1第一讲向量的线性运算及相关性 + 第二讲向量的共线与共面

高等代数与解析几何,郭求知guoqiuzhi68,数学专业基础课程介绍,高等代数与解析几何目录：,第一章向量代数第二章行列式第三章线性方程组与线性子空间第四章矩阵的秩与矩阵的运算第五章线性空间与欧几里得空间,第六章几何空间的常见曲面第七章线性变换第八章线性空间上的函数第九章坐标变换与点变换第十章一元多项式与整数的因式分解第十一章多元多项式第十二章多项式矩阵与若尔当典范形,高等代数与解析几何是我校数学专业必修的一门专业课，本课程的特点是将高等代数与解析几何融为一门课程。代数中的许多概念非常抽象，几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数为几何提供了便利的研究工具。代数与几何的融合能加强我们对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法处理几何问题。,课程定位：,本课程的教学注重认识和理解现实生活中的“线性模型”；领会“数”与“形”的内在联系；掌握高等代数的核心内容，即：线性方程组的解的存在条件、解的结构，求解方法及线性方程组的几何背景；矩阵在处理离散、线性的问题中所起的作用与所扮演的角色；二次型的几何背景、化简及应用。,通过本课程的教学，要能够比较系统地理解代数与几何的基本概念和基本理论，掌握基本方法。逐步培育逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力及综合运用所学的知识分析和解决问题的能力，为学好后续课程打下坚实的基础。,第一章向量代数,1.向量的概念及线性运算2.向量的共线与共面3.向量的坐标表示4.向量组相关性的基本概念5.向量的内积、外积、混合,本章内容地位：预备知识,第一讲向量的线性运算及线性相关性简介,1.向量定义：,向量的模：,一.向量的概念,（模又称为长度或范数）.,A,B,既有大小又有方向的量.,向量的表示：,例：,向量的大小.,2.向量与有向线段的联系与区别,（1）.向量只侧重其表示的大小和方向。即：向量只关注其终点关于起点的相对位置，而不考虑这两点的具体位置。,（2）.同一个向量可以用无数个有向线段来表示。即：向量可以在空间自由地平移,例：,3.几个特殊的向量,长度为0的向量。记为：或0.,（1）零向量：,注意：零向量的方向是任意的。,（2）负向量：,称与向量大小相同但方向相反的向量为的负向量。记作：,（3）单位向量：,模（长度）为1的向量。,（4）相同的向量：,指大小相等，方向相同的向量。,二.向量的线性运算,三角形和平行四边形法则：,1.向量的加法(addition),注：n个向量相加的多边形法则：,向量的减法：,2.向量的数乘（标量乘法scalarmultiplication）,注：向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.,三.向量线性相关性基本概念,问题：若向量组中有一个零向量，则向量组的相关性如何？,2.向量线性相关性的性质,即：部分相关，则整体相关。,即：整体无关，则部分无关。,第二讲向量的共线与共面,一.向量共线或共面的概念和性质,1.定义：一组向量是共线或共面的是指把他们表示成具有相同始点的有向线段后，这些线段是共线或共面的。,2.向量共线的判定与性质,3.向量共面的判定与性质,解析：,空间中的点与向量的对应关系,在空间中取一个点O(称为原点)，规定所有向量的起点都是原点O，这样的向量称为位置向量。,位置向量:,例2.1证明：,二