1,)上的最大值为上的最大值为(1)fmn； 当当1n ，( )f x在在1,)上的最大值为上的最大值为( )1 lnf nmn ；. 6 6 分分 （3 3）函数函数( )f x恰有两个零点恰有两个零点 1212 ,(0)x xxx， 则则 12 1122 12 11 ( )ln0,()ln0 mxmx f xxf xx xx ， 可得可得 12 12 11 lnlnmxx xx . 于是于是 212 21 121 lnlnln xxx xx x xx . 令令 2 1 1 x t x ，则，则 1 1 11 ln, ln tt tx txtt ，于是，于是 2 121 1 (1) ln t xxx t tt ，. 8 8 分分 2 12 1 2(ln )