概率论 多维随机变量及其分布PPT课件

.,1,第三章多维随机变量及其分布,1二维随机变量,1、二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.,.,2,如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?,2.二维r.v.(联合)分布函数:,.,3,图2,若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,.,4,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似:,1、F(x,y)是x和y的不减函数。,3、F(x,y)分别关于x，y右连续。,.,5,3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,.,6,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,二维离散随机变量分布律,.,7,(二)二维连续型r.v.,.,8,.,9,.,10,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,.,11,二、边缘分布律：,.,12,例1(续),Y1234pj11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16pi,X,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,.,13,三、边缘概率密度:,.,14,.,15,注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.,.,16,3.条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,.,17,.,18,例1.设(X,Y)的分布律为:Y012300.8400.0300.0200.01010.0600.0100.0080.00220.0100.0050.0040.001求在X=1时Y的条件分布律.,X,用表格形式表示为:k012PY=k|X=16/92/91/9,.,19,例2一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,.,20,.,21,二、二维连续型r.v.的条件分布,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,.,22,进一步可以化为:,.,23,.,24,例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.,.,25,4.相互独立的随机变量,由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念.,.,26,2.等价定义:,例:设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求PX+Y1.,.,27,.,28,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.,.,29,5.一个重要定理:,设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则h(X1,X2,Xm)和g(Y1,Y2,Yn)相互独立.,4.边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v.的情况.,.,30,5.两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布:,已知X,Y的联合密度f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.,.,31,结论:若X,Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数的卷积.,.,32,例1.(P86)设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,.,33,结论:,.,34,.,35,(二)商(Z=X/Y)的分布:,当X,Y相互独立时,则有,.,36,.,37,(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).首先求M=max(X,Y)的分布.,.,38,.,39,推广:设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地,当X1,X2,Xni.i.d.时,设分布函数为F(x),.,40,(四)用“分布函数法”导出两r.v.密度函数的要点:,.,41,.,42,参数为的瑞利分布,.,43,(五)对于离散型r.v.的函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.,解:,PZ=i,=PX+Y=i,于是有:,这就是Z=X+Y的分布律.,.,44,例5设X,Y是相互独立的r.v.,分别服从参数为1,2的泊松分布,试证明Z=X+Y也服从泊松分布.,证明:,已知,PZ=i,.,45,.,46,.,47,第三章习题课,一.主要内容：,(1)二维r.v.的分布函数,离散型r.v.的联合分布,连续型r.v.的联合概率密度.,(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3)条件分布律;条件概率密度.,(4)随机变量的相互独立.,(5)两个r.v.函数的分布.,.,48,二.练习题:,1.设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数,若第一次取后不放回,求X和Y的联合分布律.,=PX=iPY=j|X=i,.,49,.,50,.,51,.,52,.,53,5.