2019年湖南省对口高考数学试卷及参考答案

2019 年湖南省对口高考数学试卷年湖南省对口高考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1、已知集合,B0,31Aa，且3 , 2 , 1 , 0BA，则a（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【解析】因为1,3 0, 0,1,3, 0,1,2,3ABaa，所以2a ，选 C 2、 “4x ”是“2x ”的（ ）条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分又不必要 【解析】因为由“4x ”可以得出“2x ” ，而“2x ”不能得出“4x ” ，所以“4x ” 是“2x ”的充分不必要条件。选 A 3、过点(1,1)P且与直线340 xy平行的直线方程是（ ） A、4370 xy B、3410 xy C、4310 xy D、3410 xy 【解析】过一点与已知直线0AxByC的平行的直线方程可以设为 1 0AxByC。本题 中设所求直线方程为340 xyc， 将( 1 , 1 )P代入得：1c ， 故所求直线方程为3410 xy 。 选 D 4、函数 2 ( )log(1,8)f xx x的值域为（ ） A、0,4 B、0,3 C、1,4 D、1,3 【解析】 2 ( )log(1,8)f xx x是单调增函数，所以(1)( )(8)ff xf，又 2 (1)log 10,f 2 (8)log 83f，所以 2 ( )log(1,8)f xx x的值域为0,3。选 B 5、不等式(1)0 x x的解集是（ ） A、 |1x x B、 |0x x C、 | 10xx D、 |1x x 或0x 【解析】因为(1)0 x x的解为 12 1,0 xx ，且 2 x的系数 10，所以(1)0 x x的解集为 | 10xx 。选 C 6、已知 3 tan 4 ，且为第二象限角，则sin=（ ） A、 4 5 B、 4 5 C、 3 5 D、 3 5 【解析】由 sin tan cos 得： 2 2 2 sin tan11 cos ，即 22 2 22 sincos1 tan1 coscos 所以 2 2 1325 ()1 cos416 ， 2 16 cos 25 ，又为第二象限角，所以 2 sin1 cos， 即 163 sin1 255 。选 D 7、已知,A B为圆 22 1xy上两点，O 为坐标原点，若|2AB ，则OA OB （ ） A、 3 2 B、0 C、 1 2 D、2 【解析】由题意得：| | 1OAOB。| | cos1 1 cosOA OBOAOBAOBAOB cosAOB。又 222 |2| | cosABOAOBOAOBAOB，所以有 2 ( 2)1 1 2cos,cos0AOBAOB ，所以0OA OB。选 B 8、函数( )sin2f xAx（A 为常数）的部分图像如下，则 A=（ ） 【解析】由图可得：当 2 x 时，( )sin()223 2 f xAA ，所以 A=1。选 A A、1 B、2 C、3 D、-1 9、下列命题中，正确的是（ ） A、垂直于同一直线的两条直线平行 B、垂直于同一平面的两个平面平行 C、若平面外有两个点到一个平面的距离相等，则该直线平行于这个平面 D、一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直 【解析】垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交、异面；垂直于同一平面的两个平面可以平行、 相交；直线与平面斜交时，也存在两个点到该平面的距离相等。故选 D 10、 已知直线1axby（, a b为常数） 经过点(cos,sin) 33 ， 则下列不等式一定成立的是 （ ） A、 22 1ab B、 22 1ab C、1ab D、1ab 【解析】 由直线1axby经过点(cos,sin) 33 得：1 3 1 22 ab， 即32ab，23ab 2222222 2 31 (23 )444 34(31)4(3) 44 311 4()4 (0)1, 244 abbbbbbbbb bA 所以选 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11、在一次射击比赛中，某运动员射击 20 次的成绩如下 单次成绩（环） 7 8 9 10 次数 4 6 6 4 则该运动员的平均成绩为 （环） 。 【解析】 4 76 86 94 10 8.5 4664 x 12、已知向量(1,0),(0,1),(13,14)abc，且cxayb，则xy 。 【解析】(1,0)(0,1)( ,0)(0, )( , )(13,14)cxaybxyxyx y，所以13,14xy， 27xy 13、已知 5 (1)ax的展开式中x的系数为 10，则a 。 【解析】设第1r 项的展开式含x，则有 555 155 ()1 rrrrrr r TC axCax ，所以51r 4r 。x的系数为 4 5 10Ca，所以2a 14、将 2，5，11 三个数分别加上相同的常数m，使这三个数成等比数列，则m 。 【解析】由题意得： 2 (5)(2)(11)mmm，整理得：33m，所以1m 15、已知函数( )()f x xR为奇函数，( )()g x xR为偶函数，且 2 ( )( )41f xg xxx，则 (2)(2)fg 。 【解析】由( )f x为奇函数( )g x为偶函数得： 2 ()()( )( )()41fxgxf xg xxx ， 又 22 ( )( )()4141f xg xxxxx ，所以 2 (2)(2)242113fg ，所以 (2)(2)13fg 三、解答题（每小题 10 分，共 60 分。第 21、22 为选做题，若两题都作答，则只计第 21 题分） 16、已知数列 n a为等差数列， 12 1,3aa； （1）求数列 n a的通项公式； （2）设( 1)n nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 100 T 【解析】 （1）解：设数列 n a的公差为d，则 21 3 12daa ， 1 (1)21 n aandn （2）解：因为( 1)(21) n n bn ，所以 123499100 1,3,5,7,197,199bbbbbb 100 1 3 57( 197) 1992 50100T 17、10 件产品中有 2 件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，用表示取到不合格品的次数， 求： （1）随机变量的分布列； （2）三次中至少有一次取到不合格品的概率。 【解析】 （1）解： （1）随机变量的取值为 0，1，2，3 1 03 8 3 1 10 64 (0)() 125 C PC C ； 11 12 28 3 11 1010 48 (1)() () 125 CC PC CC ； 11 22 28 3 11 1010 12 (2)()() 125 CC PC CC ； 1 33 2 3 1 10 1 (3)() 125 C PC C 。 分布列为： 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 （2）设 A=三次中至少有一次取到不合格品 ，则 A 的对立事件A=三次中全部取到合格品 ， 此时 64 ( )(0) 125 P AP，所以 6461 ( )1 125125 P A 答：三次中至少有一次取到不合格品的概率为 61 125 。 18、已知函数 2,0 2, ( ) 6,24 xx f x xx ； （1）画出( )f x的图像； （2）若()2f m ，求m的取值范围。 【解析】 （1） 解作图如右。 抛物线部分描点如下： (0,0)、 (0.5,0.25)、 (1,1)、(1.5,2.25)、(2,4)，用光滑的曲线连接。线段部分描点如下： (2,4)、(4,2)，连接这两点间线段。 （2） 解：由题意得： 2 2,02 62,24 mm mm ，所以有24m 故m的取值范围为 2,4 19、如图在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BAAAC底面， 1ABBC，90ABC，D 为 AC 的中点； （1）证明： 11 AABDCC平面； （2）若直线 1 BA与 11 ACC A平面所成角为30，求三棱柱 111 ABCA B C的体积。 【解析】 （1）证明：因为1ABBC且 D 为 AC 的中点， 所以BDAC；因为 1 BAAAC底面，BDABC底面， 所以 1 BDAA。 1 ACAAA，所以 11 AABDCC平面。 （2）解：连 1 DA，因为 11 AABDCC平面，所以 1 BA在 11 ACC A平面 的射影为 1 DA，即直线 1 BA与 1 DA所成角为30。 在直角ABC中，90ABC，1ABBC， 所以 2 2 BDDA。 在直角 1 BDA中， 1 90BDA， 1 30BAD， 2 2 BD ，所以 1 2BA 。 在直角 1 BAA中， 1 90BAA， 1 1,2ABBA，所以 1 2 11AA 。 ABC的面积 111 1 1 222 sABAC ，所以三棱柱的体积 11 1 22 Vsh 三棱柱 。 即三棱柱 111 ABCABC的体积为 1 2 。 20、已知椭圆 C： 2 2 1 2 x y （1）求椭圆的离心率 （2）已知点( 1,0)M ，直线1yx与椭圆 C 交于 A，B 两点，求ABM的面积。 【解析】 （1）解：由题可得： 2 2,1ab，所以2a ， 22 2 11cab 。 离心率 12 22 c e a （2）解：将直线1yx与椭圆 C： 2 2 1 2 x y方程中得： 2 2 (1)1 2 x x 整理得： 2 340 xx 设 A、B 坐标分别为 1122 (,),(,)x yxy，则 12 ,x x满足方程 2 340 xx 所以有 1212 4 ,0 3 xxx x；又直线斜率1k ，所以有 22 1212 |1()4ABkxxx x 22 44 2 1 1( )4 0 33 点( 1,0)M 到直线10 xy 距离 00 2222 |1 ( 1) 1 0 1| 2 1( 1) AxByC d AB 所以ABM的面积 14 24 2 233 ABM s 选做题：请在第 21、22 题中选做一题，若两题都作答，则只计第 21 题分， 请写清题号。 21、如图，在直角ABC中，90 ,60 ,2ACBABCBC ，M 为ABC内一点，90BMC，且1MC 。 （1）求AM的长； （2）求sinAMB的值。 【解析】 （1）由90BMC，且1MC ， ，2BC 得：3BM ， 30MBC。 在 直 角ABC中 ，9 0 ,6 0 ,2A C BA B CB C ， 所 以 30ABM，4AB 由余弦定理得： 222 2cosAMABBMAB BMABM 即 222 4( 3)2 43cos307AM ，7AM （2）由正弦定理得： sinsin ABAM AMBABM ，即 47 sinsin30AMB ， 所以 2 7 sin 7 AMB 22、某企业生产 A、B 两种产品，生产一件 A 产品需要新型材料 2 千克，用 3 个工时；生产一件 B 产品需要新型材料 1 千克，用 2 个工时；生产一件 A 产品的利润为 1600 元，生产一件 B 产品的利 润为 1000 元。现有新型材料 200 千克，问该企业在不超过 360 个工时的条件下，如何规划生产，才 能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值。 【解析】