2019届南通三模数学参考答案

数学参考答案与评分细则 第 1 页（共 14 页） 结束 Y 输出 y N （第 3 题） 开始 输入 x y3 x x1 y3+x 南通市 2019 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 已知集合，则 1 0 2 3U ，0 3A ， UA 【答案】 1 2 ， 2 已知复数（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 i 13i a z a 【答案】 3 3 右图是一个算法流程图若输出的值为 4，则输入 x 的值 y 为 【答案】 1 4 已知一组数据 6，6，9，的平均数是 ，且， xy890 xy 则该组数据的方差为 【答案】 14 5 5 一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球从中 1 次随机 摸出 2 只球，则 2 只球都是白球的概率为 【答案】 1 2 6 已知函数 则不等式的解集为 2 2 20 ( ) 20 xxx f x xxx ， ， ， ( )()f xfx 【答案】 ( 2 0)(2) ， 7 已知是等比数列，前项和为若，则的值为 n an n S 32 4aa 4 16a 3 S 【答案】14 8 在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别 xOy 2 2 22 1 y x ab 00ab， 交于 A，B 两点若AOB 的面积为，则该双曲线的离心率为 4 ab 【答案】2 9 已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm将此直角梯形 数学参考答案与评分细则 第 2 页（共 14 页） 绕 AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3 【答案】 7 3 10在平面直角坐标系中，若曲线与在上交点的横坐标为， xOysin2yx 1tan 8 yx 2 ， 则的值为 sin2 【答案】 15 8 11如图，正六边形中，若（） ，则的值为 ABCDEFADACAE ，R 【答案】 4 3 12如图，有一壁画，最高点处离地面 6 m，最低点处离地面 3.5 m若从离地高 2 m 的 AB 处观赏它，则离墙 m 时，视角最大 C 【答案】 6 13已知函数，若对任意，总存在，使得 2 ( )23f xxxa 2 ( ) 1 g x x 1 0 3x ， 2 2 3x ， 成立，则实数的值为 12 ()()f xg xa 【答案】 1 3 14在平面四边形 ABCD 中， ，若， 90BAD2AB 1AD 4 3 AB ACBA BCCA CB 则的最小值为 1 2 CBCD 【答案】 26 2 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长， (sinsin)()(sinsin)aABcbBC （1）求角的值； C A B C DE F （第 11 题） A B C 6 2 3.5 （第 12 题） 数学参考答案与评分细则 第 3 页（共 14 页） A B C D P E F （第 16 题） （2）若，求的值 4absinB 【解】 （1）在ABC 中， 因为， (sinsin)()(sinsin)aABcbBC 由正弦定理， sinsinsin abc ABC 所以 3 分 ()()()a abbc cb 即， 222 abcab 由余弦定理，得 5 分 222 2coscababC 1 cos 2 C 又因为，所以 7 分 0C 3 C （2）方法一：因为及， 4ab 222 abcab 得，即， 10 分 22222 16413cbbbb13cb 由正弦定理，得， sinsin cb CB 13 sin 3 2 bb B 所以 14 分 39 sin 26 B 方法二：由正弦定理，得 sinsin ab AB sin4sinAB 由，得， ABCsin()4sinBCB 因为，所以， 3 C 31 sincos4sin 22 BBB 即 11 分 7sin3cosBB 又因为，解得， 22 sincos1BB 23 sin 52 B 因为在ABC 中， sin0B 所以. 14 分 39 sin 26 B 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，平面 BPC平面 DPC， ，E，F 分别是 PC，AD 的中点 BPBC 求证：（1）BECD； （2）EF平面 PAB 【证】 （1）在PBC 中，因为，E 是 PC 的中点， BPBC 数学参考答案与评分细则 第 4 页（共 14 页） A B C D P E F H 所以 BEPC 2 分 又因为平面 BPC平面 DPC， 平面 BPC平面 DPC，平面 BPC， PCBE 所以 BE平面 PCD 5 分 又因为平面 DPC， CD 所以 BECD 7 分 （2）取 PB 的中点 H，连结 EH，AH 在PBC 中，又因为 E 是 PC 的中点， 所以 HEBC， 9 分 1 2 HEBC 又底面 ABCD 是平行四边形，F 是 AD 的中点， 所以 AFBC， 1 2 AFBC 所以 HEAF， HEAF 所以四边形 AFEH 是平行四边形， 所以 EFHA 12 分 又因为平面 PAB，平面 PAB， EF HA 所以 EF平面 PAB 14 分 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（）的上顶点为， 2 2 22 1 y x C ab ：0ab 03A， 圆经过点 2 22 4 a O xy：0 1M， （1）求椭圆的方程； C （2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点 M 1 lCPQM 1 l 2 lON 若PQN 的面积为 3，求直线的斜率 1 l 【解】 （1）因为椭圆的上顶点为，所以， C 03A，3b 又圆经过点， 2221 4 O xya：0 1M， 所以 2 分 2a 所以椭圆的方程为 4 分 C 2 2 1 43 y x x O A （第 17 题） y M N P Q 数学参考答案与评分细则 第 5 页（共 14 页） （2）若的斜率为 0，则， 1 l 4 6 3 PQ 2MN 所以PQN 的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为 0 5 分 4 6 3 1 l 设直线的方程为， 1 l1ykx 由消，得， 2 2 1 43 1 y x ykx ， y 22 (34)880kxkx 设， 11 P xy， 22 Q xy， 则， 2 1 2 42 621 34 kk x k 2 2 2 42 621 34 kk x k 所以 22 1212 ()()PQxxyy 8 分 22 2 12 2 4 6 121 1 34 kk kxx k 直线的方程为，即， 2 l 1 1yx k 0 xkyk 所以 11 分 2 2 2 2 2 1 1 1 k MN k k 所以PQN 的面积， 1 2 SPQ MN 22 2 2 4 6 12112 3 2 34 1 kk k k 解得，即直线的斜率为 14 分 1 2 k 1 l 1 2 18 （本小题满分 16 分） 南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长 2 m，宽 1.5 m 的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪 风筝面，裁剪方法如下：分别在边 AB，AD 上取点 E，F，将三角形 AEF 沿直线 EF 翻折到 处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图 1 A EF A A EA FAEA F （1）若点 E 恰好与点 B 重合，且点在 BD 上，如图 2，求风筝面的面积； A ABA F （2）当风筝面的面积为时，求点到 AB 距离的最大值 AEA F 2 3 m A （图 1） AB CD F E A （图 2） AB（E） CD F A 数学参考答案与评分细则 第 6 页（共 14 页） 【解】 （1）方法一：建立如图所示的直角坐标系 则， 2 0B， 3 0 2 D， 直线的方程为 2 分 BD3460 xy 设（） ， 0Fb，0b 因为点 F 到 AB 与 BD 的距离相等， 所以，解得或（舍去） 4 分 46 5 b b 2 3 b 6b 所以ABF 的面积为， 2122 2m 233 所以四边形的面积为 ABA F 24 m 3 答：风筝面的面积为 6 分 ABA F 24 m 3 方法二：设，则 ABF2ABA 在直角ABD 中， 2 分 3 tan2 4 AD AB 所以， 2 2tan3 4 1tan 解得或（舍去） 1 tan 3 tan3 所以 4 分 2 tan 3 AFAB 所以ABF 的面积为， 2122 2m 233 所以四边形的面积为 ABA F 24 m 3 答：风筝面的面积为 6 分 ABA F 24 m 3 （2）方法一：建立如图所示的直角坐标系 设， AEaAFb 00 A xy， 则直线的方程为， EF0bxayab 因为点 A，关于直线对称， A EF AB CD F Ex y A A CD F B（E）x y A A CD F B（E） A 数学参考答案与评分细则 第 7 页（共 14 页） 所以 0 0 00 0 22 y a xb bxay ab ， ， 解得 10 分 2 0 22 2a b y ab 因为四边形的面积为，所以， AEA F33ab 所以 3 0 4 3 2 32 3 3 3 a y a a a 因为，所以 12 分 02a 3 0 2 b 2 3 2 3 a 设， 3 3 ( )f aa a 2 3 2 3 a ， 2 44 (3)(3)(3) 9 ( )1 aaa fa aa 令，得或（舍去） ( )0fa3a 3a 列表如下： 当时，取得极小值，即最小值， 3a ( )f a 4 3 3 所以的最大值为，此时点在 CD 上， 0 y 3 2 A 3a 1b 答：点到 AB 距离的最大值为 16 分 A 3m 2 方法二：设，则 AEaAEFtanAFa 因为四边形的面积为，所以， AEA F33AE AF 即，所以 2 tan3a 2 3 tan a 过点作 AB 的垂线，垂足为 T， A A T 则 10 分 sin2sin2sin2A TA EAEa 2 222 43 3 2 2 32sincos2tan 33 sincostan1 1 a aaa a aa a 2 3 3 3 ， 3 3 2 ， ( )fa 0 + ( )f a 单调递减 极小值 单调递增 A AB CD F E T 数学参考答案与评分细则 第 8 页（共 14 页） 因为，所以 12 分 02AE 3 0 2 AF 2 3 2 3 a （下同方法一） 19 （本小题满分 16 分） 已知数列满足（） ，（） n a 11 (2)(21) nnnn naaaa 2n 1 n n bn a n N （1）若，证明：是等比数列； 1=3 a n b （2）若存在，使得，成等差数列 k N 1 k a 1 1 k a 2 1 k a 求数列的通项公式； n a 证明： 1 11 lnln(1) 22 nn nana 【证】 （1）由，得， 11 (2)(21) nnnn naaaa 1 12 2 nn n aa 得，即， 1 11 21 nn nn aa 1 2 nn bb 因为，所以，所以（） ， 1=3 a 1 1 12 1=0 3 b a 1 2 n n b b 2n 所以是以为首项，2 为公比的等比数列 4 分 n b 1 b 【解】 （2） 设，由（1）知， 1 1 1 a 1 2 nn bb 所以，即， 21 121 222n nnn bbbb 11 2n n n a 所以 6 分 11 2k k k a 因为，成等差数列， 1 k a 1 1 k a 2 1 k a 则， 11 (2)(22)2(21) kkk kkk 所以，所以， 1 20 k 0 所以，即 10 分 1 n n a 1 n a n 要证， 1 11 lnln(1) 22 nn nana 即证，即证 1 11 ()ln 2 nn n aa n 111 2ln 1 n nnn 设，则，且， 1n t n 1111 1 1 t tt nntt 1t 从而只需证，当时， 12 分 1t 1 2lntt t 数学参考答案与评分细则 第 9 页（共 14 页） 设（） ， 1 ( )2lnf xxx x 1x 则， 2 2 121 ( )1(1)0fx xx x 所以在上单调递增， ( )f x(1) ， 所以，即， ( )(1)0f xf 1 2lnxx x 因为，所以， 1t 1 2lntt t 所以，原不等式得证 16 分 20 （本小题满分 16 分） 已知函数（） ， 是自然对数的底数 2 ( ) 1ln ax f x x 0a e （1）当时，求的单调增区间； 0a ( )f x （2）若对任意的，（） ，求的最大值； 1 2 x 1 ( )2ebf x bR b a （3）若的极大值为，求不等式的解集 ( )f x2( )e0 x f x 【解】 （1）的定义域为 ( )f x 11 0 ee ， 由， 2 分 2 22 11 2(1ln )2(ln ) 2 ( ) (1ln )(1ln ) axxaxaxx x fx xx 令，因为，得， ( )0fx0a 1 2 ex 因为， 1 1 2 ee 所以的单调增区间是 4 分 ( )f x 1 2 e ， （2）当时，不合题意； 0a 1 (1)02ebfa 当时，令，得或， 0a ( )0fx 1 0ex 1 1 2 eex 所以在区间和上单调递减 ( )f x 1 0 e， 1 1 2 ee ， 因为，且在区间上单调递增， 1 1 2 1 ee 2 ，( )f x 1 2 e ， 所以在处取极小值，即最小值为 6 分 ( )f x 1 2 ex 2 e a2 e a 若，则，即 1 2 x 1 ( )2ebf x 12 2e e ba eba 不妨设，则 8 分 0b eb bb a 数学参考答案与评分细则 第 10 页（共 14 页） 设（） ，则 ( ) eb b g b 0b 1 ( ) eb b g b 当时，；当时， 01b( )0g b1b ( )0g b 所以在上单调递增；在上单调递减， ( )g b0 1，1 ， 所以，即， ( )(1)g bg 1 e eb b 所以的最大值为 10 分 b a 1 e （3）由（2）知，当时，无极大值， 0a ( )f x 当时，在和上单调递增；在上单调递减， 0a ( )f x 1 0 e， 1 1 2 ee ， 1 2 e ， 所以在处取极大值， ( )f x 1 2 ex 所以，即 12 分 1 2 2 (e)2 e a f ea 设，即， ( )( )exF xf x 2 e ( )e 1ln xx F x x 当，所以； 1 0 ex ，1ln0 x( )0F x 当， 1 ex ， 2 e (12ln ) ( )e (1ln ) x xx F x x 由（2）知，又， eexx 2 12ln(1ln )xx 所以，且不恒为零， ( )0F x( )F x 所以在上单调递增 ( )F x 1 e ， 不等式，即为，所以， ( )e0 x f x ( )0(1)F xF 1 e1x 即不等式的解集为 16 分 1 e1 ， 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知，矩阵的逆矩阵若曲线 C 在矩阵对应abcd ， ， ，R 2 0 a b A 1 1 1 c d AA 数学参考答案与评分细则 第 11 页（共 14 页） 的变换作用下得到曲线，求曲线 C 的方程 21yx 【解】由题意得，即， 1 10 01 AA 212210 0101 acadac bdbdb 所以， 1120abcd， 即矩阵 5 分 12 01 A 设为曲线 C 上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下变为点， ()P xy，A()P xy， 则 ，即 8 分 12 01 xx yy 2 . xxy yy ， 由已知条件可知，满足，整理得：， ()P xy，21yx2510 xy 所以曲线 C 的方程为 10 分 2510 xy B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点， AB 的极坐标分别为，曲线的方程为（） 4 2 ， 5 2 2 4 ，Cr0r （1）求直线的直角坐标方程； AB （2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值 ABCr 【解】 （1）分别将，转化为直角坐标为， 4 2 A， 5 2 2 4 B，0 4A，22B ， 所以直线的直角坐标方程为 4 分 AB340 xy （2）曲线 C 的方程为（） ，其直角坐标方程为 r0r 222 xyr 又直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线 AB 的距离为， 22 2 104 5 31 即的值为 10 分 r 2 10 5 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知，若关于的方程有实根，求的取值范围 aRx 2 410 xxaaa 数学参考答案与评分细则 第 12 页（共 14 页） 【解】因为关于的方程有实根， x 2 410 xxaa 所以，即 4 分 164(1)0aa 41aa 当时，得； 1a421a 5 1 2 a 当时，14，恒成立，即； 01a01a 当时，得， 0a412a0 3 2 a 综上：所求的取值范围为 10 分 a 35 22 a 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 现有一款智能学习 APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响 已知该 APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积 1 分，每日上限积 5 分；观看视频累计 3 分钟 积 2 分，每日上限积 6 分经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表 1 所示，视频 学习积分的概率分布表如表 2 所示 （1）现随机抽取 1 人了解学习情况，求其每日学习积分不低于 9 分的概率； （2）现随机抽取 3 人了解学习情况，设积分不低于 9 分的人数为，求的概率分布及 数学期望 【解】 （1）由题意，获得的积分不低于 9 分的情形有： 因为两类学习互不影响， 所以概率， 111111115 9262232