2019年北京中考数学满分必刷100道压轴题归类(四)【圆综合题】(PDF 含答案)

1 2019 年北京中考数学满分必刷年北京中考数学满分必刷 100 道压轴题道压轴题 圆综合题中考专项训练圆综合题中考专项训练 本文档试题为 2017-2018 年北京十三区一模、二模试题圆综合题汇编。 2 12018 届 东城一模如图，AB 为O的直径，点 C，D 在O上，且点 C 是BD的中点.过点 C 作 AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E. （1）求证：EF 是O的切线； （2）连接 BC. 若 AB=5，BC=3，求线段 AE 的长. 3 1. 东城一模（1）证明：连接 OC. CDCB 1=3. OAOC， 1=2. 3=2. AEOC. AEEF， OCEF. OC 是O的半径， EF 是O的切线. -2 分 （2）AB 为O的直径， ACB=90. 根据勾股定理，由 AB=5,BC=3,可求得 AC=4. AEEF， AEC=90. AECACB. AEAC ACAB . 4 45 AE . 16 5 AE . -5 分 4 2西城一模.如图，O的半径为r，ABC内接于O，15BAC，30ACB，D为CB延长线上一 点，AD与O相切，切点为A （1）求点B到半径OC的距离（用含r的式子表示） （2）作DHOC于点H，求ADH的度数及 CB CD 的值 5 2.西城一模.【解析】 （1）如图4，作BEOC于点E 在O的内接ABC中，15BAC， 230BOCBAC 在RtBOE中，90OEB，30BOE，OBr， 22 OBr BE ， 点B到半径OC的距离为 2 r （2）如图4，连接OA由BEOC，DHOC，可得BEDH AD于O相切，切点为A，ADOA， 90OAD DHOC于点H，90OHD 在OBC中，OBOC，30BOC， 180 75 2 BOC OCB 30ACB， 45OCAOCBACB OAOC，45OACOCE ， 180290AOCOCA ， 四边形AOHD为矩形，90ADH， DHAOr 2 r BE ， 2 DH BE BEDH，CBECDH， 1 2 CBBE CDDH 6 3海淀一模如图，AB是O的直径，弦EFAB于点C，过点F作O的切线交AB的延长线于点D. （1）已知A ，求D的大小（用含的式子表示） ； （2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若30A ，7MF ，求O的半径. 7 3海淀一模解： （1）连接OE，OF EFAB，AB是O的直径， DOFDOE 2DOEA，A， 2DOF1 分 FD为O的切线， OFFD. 90OFD . +90DDOF . 902D2 分 （2）图形如图所示.连接OM. AB为O的直径， O为AB中点，90AEB M为BE的中点， OMAE， 1 = 2 OMAE.3 分 30A ， 30MOBA 260DOFA ， 90MOF.4 分 222 +OMOFMF 设O的半径为r 90AEB，30A ， cos303AEABr . 1 =3 2 OMr5 分 = 7FM， 222 1 (3 ) +( 7) 2 rr . 解得=2r （舍去负根） O的半径为 26 分 8 4丰台一模.如图，A，B，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC，过点 D 作 DEAB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作O 的切线交 BC 的延长线于点 F （1）求证：EFED； （2）如果半径为 5，cosABC = 3 5 ，求 DF 的长 9 4丰台一模.（1）证明：BD 平分ABC，12. DEAB，23.13. BC 是O 的切线，BDF90. 1+F90，3+EDF90. FEDF.EFDE.2 分 （2）解：连接 CD. BD 为O 的直径，BCD90. DEAB，DEFABC. cosABC= 3 5 ，在 RtECD 中，cosDEC= CE DE = 3 5 . 设 CE=3x，则 DE=5x . 由（1）可知，BE= EF=5x.BF=10 x ，CF=2x. 在 RtCFD 中，由勾股定理得 DF=2 5x 半径为 5，BD10. BFDC= FDBD， 10410 2 5xxx，解得 5 2 x . DF =2 5x=5.5 分 （其他证法或解法相应给分.） 10 5石景山一模.如图，AB是O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交O于点C， 连接BC，过点D作FDOC交O的切线EF于点F （1）求证： 1 2 CBEF； （2）若O的半径是2 3，点D是OC中点，15CBE，求线段EF的长 11 5.石景山一模 （1）证明：连接OE交DF于点H， EF是O的切线，OE是O的半径， OEEF. 190F . FDOC， 3290 . 12 ， 3F .1 分 1 3 2 CBE， 1 2 CBEF. 2 分 （2）解：15CBE， 3230FCBE . O的半径是2 3，点D是OC中点， 3OD . 在Rt ODH中，cos3 OD OH ， 2OH .3 分 2 32HE . 在Rt FEH中，tan EH F EF .4 分 362 3EFEH.5 分 12 6.朝阳一模. 如图，在O 中，C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的 切线于点 E （1）求证：AECE （2）若 AE=，sinADE= 3 1 ，求O 半径的长 13 6.朝阳一模. （1）证明：连接 OA， OA 是O 的切线， OAE90. 1 分 C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点， CD 为AOB 的中位线. CDOA E90. AECE.2 分 （2）解：连接 OD， ODB90. 3 分 AE=，sinADE= 3 1 ， 在 RtAED 中，23 sin ADE AE AD. CDOA， 1ADE. 在 RtOAD 中， 3 1 1sin OA OD .4 分 设 ODx，则 OA3x， 222 OAADOD， 2 2 2 323xx. 解得 2 3 1 x， 2 3 2 x（舍）. 2 9 3 xOA. 5 分 即O 的半径长为 2 9 . 14 7.燕山一模如图，在ABC 中,AB=AC,AE 是 BC 边上的高线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点 的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F ，FB 为O 的直径 （1）求证：AM 是O 的切线 （2）当 BE=3，cosC= 5 2 时，求O 的半径 15 7.燕山一模.解： (1)连结 OM. BM 平分ABC 1= 2又 OM=OB 2= 3 OM BC2 AE 是 BC 边上的高线 AEBC, AMOM AM 是O 的切线3 （2）AB=AC ABC = CAEBC, E 是 BC 中点EC=BE=3 cosC= 5 2 = AC EC AC= 2 5 EC= 2 15 4 OM BC，AOM =ABE AOMABE AB AO BE OM 又ABC = CAOM =C 在 RtAOM 中 cosAOM = cosC= 5 2 5 2 AO OM AO=OM 2 5 AB=OM 2 5 +OB=OM 2 7 而 AB= AC= 2 15 16 8.门头沟一模. 如图，AB 为O 直径，过O 外的点 D 作 DEOA 于点 E，射线 DC 切O 于点 C、交 AB 的延长线于点 P，连接 AC交DE 于点 F，作 CHAB 于点 H （1）求证：D=2A； （2）若 HB=2，cosD= 3 5 ，请求出 AC 的长 17 8.门头沟一模.（1）证明：连接 OC， 射线 DC 切O 于点 C，OCP=90 DEAP，DEP=90 P+D=90，P+COB=90 COB=D1 分 OA=OC, A=OCA COB=A+OCA COB=2A D=2A2 分 （2）解：由（1）可知：OCP=90，COP=D， cosCOP=cosD= 3 5 ，3 分 CHOP，CHO=90， 设O 的半径为 r，则 OH=r2 在 RtCHO 中，cosHOC= OH OC = 2r r = 3 5 ， r=5，4 分 OH=52=3， 由勾股定理可知：CH=4，AH=ABHB=102=8 在 RtAHC 中，CHA=90，由勾股定理可知：AC=4 55 分 18 9.大兴一模.已知：如图，在OAB中，OAOB ，O 经过AB的中点C，与 OB 交于点 D,且与 BO 的延长 线交于点 E，连接ECCD， （1）试判断AB与O 的位置关系，并加以证明； （2）若 1 tan 2 E ，O 的半径为 3，求OA的长 19 AB C D E O 9.大兴一模.（1）AB 与O 的位置关系是相切1 分 证明：如图，连接 OC OAOB，C 为 AB 的中点， OCAB AB是O 的切线2 分 （2）ED是直径， 90ECD 90EODC 又90BCDOCD ，OCDODC ， BCDE 又CBDEBC ， BCDBEC BCBD BEBC 2 BCBD BE 3 分 1 tan 2 E， 1 2 CD EC BCDBEC， 1 2 BDCD BCEC 4 分 设BDx，则2BCx 又 2 BCBD BE， 2 (2 )(6)xx x 解得 1 0 x ， 2 2x 0BDx， 2BD 235OAOBBDOD5 分 20 10.平谷一模如图，以 AB 为直径作O，过点 A 作O 的切线 AC，连结 BC，交O 于点 D，点 E 是 BC 边 的中点，连结 AE （1）求证：AEB=2C； （2）若 AB=6， 3 cos 5 B ，求 DE 的长 21 10.平谷一模（1）证明：AC 是O 的切线， BAC=901 点 E 是 BC 边的中点， AE=EC C=EAC，2 AEB=C+EAC， AEB=2C 3 （2）解：连结 AD AB 为直径作O， ABD=90 AB= 6， 3 cos 5 B ， BD= 18 5 4 在 RtABC 中，AB=6， 3 cos 5 B ， BC=10 点 E 是 BC 边的中点， BE=55 7 5 DE 6 22 11.怀柔一模.如图，AC 是O 的直径，点 B 是O 内一点，且 BA=BC，连结 BO 并延长线交O 于点 D，过点 C 作O 的切线 CE，且 BC 平分DBE. (1)求证：BE=CE； (2)若O 的直径长 8，sinBCE=，求 BE 的长. 23 11. 怀柔一模. (1)BA=BC，AO=CO, BDAC. CE 是O 的切线, CEAC. CEBD.1 分 ECB=CBD. BC 平分DBE, CBE=CBD. ECB=CBE. BE=CE. 2 分 (2)解：作 EFBC 于 F. 3 分 O 的直径长 8， CO=4. sinCBD= sinBCE=. 4 分 BC=5，OB=3. BE=CE, BF=. BOC=BFE=90，CBO=EBF, CBOEBF. . BE=. 5 分 24 12.延庆一模如图，是O 的直径，D 是O 上一点，点是弧的中点，过点作O 的切线交 的延长线于点 F连接并延长交于点 （1）求证：； （2）如果 AB=5，求的长 25 12.延庆一模证明： （1）连接 BE AB 是直径， AEB=90 CBE+ECB=90EBA+EAB=90 点是的中点， CBE =EBA ECB =EAB1 分 AB=BC2 分 （2）FA 作O 的切线， FAAB FAC+EAB=90 EBA+EAB=90， FAC=EBA AB=5， 4 分 过 C 点作 CHAF 于点 H， AB=BCAEB=90， AC=2AE=2 ， CH=25 分 CHABAB=BC=5， FC=6 分 26 12. 顺义一模如图，等腰ABC 是O 的内接三角形，AB=AC，过点 A 作 BC 的平行线 AD 交 BO 的延长线于点 D （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 15，sinD 3 5 ，求 AB 的长 27 12.顺义一模 （1）证明：连接 AO，并延长交O 于点 E，交 BC 于点 F AB=AC， ABAC AEBC ADBC， AEAD AD 是O 的切线2 分 （2）解法 1：ADBC，D=1 sinD= 3 5 ， sin1= 3 5 AEBC， OF OB = 3 5 O 的半径 OB=15， OF=9，BF=12 AF=24 AB=12 5 5 分 3 解法 2：过 B 作 BHDA 交 DA 延长线于 H AEAD，sinD= 3 5 ， OA OD = 3 5 O 的半径 OA=15， OD=25，AD=20 BD=40 BH=24，DH=32 AH=12 AB=12 5 5 分 28 13.2018 东城二模如图，AB 为O的直径，直线BMAB于点B.点 C 在O上，分别连接BC，AC， 且AC的延长线交BM于点D.CF为O的切线交BM于点 F. （1）求证：CFDF； （2）连接OF. 若10AB ，6BC ， 求线段OF的长. 29 13.2018 东城二模 （1）证明：AB是O的直径， 90ACB. 90DCB. 90CDBFBC. AB是O的直径，MBAB， MB 是O的切线. CF是O的切线， FCFB. =FCBFBC. 90FCBDCF, =CDBDCF. =CF DF.-3 分 （2）由（1）可知，ABC是直角三角形，在RtABC中，=10AB，=6BC， 根据勾股定理求得=8AC. 在RtABC和RtADB中， AA ACBABD ， ， RtABCRtADB. ABAC ADAB . 108 10AD . 25 2 AD . 由（1）知， =CF DF，=CF BF， =DF BF. =AO BO， OF是ADB的中位线. 125 . 24 OFAD-5 分 30 14.西城二模如图，AB 是O 的直径，C 是圆上一点，弦 CDAB 于点 E，且 DC=AD过点 A 作O 的切 线，过点 C 作 DA 的平行线，两直线交于点 F，FC 的延长线交 AB 的延长线于点 G. （1）求证：FG 与O 相切； （2）连接 EF，求tanEFC的值. 31 14.西城二模（1）证明：如图 6，连接 OC，AC. AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， CE=DE，AD=AC. DC=AD， DC=AD= AC. ACD 为等边三角形 D =DCA=DAC =60 1 130 2 DCA FGDA， 180DCFD 180120DCFD 190OCFDCF FGOC FG 与O 相切 3 分 （2）解：如图 6，作 EHFG 于点 H 设 CE= a，则 DE= a，AD=2a AF 与O 相切， AFAG 又 DCAG， 可得 AFDC 又 FGDA， 四边形 AFCD 为平行四边形 DC =AD，AD=2a， 四边形 AFCD 为菱形 AF=FC=AD=2 a，AFC=D = 60 由（1）得DCG= 60， 3 sin60 2 EHCEa ， 1 cos60 2 CHCEa 5 2 FHCHCFa 在 RtEFH 中，EHF= 90， 3 3 2 tan 5 5 2 a EH EFC FH a 5 分 图 6 32 15.海淀二模 如图，AB是O的直径，M是OA的中点， 弦CDAB于点M， 过点D作DECA交CA 的延长线于点E. （1）连接AD，则OAD=； （2）求证：DE与O相切； （3）点F在BC上，45CDF，DF交AB于点N.若3DE ，求FN的长. 33 15.海淀二模解： （1）60； （2）连接OD， CDAB，AB是O的直径， CMMD. M是OA的中点， AMMO. 又AMCDMO， AMCOMD. ACMODM. CAOD. DECA， 90E . 18090ODEE . DEOD. DE与O相切 （3）连接CF，CN， OACD于M， M是CD中点. NCND. 45CDF， 45NCDNDC. 90CND. 90CNF. 由（1）可知60AOD. 1 30 2 ACDAOD. 在RtCDE中，90E ，30ECD，3DE ， 6 sin30 DE CD . 在RtCND中，90CND，45CDN，6CD ， sin453 2CNCD. 34 由（1）知2120CADOAD ， 18060CFDCAD. 在RtCNF中，90CNF，60CFN，3 2CN ， 6 tan60 CN FN 16.朝阳二模. AB 为O 直径，C 为O 上的一点，过点 C 的切线与 AB 的延长线相交于点 D，CA=CD. （1）连接 BC，求证：BC=OB； （2）E 是 AB 中点，连接 CE，BE，若 BE=2， 求 CE 的长. 35 16.朝阳二模.（1）证明：连接 OC. AB 为O 直径， ACB90. 1 分 CD 为O 切线 OCD90. 2 分 ACODCB90OCB CA=CD， CADD. COBCBO. OC= BC. OB= BC. 3 分 （2）解：连接 AE，过点 B 作 BFCE 于点 F. E 是 AB 中点 AE=BE=2. AB 为O 直径， AEB90. ECBBAE= 45，22AB. 2 2 1 ABCB . 1 BFCF. 3EF. 31CE.5 分 36 17.丰台二模如图，O 中，AB 是O 的直径，G 为弦 AE 的中点，连接 OG 并延长交O 于点 D，连 接 BD 交 AE 于点 F，延长 AE 至点 C，使得 FC = BC，连接 BC. （1）求证：BC 是O 的切线； （2）O 的半径为 5， 3 tan 4 A ，求 FD 的长 37 17.丰台二模（1）证明：G 为弦 AE 的中点，ODAE. .1 分 DGC=90.D +DFG =90. FC=BC，12. DFG =1，DFG2. OD=OB，D3. 3+2=90.ABC90.即 CBAB. BC 是O 的切线.2 分 （2）解：OA=5，tanA= 3 4 ， 在 RtAGO 中，AGO90，OG=3，AG=4. OD=5，DG=2. AB=2OA=10， 在 RtABC 中，ABC90，BC= 15 2 ，AC= 25 2 . FC=BC=15 2 . 1GFACAGFC.在 RtDGF 中，FD=5.5 分 （其他证法或解法相应给分.） 38 18.石景山二模如图，在ABC中， 90C，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切 于点E，与边BC交于点F，过点E作EHAB于点H，连接BE （1）求证：ECEH ； （2）若4BC ， 2 sin 3 A，求AD的长 39 18.石景山二模 （1）证明:连接OE O与边AC相切 OEAC 90C OEBC.1 分 OEBCBE OBOE， OEBOBE OBECBE EHAB EHEC.2 分 （2）解：在 RtABC中，4BC ， 2 sin 3 BC A AB ， 6AB .3 分 OEBC OEAO BCAB ，即 6 46 OEOB 解得, 12 5 OB .4 分 246 6 55 ADABBD.5 分 40 19.昌平二模.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接 DF （1）求证：DF 是O的切线； （2）连接BC，若BCF=30，2BF ，求CD的长 41 19.昌平二模.（1）证明：连接 OD CF 是O 的切线 OCF=901 分 OCD+DCF=90 直径 AB弦 CD CE=ED，即 OF 为 CD 的垂直平分线 CF=DF CDF=DCF2 分 OC=OD， CDO=OCD CDO +CDB=OCD+DCF=90 ODDF DF 是O 的切线3 分 （2）解：连接 OD OCF=90, BCF=30 OCB=60 OC=OB OCB 为等边三角形， COB=604 分 CFO=30 FO=2OC=2OB FB=OB= OC =25 分 在直角三角形 OCE 中，CEO=90COE=60 3 sin 2 CE COE OC CF3 CD=2 CF2 36 分 42 20.房山二模.如图，ABC内接于O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D （1）求证：AO 平分BAC； （2）若 BC=6，sinBAC= 3 5 ，求 AC 和 CD 的长 43 20.房山二模. 解： （1）证明：如图，延长 AO 交 BC 于 H，连接 BO. AB=AC,OB=OC A、O 在线段 BC 的中垂线上 AOBC 又AB=AC AO 平分BAC2 （2）如图，过点 D 作 DKAO 于 K 由（1）知 AOBC，OB=OC,BC=6 BH=CH=1 2BC=3 ,COH= 1 2BOC BAC=1 2BOC COH=BAC 在 RtCOH 中，OHC=90，sinCOH=HC CO CH=3 sinCOH= 3 CO= 3 5 CO=AO=53 CH=3, 22 4OHOCHC AH=AO+OH=9,tanCOH= tanDOK=3 4 在 RtACH 中，AHC=90，AH=9,CH=3 tanCAH=CH AH= 1 3 , 22 3 10ACAHHC4 由（1）知COH=BOH, tanBAH= tanCAH=1 3 设 DK=3a，在 RtADK 中，tanBAH=1 3 ,在 RtDOK 中，tanDOK=3 4 OK=4 a, DO=5 a, AK=9 a OA=13 a =5 a = 5 13 ,DO=25 13 ,CD=OC+OD=90 13 5 AC=3 10 ,CD=90 13 44 21.2017 届西城一模如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 C 作O 的切线，交 BA 的延长线交于点 D，过点 B 作 BEBA，交 DC 延长线于点 E，连接 OE，交O 于点 F，交 BC 于点H， 连接 AC （1）求证：ECB= EBC； （2）连接 BF，CF，若 CF=6，sinFCB= 3 5 ，求 AC 的长 45 21.2017 届西城一模 （1）证明： BEBA 于点 B， BE 是O 的切线 DE 是O 的切线，C 为切点， BE = CE ECB= EBC2 分 （2）解：连接 AF， AB 是O 直径， AFB = ACB = 90 BE 是O 的切线，切点为 B,CE 是O 的切线，切点为 C， BE = CE， EO 平分BED EOBC，CH=BH BF =CF=6， 弧 BF =弧 CF，OHAC FBC =BAF=FCB 在 RtABF 中，sinBAF= 3 5 ，BF=6， AB=10 ，OF=5 在 RtFCH 中，sinFCB= 3 5 ，CF=6， FH= 5 18 OH=OF-FH= 5 7 ， AC=2OH= 5 14 5 分 46 22.东城一模.如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线 于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB， DF （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 DB 平分ADC，AB=a，ADDE=41，写出求 DE 长的思路 47 22.东城一模.解： （1）证明：连接 OD. OD=CD， ODC=OCD. AC 为O 的直径， ADC=EDC=90. 点 F 为 CE 的中点， DF=CF. FDC=FCD. FDO=FCO. 又 ACCE， FDO=FCO=90. DF 是O 的切线.2 分 （2） 1由 DB 平分ADC，AC 为O 的直径，证明ABC 是等腰直角三角形； 2 由 AB=a，求出 AC 的长度为2a； 3 由ACE=ADC=90，CAE 是公共角，证明ACDAEC，得到 2 ACAD AE； 4设 DE 为 x，由ADDE=41，求出 10 10 DEa.5 分 48 23朝阳一模.如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，点 D 在 AB 上，以 BD 为直径的O 切 AC 于点 E， 连接 DE 并延长，交 BC 的延长线于点 F (1) 求证：BDF 是等边三角形； (2) 连接 AF、DC，若 BC=3，写出求四边形 AFCD 面积的思路 49 23朝阳一模.（1）证明：连接 OE AC 切O 于点 E， OEA 90 A 30，ACB 90, AOE 60,B 60. ODOE， ODEOED 60 FBODE BDF 是等边三角形 （2）解：如图,作 DHAC 于点 H. 由ACB=90，BAC=30，BC=3,可求 AB，AC 的长； 由AEO=90，OAE=30,可知 AO=2OE， 可求 AD，DB，DH 的长； 由（1）可知 BF=BD，可求 CF 的长； 由 AC，DH，CF 的长可求四边形 AFCD 的面积. 50 24.房山一模.已知：如图，点 A，B，C 三点在O 上，AE 平分BAC，交O 于点 E，交 BC 于点 D，过点 E 作 直线 lBC，连结 BE （1）求证：直线 l 是O 的切线； （2）如果 DE=a，AE=b，写出求 BE 的长的思路 51 24.房山一模.（1）证明：连结 OE，EC-1 分 AE 平分BAC 1=2， BECE= BE=EC 又O 为圆心 OE 垂直平分 BC ，即 OEBC-2 分 lBCOEl 直线 l 与O 相切-3 分 (2) 根据等弧（ BECE=）所对的圆周角相等可证1=3 根据1=3，BEA=BEA 可证BDEABE-4 分 根据相似三角形对应边成比例可得 BE DE AE BE ， 将 DE=a，AE=b 代入即可求 BE-5 分 52 25.顺义一模如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C，连接 BC，P=B （1）求P 的度数； （2）连接 PB，若O 的半径为 a，写出求PBC 面积的思路 53 25.顺义一模解： （1）PA 切O 于点 A， PAAB 1 分 P+1=90 1=B+2， P+B+2=90 2 分 OB=OC， B=2 又P=B， P=B=2 P=30 3 分 （2） 思路一：在 RtPAO 中，已知APO=30，OA=a，可求出 PA 的长； 在 RtPAB 中，已知 PA，AB 长，可求出PAB 的面积； 可证出点 O 为 AB 中点，点 C 为 PO 中点，因此PBC 的面积是PAB 面积的 4 1 ，从而求 出PBC 的面积 5 分 思路二：在 RtPAO 中，已知APO=30，OA=a，可求出 PO=2a，进一步求出 PC=PO-OC=a； 过 B 作 BEPO，交 PO 的延长线于点 E，在 RtBOE 中已知一边 OB=a，一角BOE=60，可求出 BE 的长； 利用三角形面积公式 1 2 PCBE 求出PBC 的面积 5 分 54 26.平谷一模如图，O 为等腰三角形 ABC 的外接圆，AB=AC，AD 是O 的直径，切线 DE 与 AC 的延长线相 交于点 E （1）求证：DEBC； （2）若 DF=n，BAC=2，写出求 CE 长的思路 55 26.平谷一模 （1）证明：AB=AC，AD 是O 的直径， ADBC 于 F1 DE 是O 的切线， DEAD 于 D2 DEBC2 （2）连结 CD 由 AB=AC，BAC=2，可知BAD=3 由同弧所对的圆周角，可知BCD=BAD= 由 ADBC，BCD =，DF=n， 根据 sin= DF CD ，可知 CD 的长 4 由勾股定理，可知 CF 的长 由 DEBC，可知CDE=BCD 由 AD 是O 的直径，可知ACD=90 由CDE=BCD，ECD=CFD， 可知CDFDEC，可知 DFCF = CECD ，可求 CE 的长5 56 E B C O F D A 27.门头沟一模.如图，CD 为O 的直径，点 B 在O 上，连接 BC、BD，过点 B 的切线 AE 与 CD 的延长线交 于点 A，AEOC，OE 交 BC 于点 F. （1）求证：OEBD； （2）当O 的半径为 5， 2 sin 5 DBA时，求 EF 的长. 57 27.门头沟一模.(1)证明：连接 OB CD 为O 的直径 ， 90OBDCBOCBD. AE 是O 的切线， 90OBDABDABO.1 分 CBOABD. OB、OC 是O 的半径， OB=OC. CBOC. CABD . CE， EABD . OEBD.2 分 (2)解：由（1）可得 sinC= DBA= 2 5 ， 在 RtOBE中, sinC,OC=5 .3 分 90CBDEBO ，CE， CBDEBO. . .4 分 OEBD，CO=OD， CF=FB. . .5 分 E B C O F D A 2 5 BD CD 4BD BDCD BOEO 25 2 EO 1 2 2 OFBD 21 2 EFOEOF 58 28.海淀一模如图，在ABC 中，点 O 在边 AC 上，O 与ABC 的边 BC，AB 分别相切于 C，D 两点，与边 AC 交于 E 点，弦 CF 与 AB 平行，与 DO 的延长线交于 M 点 （1）求证：点 M 是 CF 的中点； （2）若 E 是 DF的中点，BC=a，写出求 AE 长的思路 59 28.海淀一模（1）证明： AB 与O 相切于点 D， ODAB 于 D ODB=90- 1 分 CFAB， OMF=ODB=90. OMCF 点 M 是 CF 的中点- 2 分 （2）思路： 连接 DC，DF 由 M 为 CF 的中点，E 为 DF的中点， 可以证明DCF 是等边三角形，且1=30；- 3 分 由 BA，BC 是O 的切线，可证 BC=BD=a 由2=60，从而BCD 为等边三角形；- 4 分 在 RtABC 中，B=60，BC=BD=a，可以求得 32 3 = 33 aa ADaODOA ，； 2 333 333 aa AEAOOEa - 5 分 60 29.丰台一模如图，AB 是O 的直径，C，D 为O 上两点，CFAB 于点 F，CEAD 交 AD 的延长线于 点 E，且 CE=CF （1）求证：CE 是O 的切线； （2）连接 CD