2018年浙江省高中数学联赛试题及参考答案

2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案 1. 已知a为正实数，且 11 ( ) 1 x f x aa = + 是奇函数，则( )f x的值域为_。 解解 由( )f x为奇函数可知 1111 , 11 xx aaaa = + + 解得2a =，即 11 ( ) 221 x f x = + ， 由此得( )f x的值域为 1 1 (, ) 2 2 。 2. 设数列 n a满足 11 1,51 nn aaa + =+（1,2,n =） ，则 2018 n 1n a = =_。 解解 由 11 1151 515() 4444 n nnnnn aaaaa + =+ +=+=，所以 20192018 1220182018 1 120185201858077 (555)(51) 441641616 n n a = =+= 。 3. 已知, 3 , 4 ，cos()+= 4 , 5 sin 12 , 413 = 则 cos 4 + =_。 解解 由, 3 , 4 ，cos()+= 4 , 5 得 35 sin(),cos() 5413 += = ，所以 cos 56 cos()cos()sin()sin() 44465 +=+= 。 4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个组成分数。这些分数中有 个既约分数。 解解 在 7,11,13 中任取一个整数与在 2,4,6,8,12 中任取一个整数构成既约分数，共 有 11 35 230C C =种；在 7,11,13 中任取两个整数也构成既约分数，共有 2 3 6A =中。合 计有 36 种不同的既约分数。 5. 已知虚数z满足 3 10z + =，则 20182018 1 11 z zz += _。 解解 322 10(1)(1)010zzzzzz+ =+=+ =，所以 20182018 20183 67222 220183 1345 11()11 1 11()() zzzzz zzzzzz + += 。 6. 设10AB = 。 若平面上点P满足， 对于任意tR， 有3APtAB ， 则 PA PB 的最小值为_，此时 +PA PB = _。 解解 由3APtAB 可知点P 到直线AB的距离为 3。 设 AB的中点为O。由极化恒等式得 2222 111 ()() (2)10 3610016 444 PA PBPAPBPAPBPO=+= 。 此时+PA PB = 6。 7. 在ABC中，7ABAC+=， 且三角形的面积为 4， 则sinA的最小值为_。 解解 由 49 7 4 ABACABAC+=，又 1327 sinA4sinA, 2492 ABACABAC=时取等号。 8. 设( ) |1|2|f xxxx=+, 则( ( ) 10f f x+ =有_个不同的解。 解解 因为 3,1 1, 10 ( ) |1|2| 31,02 3,2 xx xx f xxxx xx xx =+= 由( ( ) 10f f x+ =得到 ( )2,f x = 或( )0f x =。由( )2,f x = 得一个解1x = ；由( )0f x =得两个解 1 3, 3 xx= =，共 3 个解。 9. 设, x yR满足 64+12=0 xyxy，则x的取值范围为 _。 解解 由 22 64+12=0(2)(3)1xyxyxyy+=。令 22 2cos ,3sin(2cos )(3sin )xyyx=+ 2 1452sin()(sin) 13 =+=，所以142 13142 13x+。 10. 四面体PABC，6PABC=，8PBAC=，10PCAB=，则该 四面体外接球的半径为_。 解 将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为 , ,a b c，则 22 22222 22 10 812 6 ab bcabc ac += +=+= += ，所以四面体外接球的半径为3。 二、解答题 11. （本题满分 20 分）已知动直线l与圆O： 22 1xy+=相切，与椭圆 2 2 1 9 x y+= 相交于不同的两点 ,A B。求原点到AB的中垂线的最大距离。 解解 依题意可设:(0)l ykxm k=+ 因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为 1，即 2 1 1 m k = + 5 分 这样的直线必与椭圆交于不同的两点 1122 ( ,), (,)A x yB xy，联立 22 , 990 ykxm xy =+ += ， 得 222 (19)18(99)0kxkmxm+=，得到 12 2 18 19 km xx k += + 。 所以AB的中点坐标为 22 9 (,) 1919 kmm kk + ，10 分 AB的中垂线方程为 22 19 () 1919 mkm yx kkk = + + ，化简得 2 8 0 19 km xky k += + O到直线中垂线的距离 2 2 8 19 1 km k d k + = + 。15 分 将 2 1 1 m k = + 代入 2 2 8 19 1 km k d k + = + ，得 2 8 19 k d k = + 由均值不等式， 2 196kk+，故 4 3 d ，当且仅当 1 3 k =时取等号。 所以，当 1 3 k =, 3 10 |=m时， 原点到AB的中垂线的最大距离为 4 3 。20 分 12.（本题满分 20 分）设aR，且对任意实数b均有 2 0,1 max1 x xaxb +，求a的 取值范围。 解解 1 1 设 2 ( )f xxaxb=+，对于1(0)1bf ， 所以只要考虑1b 。5 分 （1）当0 2 a 时，即0,a 此时函数( )f x的最值在抛物线的左右端点取得，对 任意1b =所以(1)11fab= +， 解得1a 。10 分 （2）当 1 0 22 a 时，即10a ，此时函数( )f x的最值在抛物线的顶点和右 端点取得，而对0b =有( ) 2 111,()1 24 aa faf =+=。 （3）当 1 1 22 a 时，即21a ，此时函数( )f x的最值在抛物线的顶点和 左端点取得，而对0b =有( ) 2 01,()1 24 aa fbf =。15 分 （4）当1 2 a 时，即2a ，此时函数( )f x的最值在抛物线的左右端点取得， 对任意1b 10 分 同理 100910091008101110121012 10071012 100710081007101010111010 1 xxxxxx xx xxxxxx =。 类似可证明： 100610131005101412018 1,1,1xxxxx x。15 分 因此 2018 1 1 n n x = ，矛盾。 （2）若 10091010 , xx同为负数，由 +2 , nn xx同号可知 122018 ,x xx均为负数，仍然有 2 12 1+2 1 nn nnn nn xx xx x xx + + + ，类似（1）可证得。20 分 14.（本题满分 30 分） 将2n（2n ）个不同整数分成两组 1212 ,;, nn a aa b bb。证明 11 1 (|) ijjiji i nij n j n abaabbn + 。 证明证明 令 11 1 (|) nijjiji i nij n j n Tabaabb =+ ，下面用归纳法证明 n Tn。 当2n =时，不妨设 121222 ,aa bb ab 22211 2Tbaab=+。10 分 假设对正整数n成立，对正整数1n +，不妨设 12112111 , nnnn aaabbbab + 。再设 11knk bab + ，则有 1111111 1111 nnnn nnininininnn iiii TbaabaabbbaT + = =+ 15 分 下证 1111 1111 0 nnnn nininini iiii baabaabb + = + 。 由（1） 11( 1,2, ) knk babkn + ；25 分 （2）若 11n ab + 。30 分 15.（本题满分 30 分） 如图所示将同心圆环均匀分成n（3n ）格。在内环中 固定数字1 n。问能否将数字1 n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且 仅有一个格中内外环的数字相同？ 解答：设对应于内环 1,2,，n 的外环数字为 12 , , n i ii ，它是数字 1,2,，n 的 一个排列。对1,2,kn=，记外环数字 k i在按顺时针方向转动 k j格时，和内环数 字相同，即 mod , 1,2, kk ikjnkn= 。 10 分 根据题意， 12 , n jjj应是01,2,1n，的排列。求和 () 11 1 m